Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  supmul1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem supmul1 11030
 Description: The supremum function distributes over multiplication, in the sense that 𝐴 · (sup𝐵) = sup(𝐴 · 𝐵), where 𝐴 · 𝐵 is shorthand for {𝐴 · 𝑏 ∣ 𝑏 ∈ 𝐵} and is defined as 𝐶 below. This is the simple version, with only one set argument; see supmul 11033 for the more general case with two set arguments. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jul-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
supmul1.1 𝐶 = {𝑧 ∣ ∃𝑣𝐵 𝑧 = (𝐴 · 𝑣)}
supmul1.2 (𝜑 ↔ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐵 0 ≤ 𝑥) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐵 𝑦𝑥)))
Assertion
Ref Expression
supmul1 (𝜑 → (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < )) = sup(𝐶, ℝ, < ))
Distinct variable groups:   𝑣,𝐴,𝑥,𝑧   𝑣,𝐵,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝐶
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑧,𝑣)   𝐴(𝑦)   𝐶(𝑦,𝑧,𝑣)

Proof of Theorem supmul1
Dummy variables 𝑏 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 3234 . . . . . . . 8 𝑤 ∈ V
2 oveq2 6698 . . . . . . . . . . 11 (𝑣 = 𝑏 → (𝐴 · 𝑣) = (𝐴 · 𝑏))
32eqeq2d 2661 . . . . . . . . . 10 (𝑣 = 𝑏 → (𝑧 = (𝐴 · 𝑣) ↔ 𝑧 = (𝐴 · 𝑏)))
43cbvrexv 3202 . . . . . . . . 9 (∃𝑣𝐵 𝑧 = (𝐴 · 𝑣) ↔ ∃𝑏𝐵 𝑧 = (𝐴 · 𝑏))
5 eqeq1 2655 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = 𝑤 → (𝑧 = (𝐴 · 𝑏) ↔ 𝑤 = (𝐴 · 𝑏)))
65rexbidv 3081 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑤 → (∃𝑏𝐵 𝑧 = (𝐴 · 𝑏) ↔ ∃𝑏𝐵 𝑤 = (𝐴 · 𝑏)))
74, 6syl5bb 272 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑤 → (∃𝑣𝐵 𝑧 = (𝐴 · 𝑣) ↔ ∃𝑏𝐵 𝑤 = (𝐴 · 𝑏)))
8 supmul1.1 . . . . . . . 8 𝐶 = {𝑧 ∣ ∃𝑣𝐵 𝑧 = (𝐴 · 𝑣)}
91, 7, 8elab2 3386 . . . . . . 7 (𝑤𝐶 ↔ ∃𝑏𝐵 𝑤 = (𝐴 · 𝑏))
10 supmul1.2 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 ↔ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐵 0 ≤ 𝑥) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐵 𝑦𝑥)))
11 simpr 476 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐵 0 ≤ 𝑥) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐵 𝑦𝑥)) → (𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐵 𝑦𝑥))
1210, 11sylbi 207 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐵 𝑦𝑥))
1312simp1d 1093 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 ⊆ ℝ)
1413sselda 3636 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑏𝐵) → 𝑏 ∈ ℝ)
15 suprcl 11021 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐵 𝑦𝑥) → sup(𝐵, ℝ, < ) ∈ ℝ)
1612, 15syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → sup(𝐵, ℝ, < ) ∈ ℝ)
1716adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑏𝐵) → sup(𝐵, ℝ, < ) ∈ ℝ)
18 simpl1 1084 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐵 0 ≤ 𝑥) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐵 𝑦𝑥)) → 𝐴 ∈ ℝ)
1910, 18sylbi 207 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
20 simpl2 1085 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐵 0 ≤ 𝑥) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐵 𝑦𝑥)) → 0 ≤ 𝐴)
2110, 20sylbi 207 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
2219, 21jca 553 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))
2322adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑏𝐵) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))
24 suprub 11022 . . . . . . . . . . 11 (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐵 𝑦𝑥) ∧ 𝑏𝐵) → 𝑏 ≤ sup(𝐵, ℝ, < ))
2512, 24sylan 487 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑏𝐵) → 𝑏 ≤ sup(𝐵, ℝ, < ))
