MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  suppssfifsupp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem suppssfifsupp 8151
Description: If the support of a function is a subset of a finite set, the function is finitely supported. (Contributed by AV, 15-Jul-2019.)
Assertion
Ref Expression
suppssfifsupp (((𝐺𝑉 ∧ Fun 𝐺𝑍𝑊) ∧ (𝐹 ∈ Fin ∧ (𝐺 supp 𝑍) ⊆ 𝐹)) → 𝐺 finSupp 𝑍)

Proof of Theorem suppssfifsupp
StepHypRef Expression
1 ssfi 8043 . . 3 ((𝐹 ∈ Fin ∧ (𝐺 supp 𝑍) ⊆ 𝐹) → (𝐺 supp 𝑍) ∈ Fin)
21adantl 481 . 2 (((𝐺𝑉 ∧ Fun 𝐺𝑍𝑊) ∧ (𝐹 ∈ Fin ∧ (𝐺 supp 𝑍) ⊆ 𝐹)) → (𝐺 supp 𝑍) ∈ Fin)
3 3ancoma 1038 . . . . 5 ((𝐺𝑉 ∧ Fun 𝐺𝑍𝑊) ↔ (Fun 𝐺𝐺𝑉𝑍𝑊))
43biimpi 205 . . . 4 ((𝐺𝑉 ∧ Fun 𝐺𝑍𝑊) → (Fun 𝐺𝐺𝑉𝑍𝑊))
54adantr 480 . . 3 (((𝐺𝑉 ∧ Fun 𝐺𝑍𝑊) ∧ (𝐹 ∈ Fin ∧ (𝐺 supp 𝑍) ⊆ 𝐹)) → (Fun 𝐺𝐺𝑉𝑍𝑊))
6 funisfsupp 8141 . . 3 ((Fun 𝐺𝐺𝑉𝑍𝑊) → (𝐺 finSupp 𝑍 ↔ (𝐺 supp 𝑍) ∈ Fin))
75, 6syl 17 . 2 (((𝐺𝑉 ∧ Fun 𝐺𝑍𝑊) ∧ (𝐹 ∈ Fin ∧ (𝐺 supp 𝑍) ⊆ 𝐹)) → (𝐺 finSupp 𝑍 ↔ (𝐺 supp 𝑍) ∈ Fin))
82, 7mpbird 246 1 (((𝐺𝑉 ∧ Fun 𝐺𝑍𝑊) ∧ (𝐹 ∈ Fin ∧ (𝐺 supp 𝑍) ⊆ 𝐹)) → 𝐺 finSupp 𝑍)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 195  wa 383  w3a 1031  wcel 1977  wss 3540   class class class wbr 4578  Fun wfun 5784  (class class class)co 6527   supp csupp 7160  Fincfn 7819   finSupp cfsupp 8136
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4704  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6825
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4368  df-br 4579  df-opab 4639  df-tr 4676  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-ov 6530  df-om 6936  df-er 7607  df-en 7820  df-fin 7823  df-fsupp 8137
This theorem is referenced by:  fsuppsssupp  8152  fsfnn0gsumfsffz  18151  mptscmfsupp0  18700  psrass1lem  19147  psrlidm  19173  psrridm  19174  psrass1  19175  psrass23l  19178  psrcom  19179  psrass23  19180  mplsubrglem  19209  mplsubrg  19210  mvrcl  19219  mplmon  19233  mplmonmul  19234  mplcoe1  19235  mplcoe5  19238  mplbas2  19240  psrbagev1  19280  evlslem2  19282  evlslem6  19283  evlslem3  19284  psropprmul  19378  coe1mul2  19409  uvcff  19897  uvcresum  19899  frlmup1  19904  plypf1  23717  tayl0  23865  lincresunit2  42053
  Copyright terms: Public domain W3C validator