Theorem suppsr3 5204

Description: A non-empty, bounded set with at least one positive real has a supremum.

Hypothesis

Ref	Expression
suppsr3.1	⊢ B = {y∣(y ∈ A ⋀ 0R <R y)}

Assertion

Ref	Expression
suppsr3	⊢ ((∃y(y ∈ A ⋀ 0R <R y) ⋀ ∃x(x ∈ R ⋀ ∀y(y ∈ R → (y ∈ A → y <R x)))) → ∃x(x ∈ R ⋀ ∀y(y ∈ R → ((y ∈ A → ¬ x <R y) ⋀ (y <R x → ∃z(z ∈ R ⋀ (z ∈ A ⋀ y <R z)))))))

Distinct variable groups:   x,y,z,A   x,B,y,z

Proof of Theorem suppsr3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		visset 1809	. . . . . . 7 ⊢ x ∈ V
2		eleq1 1531	. . . . . . . 8 ⊢ (y = x → (y ∈ A ↔ x ∈ A))
3		breq2 2618	. . . . . . . 8 ⊢ (y = x → (0R <R y ↔ 0R <R x))
4	2, 3	anbi12d 627	. . . . . . 7 ⊢ (y = x → ((y ∈ A ⋀ 0R <R y) ↔ (x ∈ A ⋀ 0R <R x)))
5		suppsr3.1	. . . . . . 7 ⊢ B = {y∣(y ∈ A ⋀ 0R <R y)}
6	1, 4, 5	elab2 1897	. . . . . 6 ⊢ (x ∈ B ↔ (x ∈ A ⋀ 0R <R x))
7	6	pm3.27bi 326	. . . . 5 ⊢ (x ∈ B → 0R <R x)
8	7	ax-gen 961	. . . 4 ⊢ ∀x(x ∈ B → 0R <R x)
9		suppsr2 5203	. . . 4 ⊢ (((∀x(x ∈ B → 0R <R x) ⋀ ¬ B = ∅) ⋀ ∃x(x ∈ R ⋀ ∀y(y ∈ R → (y ∈ B → y <R x)))) → ∃x(x ∈ R ⋀ ∀y(y ∈ R → ((y ∈ B → ¬ x <R y) ⋀ (y <R x → ∃z(z ∈ R ⋀ (z ∈ B ⋀ y <R z)))))))
10	8, 9	mpanl1 705	. . 3 ⊢ ((¬ B = ∅ ⋀ ∃x(x ∈ R ⋀ ∀y(y ∈ R → (y ∈ B → y <R x)))) → ∃x(x ∈ R ⋀ ∀y(y ∈ R → ((y ∈ B → ¬ x <R y) ⋀ (y <R x → ∃z(z ∈ R ⋀ (z ∈ B ⋀ y <R z)))))))
11		n0 2285	. . . . 5 ⊢ (¬ B = ∅ ↔ ∃y y ∈ B)
12	5	abeq2i 1567	. . . . . 6 ⊢ (y ∈ B ↔ (y ∈ A ⋀ 0R <R y))
13	12	exbii 1049	. . . . 5 ⊢ (∃y y ∈ B ↔ ∃y(y ∈ A ⋀ 0R <R y))
14	11, 13	bitr 173	. . . 4 ⊢ (¬ B = ∅ ↔ ∃y(y ∈ A ⋀ 0R <R y))
15	14	biimpr 152	. . 3 ⊢ (∃y(y ∈ A ⋀ 0R <R y) → ¬ B = ∅)
16	12	pm3.26bi 322	. . . . . . . 8 ⊢ (y ∈ B → y ∈ A)
17	16	imim1i 16	. . . . . . 7 ⊢ ((y ∈ A → y <R x) → (y ∈ B → y <R x))
18	17	imim2i 17	. . . . . 6 ⊢ ((y ∈ R → (y ∈ A → y <R x)) → (y ∈ R → (y ∈ B → y <R x)))
19	18	19.20i 990	. . . . 5 ⊢ (∀y(y ∈ R → (y ∈ A → y <R x)) → ∀y(y ∈ R → (y ∈ B → y <R x)))
20	19	anim2i 335	. . . 4 ⊢ ((x ∈ R ⋀ ∀y(y ∈ R → (y ∈ A → y <R x))) → (x ∈ R ⋀ ∀y(y ∈ R → (y ∈ B → y <R x))))
21	20	19.22i 1038	. . 3 ⊢ (∃x(x ∈ R ⋀ ∀y(y ∈ R → (y ∈ A → y <R x))) → ∃x(x ∈ R ⋀ ∀y(y ∈ R → (y ∈ B → y <R x))))
22	10, 15, 21	syl2an 454	. 2 ⊢ ((∃y(y ∈ A ⋀ 0R <R y) ⋀ ∃x(x ∈ R ⋀ ∀y(y ∈ R → (y ∈ A → y <R x)))) → ∃x(x ∈ R ⋀ ∀y(y ∈ R → ((y ∈ B → ¬ x <R y) ⋀ (y <R x → ∃z(z ∈ R ⋀ (z ∈ B ⋀ y <R z)))))))
