MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  supmul1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem supmul1 10842
Description: The supremum function distributes over multiplication, in the sense that 𝐴 · (sup𝐵) = sup(𝐴 · 𝐵), where 𝐴 · 𝐵 is shorthand for {𝐴 · 𝑏𝑏𝐵} and is defined as 𝐶 below. This is the simple version, with only one set argument; see supmul 10845 for the more general case with two set arguments. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jul-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
supmul1.1 𝐶 = {𝑧 ∣ ∃𝑣𝐵 𝑧 = (𝐴 · 𝑣)}
supmul1.2 (𝜑 ↔ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐵 0 ≤ 𝑥) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐵 𝑦𝑥)))
Assertion
Ref Expression
supmul1 (𝜑 → (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < )) = sup(𝐶, ℝ, < ))
Distinct variable groups:   𝑣,𝐴,𝑥,𝑧   𝑣,𝐵,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝐶
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑧,𝑣)   𝐴(𝑦)   𝐶(𝑦,𝑧,𝑣)

Proof of Theorem supmul1
Dummy variables 𝑏 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 3176 . . . . . . . 8 𝑤 ∈ V
2 oveq2 6535 . . . . . . . . . . 11 (𝑣 = 𝑏 → (𝐴 · 𝑣) = (𝐴 · 𝑏))
32eqeq2d 2620 . . . . . . . . . 10 (𝑣 = 𝑏 → (𝑧 = (𝐴 · 𝑣) ↔ 𝑧 = (𝐴 · 𝑏)))
43cbvrexv 3148 . . . . . . . . 9 (∃𝑣𝐵 𝑧 = (𝐴 · 𝑣) ↔ ∃𝑏𝐵 𝑧 = (𝐴 · 𝑏))
5 eqeq1 2614 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = 𝑤 → (𝑧 = (𝐴 · 𝑏) ↔ 𝑤 = (𝐴 · 𝑏)))
65rexbidv 3034 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑤 → (∃𝑏𝐵 𝑧 = (𝐴 · 𝑏) ↔ ∃𝑏𝐵 𝑤 = (𝐴 · 𝑏)))
74, 6syl5bb 271 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑤 → (∃𝑣𝐵 𝑧 = (𝐴 · 𝑣) ↔ ∃𝑏𝐵 𝑤 = (𝐴 · 𝑏)))
8 supmul1.1 . . . . . . . 8 𝐶 = {𝑧 ∣ ∃𝑣𝐵 𝑧 = (𝐴 · 𝑣)}
91, 7, 8elab2 3323 . . . . . . 7 (𝑤𝐶 ↔ ∃𝑏𝐵 𝑤 = (𝐴 · 𝑏))
10 supmul1.2 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 ↔ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐵 0 ≤ 𝑥) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐵 𝑦𝑥)))
11 simpr 476 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐵 0 ≤ 𝑥) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐵 𝑦𝑥)) → (𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐵 𝑦𝑥))
1210, 11sylbi 206 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐵 𝑦𝑥))
1312simp1d 1066 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 ⊆ ℝ)
1413sselda 3568 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑏𝐵) → 𝑏 ∈ ℝ)
15 suprcl 10835 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐵 𝑦𝑥) → sup(𝐵, ℝ, < ) ∈ ℝ)
1612, 15syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → sup(𝐵, ℝ, < ) ∈ ℝ)
1716adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑏𝐵) → sup(𝐵, ℝ, < ) ∈ ℝ)
18 simpl1 1057 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐵 0 ≤ 𝑥) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐵 𝑦𝑥)) → 𝐴 ∈ ℝ)
1910, 18sylbi 206 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
20 simpl2 1058 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐵 0 ≤ 𝑥) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐵 𝑦𝑥)) → 0 ≤ 𝐴)
2110, 20sylbi 206 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
2219, 21jca 553 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))
2322adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑏𝐵) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))
24 suprub 10836 . . . . . . . . . . 11 (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐵 𝑦𝑥) ∧ 𝑏𝐵) → 𝑏 ≤ sup(𝐵, ℝ, < ))
2512, 24sylan 487 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑏𝐵) → 𝑏 ≤ sup(𝐵, ℝ, < ))
26 lemul2a 10730 . . . . . . . . . 10 (((𝑏 ∈ ℝ ∧ sup(𝐵, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) ∧ 𝑏 ≤ sup(𝐵, ℝ, < )) → (𝐴 · 𝑏) ≤ (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < )))