26 lemul2a 10916 . . . . . . . . . 10 (((𝑏 ∈ ℝ ∧ sup(𝐵, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) ∧ 𝑏 ≤ sup(𝐵, ℝ, < )) → (𝐴 · 𝑏) ≤ (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < )))
2714, 17, 23, 25, 26syl31anc 1369 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑏𝐵) → (𝐴 · 𝑏) ≤ (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < )))
28 breq1 4688 . . . . . . . . 9 (𝑤 = (𝐴 · 𝑏) → (𝑤 ≤ (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < )) ↔ (𝐴 · 𝑏) ≤ (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))))
2927, 28syl5ibrcom 237 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑏𝐵) → (𝑤 = (𝐴 · 𝑏) → 𝑤 ≤ (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))))
3029rexlimdva 3060 . . . . . . 7 (𝜑 → (∃𝑏𝐵 𝑤 = (𝐴 · 𝑏) → 𝑤 ≤ (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))))
319, 30syl5bi 232 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑤𝐶𝑤 ≤ (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))))
3231ralrimiv 2994 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑤𝐶 𝑤 ≤ (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < )))
3319adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑏𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ)
3433, 14remulcld 10108 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑏𝐵) → (𝐴 · 𝑏) ∈ ℝ)
35 eleq1a 2725 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 · 𝑏) ∈ ℝ → (𝑤 = (𝐴 · 𝑏) → 𝑤 ∈ ℝ))
3634, 35syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑏𝐵) → (𝑤 = (𝐴 · 𝑏) → 𝑤 ∈ ℝ))
3736rexlimdva 3060 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (∃𝑏𝐵 𝑤 = (𝐴 · 𝑏) → 𝑤 ∈ ℝ))
389, 37syl5bi 232 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑤𝐶𝑤 ∈ ℝ))
3938ssrdv 3642 . . . . . . 7 (𝜑𝐶 ⊆ ℝ)
40 simpr2 1088 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐵 0 ≤ 𝑥) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐵 𝑦𝑥)) → 𝐵 ≠ ∅)
4110, 40sylbi 207 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵 ≠ ∅)
42 ovex 6718 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 · 𝑏) ∈ V
4342isseti 3240 . . . . . . . . . 10 𝑤 𝑤 = (𝐴 · 𝑏)
4443rgenw 2953 . . . . . . . . 9 𝑏𝐵𝑤 𝑤 = (𝐴 · 𝑏)
45 r19.2z 4093 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ≠ ∅ ∧ ∀𝑏𝐵𝑤 𝑤 = (𝐴 · 𝑏)) → ∃𝑏𝐵𝑤 𝑤 = (𝐴 · 𝑏))
4641, 44, 45sylancl 695 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∃𝑏𝐵𝑤 𝑤 = (𝐴 · 𝑏))
479exbii 1814 . . . . . . . . 9 (∃𝑤 𝑤𝐶 ↔ ∃𝑤𝑏𝐵 𝑤 = (𝐴 · 𝑏))
48 n0 3964 . . . . . . . . 9 (𝐶 ≠ ∅ ↔ ∃𝑤 𝑤𝐶)
49 rexcom4 3256 . . . . . . . . 9 (∃𝑏𝐵𝑤 𝑤 = (𝐴 · 𝑏) ↔ ∃𝑤𝑏𝐵 𝑤 = (𝐴 · 𝑏))
5047, 48, 493bitr4i 292 . . . . . . . 8 (𝐶 ≠ ∅ ↔ ∃𝑏𝐵𝑤 𝑤 = (𝐴 · 𝑏))
5146, 50sylibr 224 . . . . . . 7 (𝜑𝐶 ≠ ∅)
5219, 16remulcld 10108 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < )) ∈ ℝ)
53 breq2 4689 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < )) → (𝑤𝑥𝑤 ≤ (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))))
5453ralbidv 3015 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < )) → (∀𝑤𝐶 𝑤𝑥 ↔ ∀𝑤𝐶 𝑤 ≤ (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))))
5554rspcev 3340 . . . . . . . 8 (((𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < )) ∈ ℝ ∧ ∀𝑤𝐶 𝑤 ≤ (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤𝐶 𝑤𝑥)
5652, 32, 55syl2anc 694 . . . . . . 7 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤𝐶 𝑤𝑥)
5739, 51, 563jca 1261 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐶 ⊆ ℝ ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤𝐶 𝑤𝑥))