23		hbe1 1014	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃y(y ∈ A ⋀ 0R <R y) → ∀y∃y(y ∈ A ⋀ 0R <R y))
24		ax-17 969	. . . . . . . . 9 ⊢ (x ∈ R → ∀y x ∈ R)
25	23, 24	hban 1007	. . . . . . . 8 ⊢ ((∃y(y ∈ A ⋀ 0R <R y) ⋀ x ∈ R) → ∀y(∃y(y ∈ A ⋀ 0R <R y) ⋀ x ∈ R))
26		hba1 1001	. . . . . . . 8 ⊢ (∀y(y ∈ R → ((y ∈ B → ¬ x <R y) ⋀ (y <R x → ∃z(z ∈ R ⋀ (z ∈ B ⋀ y <R z))))) → ∀y∀y(y ∈ R → ((y ∈ B → ¬ x <R y) ⋀ (y <R x → ∃z(z ∈ R ⋀ (z ∈ B ⋀ y <R z))))))
27	25, 26	hban 1007	. . . . . . 7 ⊢ (((∃y(y ∈ A ⋀ 0R <R y) ⋀ x ∈ R) ⋀ ∀y(y ∈ R → ((y ∈ B → ¬ x <R y) ⋀ (y <R x → ∃z(z ∈ R ⋀ (z ∈ B ⋀ y <R z)))))) → ∀y((∃y(y ∈ A ⋀ 0R <R y) ⋀ x ∈ R) ⋀ ∀y(y ∈ R → ((y ∈ B → ¬ x <R y) ⋀ (y <R x → ∃z(z ∈ R ⋀ (z ∈ B ⋀ y <R z)))))))
28	12	imbi1i 186	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((y ∈ B → ¬ x <R y) ↔ ((y ∈ A ⋀ 0R <R y) → ¬ x <R y))
29		impexp 347	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((y ∈ A ⋀ 0R <R y) → ¬ x <R y) ↔ (y ∈ A → (0R <R y → ¬ x <R y)))
30	28, 29	bitr 173	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((y ∈ B → ¬ x <R y) ↔ (y ∈ A → (0R <R y → ¬ x <R y)))
31		pm2.04 30	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((y ∈ A → (0R <R y → ¬ x <R y)) → (0R <R y → (y ∈ A → ¬ x <R y)))
32	30, 31	sylbi 199	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((y ∈ B → ¬ x <R y) → (0R <R y → (y ∈ A → ¬ x <R y)))
33	32	imim2i 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((y ∈ R → (y ∈ B → ¬ x <R y)) → (y ∈ R → (0R <R y → (y ∈ A → ¬ x <R y))))
34	33	com23 32	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((y ∈ R → (y ∈ B → ¬ x <R y)) → (0R <R y → (y ∈ R → (y ∈ A → ¬ x <R y))))
35	34	a4s 982	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∀y(y ∈ R → (y ∈ B → ¬ x <R y)) → (0R <R y → (y ∈ R → (y ∈ A → ¬ x <R y))))
36	35	adantl 388	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((∃y(y ∈ A ⋀ 0R <R y) ⋀ x ∈ R) ⋀ ∀y(y ∈ R → (y ∈ B → ¬ x <R y))) → (0R <R y → (y ∈ R → (y ∈ A → ¬ x <R y))))
37		hba1 1001	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (∀y(y ∈ R → (y ∈ B → ¬ x <R y)) → ∀y∀y(y ∈ R → (y ∈ B → ¬ x <R y)))
38		ax-17 969	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (0R <R x → ∀y0R <R x)
39	37, 38	hbim 1005	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((∀y(y ∈ R → (y ∈ B → ¬ x <R y)) → 0R <R x) → ∀y(∀y(y ∈ R → (y ∈ B → ¬ x <R y)) → 0R <R x))
