MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  supmullem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem supmullem1 11031
Description: Lemma for supmul 11033. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jul-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
supmul.1 𝐶 = {𝑧 ∣ ∃𝑣𝐴𝑏𝐵 𝑧 = (𝑣 · 𝑏)}
supmul.2 (𝜑 ↔ ((∀𝑥𝐴 0 ≤ 𝑥 ∧ ∀𝑥𝐵 0 ≤ 𝑥) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐵 𝑦𝑥)))
Assertion
Ref Expression
supmullem1 (𝜑 → ∀𝑤𝐶 𝑤 ≤ (sup(𝐴, ℝ, < ) · sup(𝐵, ℝ, < )))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑏,𝑣,𝑥,𝑦,𝑤,𝑧   𝐵,𝑏,𝑣,𝑥,𝑦,𝑤,𝑧   𝑥,𝐶,𝑤   𝜑,𝑏,𝑤,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑣)   𝐶(𝑦,𝑧,𝑣,𝑏)

Proof of Theorem supmullem1
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 3234 . . . 4 𝑤 ∈ V
2 oveq1 6697 . . . . . . . 8 (𝑣 = 𝑎 → (𝑣 · 𝑏) = (𝑎 · 𝑏))
32eqeq2d 2661 . . . . . . 7 (𝑣 = 𝑎 → (𝑧 = (𝑣 · 𝑏) ↔ 𝑧 = (𝑎 · 𝑏)))
43rexbidv 3081 . . . . . 6 (𝑣 = 𝑎 → (∃𝑏𝐵 𝑧 = (𝑣 · 𝑏) ↔ ∃𝑏𝐵 𝑧 = (𝑎 · 𝑏)))
54cbvrexv 3202 . . . . 5 (∃𝑣𝐴𝑏𝐵 𝑧 = (𝑣 · 𝑏) ↔ ∃𝑎𝐴𝑏𝐵 𝑧 = (𝑎 · 𝑏))
6 eqeq1 2655 . . . . . 6 (𝑧 = 𝑤 → (𝑧 = (𝑎 · 𝑏) ↔ 𝑤 = (𝑎 · 𝑏)))
762rexbidv 3086 . . . . 5 (𝑧 = 𝑤 → (∃𝑎𝐴𝑏𝐵 𝑧 = (𝑎 · 𝑏) ↔ ∃𝑎𝐴𝑏𝐵 𝑤 = (𝑎 · 𝑏)))
85, 7syl5bb 272 . . . 4 (𝑧 = 𝑤 → (∃𝑣𝐴𝑏𝐵 𝑧 = (𝑣 · 𝑏) ↔ ∃𝑎𝐴𝑏𝐵 𝑤 = (𝑎 · 𝑏)))
9 supmul.1 . . . 4 𝐶 = {𝑧 ∣ ∃𝑣𝐴𝑏𝐵 𝑧 = (𝑣 · 𝑏)}
101, 8, 9elab2 3386 . . 3 (𝑤𝐶 ↔ ∃𝑎𝐴𝑏𝐵 𝑤 = (𝑎 · 𝑏))
11 supmul.2 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 ↔ ((∀𝑥𝐴 0 ≤ 𝑥 ∧ ∀𝑥𝐵 0 ≤ 𝑥) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐵 𝑦𝑥)))
1211simp2bi 1097 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥))
1312simp1d 1093 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
1413sselda 3636 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎𝐴) → 𝑎 ∈ ℝ)
1514adantrr 753 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐴𝑏𝐵)) → 𝑎 ∈ ℝ)
16 suprcl 11021 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ)
1712, 16syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ)
1817adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐴𝑏𝐵)) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ)
1911simp3bi 1098 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐵 𝑦𝑥))
2019simp1d 1093 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵 ⊆ ℝ)
2120sselda 3636 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑏𝐵) → 𝑏 ∈ ℝ)
2221adantrl 752 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐴𝑏𝐵)) → 𝑏 ∈ ℝ)
23 suprcl 11021 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐵 𝑦𝑥) → sup(𝐵, ℝ, < ) ∈ ℝ)
2419, 23syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → sup(𝐵, ℝ, < ) ∈ ℝ)
2524adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐴𝑏𝐵)) → sup(𝐵, ℝ, < ) ∈ ℝ)
26 simp1l 1105 . . . . . . . . . . 11 (((∀𝑥𝐴 0 ≤ 𝑥 ∧ ∀𝑥𝐵 0 ≤ 𝑥) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐵 𝑦𝑥)) → ∀𝑥𝐴 0 ≤ 𝑥)
2711, 26sylbi 207 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 0 ≤ 𝑥)
28 breq2 4689 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑎 → (0 ≤ 𝑥 ↔ 0 ≤ 𝑎))