58 suprleub 11027 . . . . . 6 (((𝐶 ⊆ ℝ ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤𝐶 𝑤𝑥) ∧ (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < )) ∈ ℝ) → (sup(𝐶, ℝ, < ) ≤ (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < )) ↔ ∀𝑤𝐶 𝑤 ≤ (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))))
5957, 52, 58syl2anc 694 . . . . 5 (𝜑 → (sup(𝐶, ℝ, < ) ≤ (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < )) ↔ ∀𝑤𝐶 𝑤 ≤ (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))))
6032, 59mpbird 247 . . . 4 (𝜑 → sup(𝐶, ℝ, < ) ≤ (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < )))
61 simpr 476 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) → sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < )))
62 suprcl 11021 . . . . . . . . . 10 ((𝐶 ⊆ ℝ ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤𝐶 𝑤𝑥) → sup(𝐶, ℝ, < ) ∈ ℝ)
6357, 62syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → sup(𝐶, ℝ, < ) ∈ ℝ)
6463adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) → sup(𝐶, ℝ, < ) ∈ ℝ)
6516adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) → sup(𝐵, ℝ, < ) ∈ ℝ)
6619adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) → 𝐴 ∈ ℝ)
67 n0 3964 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵 ≠ ∅ ↔ ∃𝑏 𝑏𝐵)
68 0red 10079 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑏𝐵) → 0 ∈ ℝ)
69 simpl3 1086 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐵 0 ≤ 𝑥) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐵 𝑦𝑥)) → ∀𝑥𝐵 0 ≤ 𝑥)
7010, 69sylbi 207 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ∀𝑥𝐵 0 ≤ 𝑥)
71 breq2 4689 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝑏 → (0 ≤ 𝑥 ↔ 0 ≤ 𝑏))
7271rspccva 3339 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((∀𝑥𝐵 0 ≤ 𝑥𝑏𝐵) → 0 ≤ 𝑏)
7370, 72sylan 487 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑏𝐵) → 0 ≤ 𝑏)
7468, 14, 17, 73, 25letrd 10232 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑏𝐵) → 0 ≤ sup(𝐵, ℝ, < ))
7574ex 449 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑏𝐵 → 0 ≤ sup(𝐵, ℝ, < )))
7675exlimdv 1901 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (∃𝑏 𝑏𝐵 → 0 ≤ sup(𝐵, ℝ, < )))
7767, 76syl5bi 232 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐵 ≠ ∅ → 0 ≤ sup(𝐵, ℝ, < )))
7841, 77mpd 15 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 ≤ sup(𝐵, ℝ, < ))
7978adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) → 0 ≤ sup(𝐵, ℝ, < ))
80 0red 10079 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑤𝐶) → 0 ∈ ℝ)
8138imp 444 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑤𝐶) → 𝑤 ∈ ℝ)
8263adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑤𝐶) → sup(𝐶, ℝ, < ) ∈ ℝ)
8321adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑏𝐵) → 0 ≤ 𝐴)
8433, 14, 83, 73mulge0d 10642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑏𝐵) → 0 ≤ (𝐴 · 𝑏))
85 breq2 4689 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑤 = (𝐴 · 𝑏) → (0 ≤ 𝑤 ↔ 0 ≤ (𝐴 · 𝑏)))
8684, 85syl5ibrcom 237 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑏𝐵) → (𝑤 = (𝐴 · 𝑏) → 0 ≤ 𝑤))
8786rexlimdva 3060 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (∃𝑏𝐵 𝑤 = (𝐴 · 𝑏) → 0 ≤ 𝑤))
889, 87syl5bi 232 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑤𝐶 → 0 ≤ 𝑤))
8988imp 444 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑤𝐶) → 0 ≤ 𝑤)
90 suprub 11022 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐶 ⊆ ℝ ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤𝐶 𝑤𝑥) ∧ 𝑤𝐶) → 𝑤 ≤ sup(𝐶, ℝ, < ))
9157, 90sylan 487 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑤𝐶) → 𝑤 ≤ sup(𝐶, ℝ, < ))
9280, 81, 82, 89, 91letrd 10232 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑤𝐶) → 0 ≤ sup(𝐶, ℝ, < ))