40	24, 39	hbim 1005	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((x ∈ R → (∀y(y ∈ R → (y ∈ B → ¬ x <R y)) → 0R <R x)) → ∀y(x ∈ R → (∀y(y ∈ R → (y ∈ B → ¬ x <R y)) → 0R <R x)))
41		ltsosr 5183	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ <R Or R
42		sotric 2855	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (( <R Or R ⋀ (x ∈ R ⋀ y ∈ R)) → (x <R y ↔ ¬ (x = y ⋁ y <R x)))
43	41, 42	mpan 694	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((x ∈ R ⋀ y ∈ R) → (x <R y ↔ ¬ (x = y ⋁ y <R x)))
44	43	con2bid 525	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((x ∈ R ⋀ y ∈ R) → ((x = y ⋁ y <R x) ↔ ¬ x <R y))
45		visset 1809	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ y ∈ V
46		ltrelsr 5160	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ <R ⊆ (R × R)
47	45, 46	brel 3218	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (0R <R y → (0R ∈ R ⋀ y ∈ R))
48	47	pm3.27d 325	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (0R <R y → y ∈ R)
49	44, 48	sylan2 451	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((x ∈ R ⋀ 0R <R y) → ((x = y ⋁ y <R x) ↔ ¬ x <R y))
50		breq2 2618	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (x = y → (0R <R x ↔ 0R <R y))
51	50	biimprcd 156	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (0R <R y → (x = y → 0R <R x))
52		0r 5169	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ 0R ∈ R
53	52	elisseti 1814	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ 0R ∈ V
54	53, 41, 46, 45, 1	sotri 3435	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((0R <R y ⋀ y <R x) → 0R <R x)
55	54	ex 373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (0R <R y → (y <R x → 0R <R x))
56	51, 55	jaod 424	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (0R <R y → ((x = y ⋁ y <R x) → 0R <R x))
57	56	adantl 388	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((x ∈ R ⋀ 0R <R y) → ((x = y ⋁ y <R x) → 0R <R x))
58	49, 57	sylbird 205	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((x ∈ R ⋀ 0R <R y) → (¬ x <R y → 0R <R x))
59	58	ex 373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (x ∈ R → (0R <R y → (¬ x <R y → 0R <R x)))
60	59	adantld 390	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (x ∈ R → ((y ∈ A ⋀ 0R <R y) → (¬ x <R y → 0R <R x)))
61	60	a2d 13	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (x ∈ R → (((y ∈ A ⋀ 0R <R y) → ¬ x <R y) → ((y ∈ A ⋀ 0R <R y) → 0R <R x)))