2928rspccv 3337 . . . . . . . . . 10 (∀𝑥𝐴 0 ≤ 𝑥 → (𝑎𝐴 → 0 ≤ 𝑎))
3027, 29syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑎𝐴 → 0 ≤ 𝑎))
3130imp 444 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎𝐴) → 0 ≤ 𝑎)
3231adantrr 753 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐴𝑏𝐵)) → 0 ≤ 𝑎)
33 simp1r 1106 . . . . . . . . . . 11 (((∀𝑥𝐴 0 ≤ 𝑥 ∧ ∀𝑥𝐵 0 ≤ 𝑥) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐵 𝑦𝑥)) → ∀𝑥𝐵 0 ≤ 𝑥)
3411, 33sylbi 207 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∀𝑥𝐵 0 ≤ 𝑥)
35 breq2 4689 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑏 → (0 ≤ 𝑥 ↔ 0 ≤ 𝑏))
3635rspccv 3337 . . . . . . . . . 10 (∀𝑥𝐵 0 ≤ 𝑥 → (𝑏𝐵 → 0 ≤ 𝑏))
3734, 36syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑏𝐵 → 0 ≤ 𝑏))
3837imp 444 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑏𝐵) → 0 ≤ 𝑏)
3938adantrl 752 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐴𝑏𝐵)) → 0 ≤ 𝑏)
40 suprub 11022 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) ∧ 𝑎𝐴) → 𝑎 ≤ sup(𝐴, ℝ, < ))
4112, 40sylan 487 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎𝐴) → 𝑎 ≤ sup(𝐴, ℝ, < ))
4241adantrr 753 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐴𝑏𝐵)) → 𝑎 ≤ sup(𝐴, ℝ, < ))
43 suprub 11022 . . . . . . . . 9 (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐵 𝑦𝑥) ∧ 𝑏𝐵) → 𝑏 ≤ sup(𝐵, ℝ, < ))
4419, 43sylan 487 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑏𝐵) → 𝑏 ≤ sup(𝐵, ℝ, < ))
4544adantrl 752 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐴𝑏𝐵)) → 𝑏 ≤ sup(𝐵, ℝ, < ))
4615, 18, 22, 25, 32, 39, 42, 45lemul12ad 11004 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐴𝑏𝐵)) → (𝑎 · 𝑏) ≤ (sup(𝐴, ℝ, < ) · sup(𝐵, ℝ, < )))
4746ex 449 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑎𝐴𝑏𝐵) → (𝑎 · 𝑏) ≤ (sup(𝐴, ℝ, < ) · sup(𝐵, ℝ, < ))))
48 breq1 4688 . . . . . 6 (𝑤 = (𝑎 · 𝑏) → (𝑤 ≤ (sup(𝐴, ℝ, < ) · sup(𝐵, ℝ, < )) ↔ (𝑎 · 𝑏) ≤ (sup(𝐴, ℝ, < ) · sup(𝐵, ℝ, < ))))
4948biimprcd 240 . . . . 5 ((𝑎 · 𝑏) ≤ (sup(𝐴, ℝ, < ) · sup(𝐵, ℝ, < )) → (𝑤 = (𝑎 · 𝑏) → 𝑤 ≤ (sup(𝐴, ℝ, < ) · sup(𝐵, ℝ, < ))))
5047, 49syl6 35 . . . 4 (𝜑 → ((𝑎𝐴𝑏𝐵) → (𝑤 = (𝑎 · 𝑏) → 𝑤 ≤ (sup(𝐴, ℝ, < ) · sup(𝐵, ℝ, < )))))
5150rexlimdvv 3066 . . 3 (𝜑 → (∃𝑎𝐴𝑏𝐵 𝑤 = (𝑎 · 𝑏) → 𝑤 ≤ (sup(𝐴, ℝ, < ) · sup(𝐵, ℝ, < ))))
5210, 51syl5bi 232 . 2 (𝜑 → (𝑤𝐶𝑤 ≤ (sup(𝐴, ℝ, < ) · sup(𝐵, ℝ, < ))))
5352ralrimiv 2994 1 (𝜑 → ∀𝑤𝐶 𝑤 ≤ (sup(𝐴, ℝ, < ) · sup(𝐵, ℝ, < )))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  {cab 2637  wne 2823  wral 2941  wrex 2942  wss 3607  c0 3948   class class class wbr 4685  (class class class)co 6690  supcsup 8387  cr 9973  0cc0 9974   · cmul 9979   < clt 10112  cle 10113
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-po 5064  df-so 5065  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-sup 8389  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307
This theorem is referenced by:  supmullem2  11032  supmul  11033
  Copyright terms: Public domain W3C validator