MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  suppssdm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem suppssdm 7832
Description: The support of a function is a subset of the function's domain. (Contributed by AV, 30-May-2019.)
Assertion
Ref Expression
suppssdm (𝐹 supp 𝑍) ⊆ dom 𝐹

Proof of Theorem suppssdm
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 suppval 7821 . . 3 ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (𝐹 supp 𝑍) = {𝑖 ∈ dom 𝐹 ∣ (𝐹 “ {𝑖}) ≠ {𝑍}})
2 ssrab2 4053 . . 3 {𝑖 ∈ dom 𝐹 ∣ (𝐹 “ {𝑖}) ≠ {𝑍}} ⊆ dom 𝐹
31, 2eqsstrdi 4018 . 2 ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (𝐹 supp 𝑍) ⊆ dom 𝐹)
4 supp0prc 7822 . . 3 (¬ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (𝐹 supp 𝑍) = ∅)
5 0ss 4347 . . 3 ∅ ⊆ dom 𝐹
64, 5eqsstrdi 4018 . 2 (¬ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (𝐹 supp 𝑍) ⊆ dom 𝐹)
73, 6pm2.61i 183 1 (𝐹 supp 𝑍) ⊆ dom 𝐹
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wa 396  wcel 2105  wne 3013  {crab 3139  Vcvv 3492  wss 3933  c0 4288  {csn 4557  dom cdm 5548  cima 5551  (class class class)co 7145   supp csupp 7819
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-ral 3140  df-rex 3141  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-br 5058  df-opab 5120  df-id 5453  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fv 6356  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-supp 7820
This theorem is referenced by:  snopsuppss  7834  wemapso2lem  9004  cantnfcl  9118  cantnfle  9122  cantnflt  9123  cantnff  9125  cantnfres  9128  cantnfp1lem3  9131  cantnflem1b  9137  cantnflem1  9140  cantnflem3  9142  cnfcomlem  9150  cnfcom  9151  cnfcom3lem  9154  cnfcom3  9155  fsuppmapnn0fiublem  13346  fsuppmapnn0fiub  13347  gsumval3lem1  18954  gsumval3lem2  18955  gsumval3  18956  gsumzres  18958  gsumzcl2  18959  gsumzf1o  18961  gsumzaddlem  18970  gsumconst  18983  gsumzoppg  18993  gsum2d  19021  dpjidcl  19109  psrass1lem  20085  psrass1  20113  psrass23l  20116  psrcom  20117  psrass23  20118  mplcoe1  20174  psropprmul  20334  coe1mul2  20365  gsumfsum  20540  regsumsupp  20694  frlmlbs  20869  tsmsgsum  22674  rrxcph  23922  rrxsuppss  23933  rrxmval  23935  mdegfval  24583  mdegleb  24585  mdegldg  24587  deg1mul3le  24637  wilthlem3  25574  suppovss  30354  fsuppcurry1  30387  fsuppcurry2  30388  fedgmullem1  30924  fdivmpt  44528  fdivmptf  44529  refdivmptf  44530  fdivpm  44531  refdivpm  44532
  Copyright terms: Public domain W3C validator