62	61, 28	syl5ib 206	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (x ∈ R → ((y ∈ B → ¬ x <R y) → ((y ∈ A ⋀ 0R <R y) → 0R <R x)))
63	62	imim2d 25	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (x ∈ R → ((y ∈ R → (y ∈ B → ¬ x <R y)) → (y ∈ R → ((y ∈ A ⋀ 0R <R y) → 0R <R x))))
64	48	imim1i 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((y ∈ R → ((y ∈ A ⋀ 0R <R y) → 0R <R x)) → (0R <R y → ((y ∈ A ⋀ 0R <R y) → 0R <R x)))
65		anabs7 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((0R <R y ⋀ (y ∈ A ⋀ 0R <R y)) ↔ (y ∈ A ⋀ 0R <R y))
66	65	imbi1i 186	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((0R <R y ⋀ (y ∈ A ⋀ 0R <R y)) → 0R <R x) ↔ ((y ∈ A ⋀ 0R <R y) → 0R <R x))
67		impexp 347	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((0R <R y ⋀ (y ∈ A ⋀ 0R <R y)) → 0R <R x) ↔ (0R <R y → ((y ∈ A ⋀ 0R <R y) → 0R <R x)))
68	66, 67	bitr3 175	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((y ∈ A ⋀ 0R <R y) → 0R <R x) ↔ (0R <R y → ((y ∈ A ⋀ 0R <R y) → 0R <R x)))
69	64, 68	sylibr 200	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((y ∈ R → ((y ∈ A ⋀ 0R <R y) → 0R <R x)) → ((y ∈ A ⋀ 0R <R y) → 0R <R x))
70	63, 69	syl6 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (x ∈ R → ((y ∈ R → (y ∈ B → ¬ x <R y)) → ((y ∈ A ⋀ 0R <R y) → 0R <R x)))
71	70	a4sd 983	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (x ∈ R → (∀y(y ∈ R → (y ∈ B → ¬ x <R y)) → ((y ∈ A ⋀ 0R <R y) → 0R <R x)))
72	71	com3r 35	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((y ∈ A ⋀ 0R <R y) → (x ∈ R → (∀y(y ∈ R → (y ∈ B → ¬ x <R y)) → 0R <R x)))
73	40, 72	19.23ai 1062	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∃y(y ∈ A ⋀ 0R <R y) → (x ∈ R → (∀y(y ∈ R → (y ∈ B → ¬ x <R y)) → 0R <R x)))
74	73	imp31 362	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((∃y(y ∈ A ⋀ 0R <R y) ⋀ x ∈ R) ⋀ ∀y(y ∈ R → (y ∈ B → ¬ x <R y))) → 0R <R x)
75	53, 41, 46, 1, 45	sotri 3435	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((0R <R x ⋀ x <R y) → 0R <R y)
76	75	ex 373	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (0R <R x → (x <R y → 0R <R y))
77	76	con3d 95	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0R <R x → (¬ 0R <R y → ¬ x <R y))
78	74, 77	syl 10	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((∃y(y ∈ A ⋀ 0R <R y) ⋀ x ∈ R) ⋀ ∀y(y ∈ R → (y ∈ B → ¬ x <R y))) → (¬ 0R <R y → ¬ x <R y))