9392ex 449 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑤𝐶 → 0 ≤ sup(𝐶, ℝ, < )))
9493exlimdv 1901 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (∃𝑤 𝑤𝐶 → 0 ≤ sup(𝐶, ℝ, < )))
9548, 94syl5bi 232 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐶 ≠ ∅ → 0 ≤ sup(𝐶, ℝ, < )))
9651, 95mpd 15 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 ≤ sup(𝐶, ℝ, < ))
9796anim1i 591 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) → (0 ≤ sup(𝐶, ℝ, < ) ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))))
98 0red 10079 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
99 lelttr 10166 . . . . . . . . . . . 12 ((0 ∈ ℝ ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < )) ∈ ℝ) → ((0 ≤ sup(𝐶, ℝ, < ) ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) → 0 < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))))
10098, 63, 52, 99syl3anc 1366 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((0 ≤ sup(𝐶, ℝ, < ) ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) → 0 < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))))
101100adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) → ((0 ≤ sup(𝐶, ℝ, < ) ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) → 0 < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))))
10297, 101mpd 15 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) → 0 < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < )))
103 prodgt02 10907 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ sup(𝐵, ℝ, < ) ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ sup(𝐵, ℝ, < ) ∧ 0 < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < )))) → 0 < 𝐴)
10466, 65, 79, 102, 103syl22anc 1367 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) → 0 < 𝐴)
105 ltdivmul 10936 . . . . . . . 8 ((sup(𝐶, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ sup(𝐵, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴)) → ((sup(𝐶, ℝ, < ) / 𝐴) < sup(𝐵, ℝ, < ) ↔ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))))
10664, 65, 66, 104, 105syl112anc 1370 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) → ((sup(𝐶, ℝ, < ) / 𝐴) < sup(𝐵, ℝ, < ) ↔ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))))
10761, 106mpbird 247 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) → (sup(𝐶, ℝ, < ) / 𝐴) < sup(𝐵, ℝ, < ))
10812adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) → (𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐵 𝑦𝑥))
109104gt0ne0d 10630 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) → 𝐴 ≠ 0)
11064, 66, 109redivcld 10891 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) → (sup(𝐶, ℝ, < ) / 𝐴) ∈ ℝ)
111 suprlub 11025 . . . . . . 7 (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐵 𝑦𝑥) ∧ (sup(𝐶, ℝ, < ) / 𝐴) ∈ ℝ) → ((sup(𝐶, ℝ, < ) / 𝐴) < sup(𝐵, ℝ, < ) ↔ ∃𝑏𝐵 (sup(𝐶, ℝ, < ) / 𝐴) < 𝑏))
112108, 110, 111syl2anc 694 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) → ((sup(𝐶, ℝ, < ) / 𝐴) < sup(𝐵, ℝ, < ) ↔ ∃𝑏𝐵 (sup(𝐶, ℝ, < ) / 𝐴) < 𝑏))
113107, 112mpbid 222 . . . . 5 ((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) → ∃𝑏𝐵 (sup(𝐶, ℝ, < ) / 𝐴) < 𝑏)
114 rspe 3032 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑏𝐵𝑤 = (𝐴 · 𝑏)) → ∃𝑏𝐵 𝑤 = (𝐴 · 𝑏))
115114, 9sylibr 224 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑏𝐵𝑤 = (𝐴 · 𝑏)) → 𝑤𝐶)
116115adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑏𝐵𝑤 = (𝐴 · 𝑏))) → 𝑤𝐶)
117 simplrr 818 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐵𝑤 = (𝐴 · 𝑏))) ∧ 𝑤𝐶) → 𝑤 = (𝐴 · 𝑏))