2714, 17, 23, 25, 26syl31anc 1321 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑏𝐵) → (𝐴 · 𝑏) ≤ (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < )))
28 breq1 4581 . . . . . . . . 9 (𝑤 = (𝐴 · 𝑏) → (𝑤 ≤ (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < )) ↔ (𝐴 · 𝑏) ≤ (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))))
2927, 28syl5ibrcom 236 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑏𝐵) → (𝑤 = (𝐴 · 𝑏) → 𝑤 ≤ (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))))
3029rexlimdva 3013 . . . . . . 7 (𝜑 → (∃𝑏𝐵 𝑤 = (𝐴 · 𝑏) → 𝑤 ≤ (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))))
319, 30syl5bi 231 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑤𝐶𝑤 ≤ (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))))
3231ralrimiv 2948 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑤𝐶 𝑤 ≤ (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < )))
3319adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑏𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ)
3433, 14remulcld 9927 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑏𝐵) → (𝐴 · 𝑏) ∈ ℝ)
35 eleq1a 2683 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 · 𝑏) ∈ ℝ → (𝑤 = (𝐴 · 𝑏) → 𝑤 ∈ ℝ))
3634, 35syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑏𝐵) → (𝑤 = (𝐴 · 𝑏) → 𝑤 ∈ ℝ))
3736rexlimdva 3013 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (∃𝑏𝐵 𝑤 = (𝐴 · 𝑏) → 𝑤 ∈ ℝ))
389, 37syl5bi 231 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑤𝐶𝑤 ∈ ℝ))
3938ssrdv 3574 . . . . . . 7 (𝜑𝐶 ⊆ ℝ)
40 simpr2 1061 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐵 0 ≤ 𝑥) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐵 𝑦𝑥)) → 𝐵 ≠ ∅)
4110, 40sylbi 206 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵 ≠ ∅)
42 ovex 6555 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 · 𝑏) ∈ V
4342isseti 3182 . . . . . . . . . 10 𝑤 𝑤 = (𝐴 · 𝑏)
4443rgenw 2908 . . . . . . . . 9 𝑏𝐵𝑤 𝑤 = (𝐴 · 𝑏)
45 r19.2z 4012 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ≠ ∅ ∧ ∀𝑏𝐵𝑤 𝑤 = (𝐴 · 𝑏)) → ∃𝑏𝐵𝑤 𝑤 = (𝐴 · 𝑏))
4641, 44, 45sylancl 693 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∃𝑏𝐵𝑤 𝑤 = (𝐴 · 𝑏))
479exbii 1764 . . . . . . . . 9 (∃𝑤 𝑤𝐶 ↔ ∃𝑤𝑏𝐵 𝑤 = (𝐴 · 𝑏))
48 n0 3890 . . . . . . . . 9 (𝐶 ≠ ∅ ↔ ∃𝑤 𝑤𝐶)
49 rexcom4 3198 . . . . . . . . 9 (∃𝑏𝐵𝑤 𝑤 = (𝐴 · 𝑏) ↔ ∃𝑤𝑏𝐵 𝑤 = (𝐴 · 𝑏))
5047, 48, 493bitr4i 291 . . . . . . . 8 (𝐶 ≠ ∅ ↔ ∃𝑏𝐵𝑤 𝑤 = (𝐴 · 𝑏))
5146, 50sylibr 223 . . . . . . 7 (𝜑𝐶 ≠ ∅)
5219, 16remulcld 9927 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < )) ∈ ℝ)
53 breq2 4582 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < )) → (𝑤𝑥𝑤 ≤ (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))))
5453ralbidv 2969 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < )) → (∀𝑤𝐶 𝑤𝑥 ↔ ∀𝑤𝐶 𝑤 ≤ (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))))
5554rspcev 3282 . . . . . . . 8 (((𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < )) ∈ ℝ ∧ ∀𝑤𝐶 𝑤 ≤ (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤𝐶 𝑤𝑥)
5652, 32, 55syl2anc 691 . . . . . . 7 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤𝐶 𝑤𝑥)
5739, 51, 563jca 1235 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐶 ⊆ ℝ ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤𝐶 𝑤𝑥))
58 suprleub 10839 . . . . . 6 (((𝐶 ⊆ ℝ ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤𝐶 𝑤𝑥) ∧ (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < )) ∈ ℝ) → (sup(𝐶, ℝ, < ) ≤ (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < )) ↔ ∀𝑤𝐶 𝑤 ≤ (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))))