79		ax-1 4	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (¬ x <R y → (y ∈ A → ¬ x <R y))
80	79	a1d 12	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (¬ x <R y → (y ∈ R → (y ∈ A → ¬ x <R y)))
81	78, 80	syl6 22	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((∃y(y ∈ A ⋀ 0R <R y) ⋀ x ∈ R) ⋀ ∀y(y ∈ R → (y ∈ B → ¬ x <R y))) → (¬ 0R <R y → (y ∈ R → (y ∈ A → ¬ x <R y))))
82	36, 81	pm2.61d 127	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((∃y(y ∈ A ⋀ 0R <R y) ⋀ x ∈ R) ⋀ ∀y(y ∈ R → (y ∈ B → ¬ x <R y))) → (y ∈ R → (y ∈ A → ¬ x <R y)))
83	82	ex 373	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∃y(y ∈ A ⋀ 0R <R y) ⋀ x ∈ R) → (∀y(y ∈ R → (y ∈ B → ¬ x <R y)) → (y ∈ R → (y ∈ A → ¬ x <R y))))
84		visset 1809	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ z ∈ V
85		eleq1 1531	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (y = z → (y ∈ A ↔ z ∈ A))
86		breq2 2618	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (y = z → (0R <R y ↔ 0R <R z))
87	85, 86	anbi12d 627	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (y = z → ((y ∈ A ⋀ 0R <R y) ↔ (z ∈ A ⋀ 0R <R z)))
88	84, 87, 5	elab2 1897	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (z ∈ B ↔ (z ∈ A ⋀ 0R <R z))
89	88	pm3.26bi 322	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (z ∈ B → z ∈ A)
90	89	anim1i 334	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((z ∈ B ⋀ y <R z) → (z ∈ A ⋀ y <R z))
91	90	anim2i 335	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((z ∈ R ⋀ (z ∈ B ⋀ y <R z)) → (z ∈ R ⋀ (z ∈ A ⋀ y <R z)))
92	91	19.22i 1038	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∃z(z ∈ R ⋀ (z ∈ B ⋀ y <R z)) → ∃z(z ∈ R ⋀ (z ∈ A ⋀ y <R z)))
93	92	imim2i 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((y <R x → ∃z(z ∈ R ⋀ (z ∈ B ⋀ y <R z))) → (y <R x → ∃z(z ∈ R ⋀ (z ∈ A ⋀ y <R z))))
94	93	imim2i 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((y ∈ R → (y <R x → ∃z(z ∈ R ⋀ (z ∈ B ⋀ y <R z)))) → (y ∈ R → (y <R x → ∃z(z ∈ R ⋀ (z ∈ A ⋀ y <R z)))))
95	94	a4s 982	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∀y(y ∈ R → (y <R x → ∃z(z ∈ R ⋀ (z ∈ B ⋀ y <R z)))) → (y ∈ R → (y <R x → ∃z(z ∈ R ⋀ (z ∈ A ⋀ y <R z)))))
96	95	a1i 8	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∃y(y ∈ A ⋀ 0R <R y) ⋀ x ∈ R) → (∀y(y ∈ R → (y <R x → ∃z(z ∈ R ⋀ (z ∈ B ⋀ y <R z)))) → (y ∈ R → (y <R x → ∃z(z ∈ R ⋀ (z ∈ A ⋀ y <R z))))))
