Theorem suppss2 7858

Description: Show that the support of a function is contained in a set. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Mar-2015.) (Revised by AV, 28-May-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
suppss2.n	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑊)) → 𝐵 = 𝑍)
suppss2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
suppss2	⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) supp 𝑍) ⊆ 𝑊)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘   𝑘,𝑊   𝑘,𝑍

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝑉(𝑘)

Proof of Theorem suppss2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2821	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
2		suppss2.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
3	2	adantl 484	. . . . 5 ⊢ ((𝑍 ∈ V ∧ 𝜑) → 𝐴 ∈ 𝑉)
4		simpl 485	. . . . 5 ⊢ ((𝑍 ∈ V ∧ 𝜑) → 𝑍 ∈ V)
5	1, 3, 4	mptsuppdifd 7846	. . . 4 ⊢ ((𝑍 ∈ V ∧ 𝜑) → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) supp 𝑍) = {𝑘 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (V ∖ {𝑍})})
6		eldifsni 4716	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ (V ∖ {𝑍}) → 𝐵 ≠ 𝑍)
7		eldif 3946	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑊) ↔ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑘 ∈ 𝑊))
8		suppss2.n	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑊)) → 𝐵 = 𝑍)
9	8	adantll 712	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑍 ∈ V ∧ 𝜑) ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑊)) → 𝐵 = 𝑍)
10	7, 9	sylan2br 596	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑍 ∈ V ∧ 𝜑) ∧ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑘 ∈ 𝑊)) → 𝐵 = 𝑍)
11	10	expr 459	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑍 ∈ V ∧ 𝜑) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (¬ 𝑘 ∈ 𝑊 → 𝐵 = 𝑍))
12	11	necon1ad 3033	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑍 ∈ V ∧ 𝜑) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐵 ≠ 𝑍 → 𝑘 ∈ 𝑊))
13	6, 12	syl5 34	. . . . . 6 ⊢ (((𝑍 ∈ V ∧ 𝜑) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐵 ∈ (V ∖ {𝑍}) → 𝑘 ∈ 𝑊))
14	13	3impia 1113	. . . . 5 ⊢ (((𝑍 ∈ V ∧ 𝜑) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ (V ∖ {𝑍})) → 𝑘 ∈ 𝑊)
15	14	rabssdv 4051	. . . 4 ⊢ ((𝑍 ∈ V ∧ 𝜑) → {𝑘 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (V ∖ {𝑍})} ⊆ 𝑊)
16	5, 15	eqsstrd 4005	. . 3 ⊢ ((𝑍 ∈ V ∧ 𝜑) → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) supp 𝑍) ⊆ 𝑊)
17	16	ex 415	. 2 ⊢ (𝑍 ∈ V → (𝜑 → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) supp 𝑍) ⊆ 𝑊))
18		id 22	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑍 ∈ V → ¬ 𝑍 ∈ V)
19	18	intnand 491	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑍 ∈ V → ¬ ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V))
20		supp0prc 7827	. . . . 5 ⊢ (¬ ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) supp 𝑍) = ∅)
21	19, 20	syl 17	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑍 ∈ V → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) supp 𝑍) = ∅)
22		0ss 4350	. . . 4 ⊢ ∅ ⊆ 𝑊
23	21, 22	eqsstrdi 4021	. . 3 ⊢ (¬ 𝑍 ∈ V → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) supp 𝑍) ⊆ 𝑊)
24	23	a1d 25	. 2 ⊢ (¬ 𝑍 ∈ V → (𝜑 → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) supp 𝑍) ⊆ 𝑊))
25	17, 24	pm2.61i 184	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) supp 𝑍) ⊆ 𝑊)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1533   ∈ wcel 2110   ≠ wne 3016  {crab 3142  Vcvv 3495   ∖ cdif 3933   ⊆ wss 3936  ∅c0 4291  {csn 4561   ↦ cmpt 5139  (class class class)co 7150   supp csupp 7824

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2156  ax-12 2172  ax-ext 2793  ax-rep 5183  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5322  ax-un 7455

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-nul 4292  df-if 4468  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4833  df-iun 4914  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-id 5455  df-xp 5556  df-rel 5557  df-cnv 5558  df-co 5559  df-dm 5560  df-rn 5561  df-res 5562  df-ima 5563  df-iota 6309  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-supp 7825

This theorem is referenced by:  suppsssn  7859  fsuppmptif  8857  sniffsupp  8867  cantnflem1d  9145  cantnflem1  9146  gsumzsplit  19041  gsummpt1n0  19079  gsum2dlem1  19084  gsum2dlem2  19085  gsum2d  19086  dprdfid  19133  dprdfinv  19135  dprdfadd  19136  dmdprdsplitlem  19153  dpjidcl  19174  psrbagaddcl  20144  psrlidm  20177  psrridm  20178  mplsubrg  20214  mplmon  20238  mplmonmul  20239  mplcoe1  20240  mplcoe5  20243  mplbas2  20245  evlslem4  20282  evlslem2  20286  evlslem3  20287  evlslem1  20289  coe1tmmul2  20438  coe1tmmul  20439  uvcff  20929  uvcresum  20931  tsmssplit  22754  coe1mul3  24687  plypf1  24796  tayl0  24944  suppss2f  30378  suppss3  30454  fedgmullem2  31021