5957, 52, 58syl2anc 691 . . . . 5 (𝜑 → (sup(𝐶, ℝ, < ) ≤ (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < )) ↔ ∀𝑤𝐶 𝑤 ≤ (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))))
6032, 59mpbird 246 . . . 4 (𝜑 → sup(𝐶, ℝ, < ) ≤ (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < )))
61 simpr 476 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) → sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < )))
62 suprcl 10835 . . . . . . . . . 10 ((𝐶 ⊆ ℝ ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤𝐶 𝑤𝑥) → sup(𝐶, ℝ, < ) ∈ ℝ)
6357, 62syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → sup(𝐶, ℝ, < ) ∈ ℝ)
6463adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) → sup(𝐶, ℝ, < ) ∈ ℝ)
6516adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) → sup(𝐵, ℝ, < ) ∈ ℝ)
6619adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) → 𝐴 ∈ ℝ)
67 n0 3890 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵 ≠ ∅ ↔ ∃𝑏 𝑏𝐵)
68 0red 9898 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑏𝐵) → 0 ∈ ℝ)
69 simpl3 1059 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐵 0 ≤ 𝑥) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐵 𝑦𝑥)) → ∀𝑥𝐵 0 ≤ 𝑥)
7010, 69sylbi 206 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ∀𝑥𝐵 0 ≤ 𝑥)
71 breq2 4582 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝑏 → (0 ≤ 𝑥 ↔ 0 ≤ 𝑏))
7271rspccva 3281 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((∀𝑥𝐵 0 ≤ 𝑥𝑏𝐵) → 0 ≤ 𝑏)
7370, 72sylan 487 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑏𝐵) → 0 ≤ 𝑏)
7468, 14, 17, 73, 25letrd 10046 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑏𝐵) → 0 ≤ sup(𝐵, ℝ, < ))
7574ex 449 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑏𝐵 → 0 ≤ sup(𝐵, ℝ, < )))
7675exlimdv 1848 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (∃𝑏 𝑏𝐵 → 0 ≤ sup(𝐵, ℝ, < )))
7767, 76syl5bi 231 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐵 ≠ ∅ → 0 ≤ sup(𝐵, ℝ, < )))
7841, 77mpd 15 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 ≤ sup(𝐵, ℝ, < ))
7978adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) → 0 ≤ sup(𝐵, ℝ, < ))
80 0red 9898 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑤𝐶) → 0 ∈ ℝ)
8138imp 444 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑤𝐶) → 𝑤 ∈ ℝ)
8263adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑤𝐶) → sup(𝐶, ℝ, < ) ∈ ℝ)
8321adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑏𝐵) → 0 ≤ 𝐴)
8433, 14, 83, 73mulge0d 10456 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑏𝐵) → 0 ≤ (𝐴 · 𝑏))
85 breq2 4582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑤 = (𝐴 · 𝑏) → (0 ≤ 𝑤 ↔ 0 ≤ (𝐴 · 𝑏)))
8684, 85syl5ibrcom 236 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑏𝐵) → (𝑤 = (𝐴 · 𝑏) → 0 ≤ 𝑤))
8786rexlimdva 3013 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (∃𝑏𝐵 𝑤 = (𝐴 · 𝑏) → 0 ≤ 𝑤))
889, 87syl5bi 231 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑤𝐶 → 0 ≤ 𝑤))
8988imp 444 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑤𝐶) → 0 ≤ 𝑤)
90 suprub 10836 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐶 ⊆ ℝ ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤𝐶 𝑤𝑥) ∧ 𝑤𝐶) → 𝑤 ≤ sup(𝐶, ℝ, < ))
9157, 90sylan 487 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑤𝐶) → 𝑤 ≤ sup(𝐶, ℝ, < ))
9280, 81, 82, 89, 91letrd 10046 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑤𝐶) → 0 ≤ sup(𝐶, ℝ, < ))
9392ex 449 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑤𝐶 → 0 ≤ sup(𝐶, ℝ, < )))
9493exlimdv 1848 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (∃𝑤 𝑤𝐶 → 0 ≤ sup(𝐶, ℝ, < )))
9548, 94syl5bi 231 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐶 ≠ ∅ → 0 ≤ sup(𝐶, ℝ, < )))