97	83, 96	anim12d 557	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∃y(y ∈ A ⋀ 0R <R y) ⋀ x ∈ R) → ((∀y(y ∈ R → (y ∈ B → ¬ x <R y)) ⋀ ∀y(y ∈ R → (y <R x → ∃z(z ∈ R ⋀ (z ∈ B ⋀ y <R z))))) → ((y ∈ R → (y ∈ A → ¬ x <R y)) ⋀ (y ∈ R → (y <R x → ∃z(z ∈ R ⋀ (z ∈ A ⋀ y <R z)))))))
98		jcab 597	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((y ∈ R → ((y ∈ B → ¬ x <R y) ⋀ (y <R x → ∃z(z ∈ R ⋀ (z ∈ B ⋀ y <R z))))) ↔ ((y ∈ R → (y ∈ B → ¬ x <R y)) ⋀ (y ∈ R → (y <R x → ∃z(z ∈ R ⋀ (z ∈ B ⋀ y <R z))))))
99	98	albii 997	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀y(y ∈ R → ((y ∈ B → ¬ x <R y) ⋀ (y <R x → ∃z(z ∈ R ⋀ (z ∈ B ⋀ y <R z))))) ↔ ∀y((y ∈ R → (y ∈ B → ¬ x <R y)) ⋀ (y ∈ R → (y <R x → ∃z(z ∈ R ⋀ (z ∈ B ⋀ y <R z))))))
100		19.26 1065	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀y((y ∈ R → (y ∈ B → ¬ x <R y)) ⋀ (y ∈ R → (y <R x → ∃z(z ∈ R ⋀ (z ∈ B ⋀ y <R z))))) ↔ (∀y(y ∈ R → (y ∈ B → ¬ x <R y)) ⋀ ∀y(y ∈ R → (y <R x → ∃z(z ∈ R ⋀ (z ∈ B ⋀ y <R z))))))
101	99, 100	bitr 173	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀y(y ∈ R → ((y ∈ B → ¬ x <R y) ⋀ (y <R x → ∃z(z ∈ R ⋀ (z ∈ B ⋀ y <R z))))) ↔ (∀y(y ∈ R → (y ∈ B → ¬ x <R y)) ⋀ ∀y(y ∈ R → (y <R x → ∃z(z ∈ R ⋀ (z ∈ B ⋀ y <R z))))))
102		jcab 597	. . . . . . . . 9 ⊢ ((y ∈ R → ((y ∈ A → ¬ x <R y) ⋀ (y <R x → ∃z(z ∈ R ⋀ (z ∈ A ⋀ y <R z))))) ↔ ((y ∈ R → (y ∈ A → ¬ x <R y)) ⋀ (y ∈ R → (y <R x → ∃z(z ∈ R ⋀ (z ∈ A ⋀ y <R z))))))
103	97, 101, 102	3imtr4g 552	. . . . . . . 8 ⊢ ((∃y(y ∈ A ⋀ 0R <R y) ⋀ x ∈ R) → (∀y(y ∈ R → ((y ∈ B → ¬ x <R y) ⋀ (y <R x → ∃z(z ∈ R ⋀ (z ∈ B ⋀ y <R z))))) → (y ∈ R → ((y ∈ A → ¬ x <R y) ⋀ (y <R x → ∃z(z ∈ R ⋀ (z ∈ A ⋀ y <R z)))))))
104	103	imp 350	. . . . . . 7 ⊢ (((∃y(y ∈ A ⋀ 0R <R y) ⋀ x ∈ R) ⋀ ∀y(y ∈ R → ((y ∈ B → ¬ x <R y) ⋀ (y <R x → ∃z(z ∈ R ⋀ (z ∈ B ⋀ y <R z)))))) → (y ∈ R → ((y ∈ A → ¬ x <R y) ⋀ (y <R x → ∃z(z ∈ R ⋀ (z ∈ A ⋀ y <R z))))))
105	27, 104	19.21ai 996	. . . . . 6 ⊢ (((∃y(y ∈ A ⋀ 0R <R y) ⋀ x ∈ R) ⋀ ∀y(y ∈ R → ((y ∈ B → ¬ x <R y) ⋀ (y <R x → ∃z(z ∈ R ⋀ (z ∈ B ⋀ y <R z)))))) → ∀y(y ∈ R → ((y ∈ A → ¬ x <R y) ⋀ (y <R x → ∃z(z ∈ R ⋀ (z ∈ A ⋀ y <R z))))))
106	105	exp31 376	. . . . 5 ⊢ (∃y(y ∈ A ⋀ 0R <R y) → (x ∈ R → (∀y(y ∈ R → ((y ∈ B → ¬ x <R y) ⋀ (y <R x → ∃z(z ∈ R ⋀ (z ∈ B ⋀ y <R z))))) → ∀y(y ∈ R → ((y ∈ A → ¬ x <R y) ⋀ (y <R x → ∃z(z ∈ R ⋀ (z ∈ A ⋀ y <R z))))))))