11891adantlr 751 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐵𝑤 = (𝐴 · 𝑏))) ∧ 𝑤𝐶) → 𝑤 ≤ sup(𝐶, ℝ, < ))
119117, 118eqbrtrrd 4709 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐵𝑤 = (𝐴 · 𝑏))) ∧ 𝑤𝐶) → (𝐴 · 𝑏) ≤ sup(𝐶, ℝ, < ))
120116, 119mpdan 703 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑏𝐵𝑤 = (𝐴 · 𝑏))) → (𝐴 · 𝑏) ≤ sup(𝐶, ℝ, < ))
121120expr 642 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑏𝐵) → (𝑤 = (𝐴 · 𝑏) → (𝐴 · 𝑏) ≤ sup(𝐶, ℝ, < )))
122121exlimdv 1901 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑏𝐵) → (∃𝑤 𝑤 = (𝐴 · 𝑏) → (𝐴 · 𝑏) ≤ sup(𝐶, ℝ, < )))
12343, 122mpi 20 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑏𝐵) → (𝐴 · 𝑏) ≤ sup(𝐶, ℝ, < ))
124123adantlr 751 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) ∧ 𝑏𝐵) → (𝐴 · 𝑏) ≤ sup(𝐶, ℝ, < ))
12534adantlr 751 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) ∧ 𝑏𝐵) → (𝐴 · 𝑏) ∈ ℝ)
12663ad2antrr 762 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) ∧ 𝑏𝐵) → sup(𝐶, ℝ, < ) ∈ ℝ)
127125, 126lenltd 10221 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) ∧ 𝑏𝐵) → ((𝐴 · 𝑏) ≤ sup(𝐶, ℝ, < ) ↔ ¬ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · 𝑏)))
128124, 127mpbid 222 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) ∧ 𝑏𝐵) → ¬ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · 𝑏))
12914adantlr 751 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) ∧ 𝑏𝐵) → 𝑏 ∈ ℝ)
13019ad2antrr 762 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) ∧ 𝑏𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ)
131104adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) ∧ 𝑏𝐵) → 0 < 𝐴)
132 ltdivmul 10936 . . . . . . . 8 ((sup(𝐶, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴)) → ((sup(𝐶, ℝ, < ) / 𝐴) < 𝑏 ↔ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · 𝑏)))
133126, 129, 130, 131, 132syl112anc 1370 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) ∧ 𝑏𝐵) → ((sup(𝐶, ℝ, < ) / 𝐴) < 𝑏 ↔ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · 𝑏)))
134128, 133mtbird 314 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) ∧ 𝑏𝐵) → ¬ (sup(𝐶, ℝ, < ) / 𝐴) < 𝑏)
135134nrexdv 3030 . . . . 5 ((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))) → ¬ ∃𝑏𝐵 (sup(𝐶, ℝ, < ) / 𝐴) < 𝑏)
136113, 135pm2.65da 599 . . . 4 (𝜑 → ¬ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < )))
13760, 136jca 553 . . 3 (𝜑 → (sup(𝐶, ℝ, < ) ≤ (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < )) ∧ ¬ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < ))))
13863, 52eqleltd 10219 . . 3 (𝜑 → (sup(𝐶, ℝ, < ) = (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < )) ↔ (sup(𝐶, ℝ, < ) ≤ (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < )) ∧ ¬ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < )))))
139137, 138mpbird 247 . 2 (𝜑 → sup(𝐶, ℝ, < ) = (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < )))
140139eqcomd 2657 1 (𝜑 → (𝐴 · sup(𝐵, ℝ, < )) = sup(𝐶, ℝ, < ))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   ∧ w3a 1054   = wceq 1523  ∃wex 1744   ∈ wcel 2030  {cab 2637   ≠ wne 2823  ∀wral 2941  ∃wrex 2942   ⊆ wss 3607  ∅c0 3948   class class class wbr 4685  (class class class)co 6690  supcsup 8387  ℝcr 9973  0cc0 9974   · cmul 9979   < clt 10112   ≤ cle 10113   / cdiv 10722 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-po 5064  df-so 5065  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-sup 8389  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723 This theorem is referenced by:  supmul  11033  hoidmvlelem1  41130
 Copyright terms: Public domain W3C validator