9651, 95mpd 15 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 ≤ sup(𝐶, ℝ, < ))
9796anim1i 590 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) → (0 ≤ sup(𝐶, ℝ, < ) ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))))
98 0red 9898 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
99 lelttr 9980 . . . . . . . . . . . 12 ((0 ∈ ℝ ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < )) ∈ ℝ) → ((0 ≤ sup(𝐶, ℝ, < ) ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) → 0 < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))))
10098, 63, 52, 99syl3anc 1318 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((0 ≤ sup(𝐶, ℝ, < ) ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) → 0 < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))))
101100adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) → ((0 ≤ sup(𝐶, ℝ, < ) ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) → 0 < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))))
10297, 101mpd 15 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) → 0 < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < )))
103 prodgt02 10721 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ sup(𝐵, ℝ, < ) ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ sup(𝐵, ℝ, < ) ∧ 0 < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < )))) → 0 < 𝐴)
10466, 65, 79, 102, 103syl22anc 1319 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) → 0 < 𝐴)
105 ltdivmul 10750 . . . . . . . 8 ((sup(𝐶, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ sup(𝐵, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴)) → ((sup(𝐶, ℝ, < ) / 𝐴) < sup(𝐵, ℝ, < ) ↔ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))))
10664, 65, 66, 104, 105syl112anc 1322 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) → ((sup(𝐶, ℝ, < ) / 𝐴) < sup(𝐵, ℝ, < ) ↔ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))))
10761, 106mpbird 246 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) → (sup(𝐶, ℝ, < ) / 𝐴) < sup(𝐵, ℝ, < ))
10812adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) → (𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐵 𝑦𝑥))
109104gt0ne0d 10444 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) → 𝐴 ≠ 0)
11064, 66, 109redivcld 10705 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) → (sup(𝐶, ℝ, < ) / 𝐴) ∈ ℝ)
111 suprlub 10837 . . . . . . 7 (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐵 𝑦𝑥) ∧ (sup(𝐶, ℝ, < ) / 𝐴) ∈ ℝ) → ((sup(𝐶, ℝ, < ) / 𝐴) < sup(𝐵, ℝ, < ) ↔ ∃𝑏𝐵 (sup(𝐶, ℝ, < ) / 𝐴) < 𝑏))
112108, 110, 111syl2anc 691 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) → ((sup(𝐶, ℝ, < ) / 𝐴) < sup(𝐵, ℝ, < ) ↔ ∃𝑏𝐵 (sup(𝐶, ℝ, < ) / 𝐴) < 𝑏))
113107, 112mpbid 221 . . . . 5 ((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) → ∃𝑏𝐵 (sup(𝐶, ℝ, < ) / 𝐴) < 𝑏)
114 rspe 2986 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑏𝐵𝑤 = (𝐴 · 𝑏)) → ∃𝑏𝐵 𝑤 = (𝐴 · 𝑏))
115114, 9sylibr 223 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑏𝐵𝑤 = (𝐴 · 𝑏)) → 𝑤𝐶)
116115adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑏𝐵𝑤 = (𝐴 · 𝑏))) → 𝑤𝐶)
117 simplrr 797 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐵𝑤 = (𝐴 · 𝑏))) ∧ 𝑤𝐶) → 𝑤 = (𝐴 · 𝑏))
11891adantlr 747 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐵𝑤 = (𝐴 · 𝑏))) ∧ 𝑤𝐶) → 𝑤 ≤ sup(𝐶, ℝ, < ))
119117, 118eqbrtrrd 4602 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐵𝑤 = (𝐴 · 𝑏))) ∧ 𝑤𝐶) → (𝐴 · 𝑏) ≤ sup(𝐶, ℝ, < ))
120116, 119mpdan 699 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑏𝐵𝑤 = (𝐴 · 𝑏))) → (𝐴 · 𝑏) ≤ sup(𝐶, ℝ, < ))
121120expr 641 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑏𝐵) → (𝑤 = (𝐴 · 𝑏) → (𝐴 · 𝑏) ≤ sup(𝐶, ℝ, < )))