107	106	imdistand 445	. . . 4 ⊢ (∃y(y ∈ A ⋀ 0R <R y) → ((x ∈ R ⋀ ∀y(y ∈ R → ((y ∈ B → ¬ x <R y) ⋀ (y <R x → ∃z(z ∈ R ⋀ (z ∈ B ⋀ y <R z)))))) → (x ∈ R ⋀ ∀y(y ∈ R → ((y ∈ A → ¬ x <R y) ⋀ (y <R x → ∃z(z ∈ R ⋀ (z ∈ A ⋀ y <R z))))))))
108	107	19.22dv 1288	. . 3 ⊢ (∃y(y ∈ A ⋀ 0R <R y) → (∃x(x ∈ R ⋀ ∀y(y ∈ R → ((y ∈ B → ¬ x <R y) ⋀ (y <R x → ∃z(z ∈ R ⋀ (z ∈ B ⋀ y <R z)))))) → ∃x(x ∈ R ⋀ ∀y(y ∈ R → ((y ∈ A → ¬ x <R y) ⋀ (y <R x → ∃z(z ∈ R ⋀ (z ∈ A ⋀ y <R z))))))))
109	108	adantr 389	. 2 ⊢ ((∃y(y ∈ A ⋀ 0R <R y) ⋀ ∃x(x ∈ R ⋀ ∀y(y ∈ R → (y ∈ A → y <R x)))) → (∃x(x ∈ R ⋀ ∀y(y ∈ R → ((y ∈ B → ¬ x <R y) ⋀ (y <R x → ∃z(z ∈ R ⋀ (z ∈ B ⋀ y <R z)))))) → ∃x(x ∈ R ⋀ ∀y(y ∈ R → ((y ∈ A → ¬ x <R y) ⋀ (y <R x → ∃z(z ∈ R ⋀ (z ∈ A ⋀ y <R z))))))))
110	22, 109	mpd 26	1 ⊢ ((∃y(y ∈ A ⋀ 0R <R y) ⋀ ∃x(x ∈ R ⋀ ∀y(y ∈ R → (y ∈ A → y <R x)))) → ∃x(x ∈ R ⋀ ∀y(y ∈ R → ((y ∈ A → ¬ x <R y) ⋀ (y <R x → ∃z(z ∈ R ⋀ (z ∈ A ⋀ y <R z)))))))

Syntax hints:  ¬ wn 2   → wi 3   ↔ wb 146   ⋁ wo 222   ⋀ wa 223  ∀wal 952   = wceq 954   ∈ wcel 956  ∃wex 978  {cab 1461  ∅c0 2276   class class class wbr 2614   Or wor 2834  Rcnr 4973  0_Rc0r 4974   <_R cltr 4979

This theorem is referenced by:  supsrlem6 5210

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-nul 2705  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861  ax-inf2 4605

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-ral 1646  df-rex 1647  df-reu 1648  df-rab 1649  df-v 1808  df-sbc 1938  df-csb 1998  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-pss 2051  df-nul 2277  df-if 2358  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-tp 2411  df-op 2412  df-uni 2499  df-int 2529  df-iun 2563  df-br 2615  df-opab 2662  df-tr 2676  df-eprel 2827  df-id 2830  df-po 2835  df-so 2845  df-fr 2912  df-we 2929  df-ord 2946  df-on 2947  df-lim 2948  df-suc 2949  df-om 3127  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-f 3189  df-fv 3193  df-rdg 3923  df-opr 3956  df-oprab 3957  df-1st 4069  df-2nd 4070  df-1o 4123  df-oadd 4125  df-omul 4126  df-er 4251  df-ec 4253  df-qs 4256  df-ni 4980  df-pli 4981  df-mi 4982  df-lti 4983  df-plpq 5015  df-mpq 5016  df-enq 5017  df-nq 5018  df-plq 5019  df-mq 5020  df-rq 5021  df-ltq 5022  df-1q 5023  df-np 5066  df-1p 5067  df-plp 5068  df-ltp 5070  df-enr 5146  df-nr 5147  df-ltr 5150  df-0r 5151

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