122121exlimdv 1848 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑏𝐵) → (∃𝑤 𝑤 = (𝐴 · 𝑏) → (𝐴 · 𝑏) ≤ sup(𝐶, ℝ, < )))
12343, 122mpi 20 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑏𝐵) → (𝐴 · 𝑏) ≤ sup(𝐶, ℝ, < ))
124123adantlr 747 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) ∧ 𝑏𝐵) → (𝐴 · 𝑏) ≤ sup(𝐶, ℝ, < ))
12534adantlr 747 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) ∧ 𝑏𝐵) → (𝐴 · 𝑏) ∈ ℝ)
12663ad2antrr 758 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) ∧ 𝑏𝐵) → sup(𝐶, ℝ, < ) ∈ ℝ)
127125, 126lenltd 10035 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) ∧ 𝑏𝐵) → ((𝐴 · 𝑏) ≤ sup(𝐶, ℝ, < ) ↔ ¬ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · 𝑏)))
128124, 127mpbid 221 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) ∧ 𝑏𝐵) → ¬ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · 𝑏))
12914adantlr 747 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) ∧ 𝑏𝐵) → 𝑏 ∈ ℝ)
13019ad2antrr 758 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) ∧ 𝑏𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ)
131104adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) ∧ 𝑏𝐵) → 0 < 𝐴)
132 ltdivmul 10750 . . . . . . . 8 ((sup(𝐶, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴)) → ((sup(𝐶, ℝ, < ) / 𝐴) < 𝑏 ↔ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · 𝑏)))
133126, 129, 130, 131, 132syl112anc 1322 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) ∧ 𝑏𝐵) → ((sup(𝐶, ℝ, < ) / 𝐴) < 𝑏 ↔ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · 𝑏)))
134128, 133mtbird 314 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) ∧ 𝑏𝐵) → ¬ (sup(𝐶, ℝ, < ) / 𝐴) < 𝑏)
135134nrexdv 2984 . . . . 5 ((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) → ¬ ∃𝑏𝐵 (sup(𝐶, ℝ, < ) / 𝐴) < 𝑏)
136113, 135pm2.65da 598 . . . 4 (𝜑 → ¬ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < )))
13760, 136jca 553 . . 3 (𝜑 → (sup(𝐶, ℝ, < ) ≤ (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < )) ∧ ¬ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))))
13863, 52eqleltd 10033 . . 3 (𝜑 → (sup(𝐶, ℝ, < ) = (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < )) ↔ (sup(𝐶, ℝ, < ) ≤ (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < )) ∧ ¬ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < )))))
139137, 138mpbird 246 . 2 (𝜑 → sup(𝐶, ℝ, < ) = (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < )))
140139eqcomd 2616 1 (𝜑 → (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < )) = sup(𝐶, ℝ, < ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 195  wa 383  w3a 1031   = wceq 1475  wex 1695  wcel 1977  {cab 2596  wne 2780  wral 2896  wrex 2897  wss 3540  c0 3874   class class class wbr 4578  (class class class)co 6527  supcsup 8207  cr 9792  0cc0 9793   · cmul 9798   < clt 9931  cle 9932   / cdiv 10536
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4704  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6825  ax-resscn 9850  ax-1cn 9851  ax-icn 9852  ax-addcl 9853  ax-addrcl 9854  ax-mulcl 9855  ax-mulrcl 9856  ax-mulcom 9857  ax-addass 9858  ax-mulass 9859  ax-distr 9860  ax-i2m1 9861  ax-1ne0 9862  ax-1rid 9863  ax-rnegex 9864  ax-rrecex 9865  ax-cnre 9866  ax-pre-lttri 9867  ax-pre-lttrn 9868  ax-pre-ltadd 9869  ax-pre-mulgt0 9870  ax-pre-sup 9871
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4368  df-br 4579  df-opab 4639  df-mpt 4640  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-er 7607  df-en 7820  df-dom 7821  df-sdom 7822  df-sup 8209  df-pnf 9933  df-mnf 9934  df-xr 9935  df-ltxr 9936  df-le 9937  df-sub 10120  df-neg 10121  df-div 10537
This theorem is referenced by:  supmul  10845  hoidmvlelem1  39279
  Copyright terms: Public domain W3C validator