Theorem suppssfv 7869

Description: Formula building theorem for support restriction, on a function which preserves zero. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Mar-2015.) (Revised by AV, 28-May-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
suppssfv.a	⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 𝐴) supp 𝑌) ⊆ 𝐿)
suppssfv.f	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑌) = 𝑍)
suppssfv.v	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝐴 ∈ 𝑉)
suppssfv.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
suppssfv	⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘𝐴)) supp 𝑍) ⊆ 𝐿)

Distinct variable groups:   𝜑,𝑥   𝑥,𝐷   𝑥,𝑌   𝑥,𝑍

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝑈(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐿(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem suppssfv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldifsni 4725	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹‘𝐴) ∈ (V ∖ {𝑍}) → (𝐹‘𝐴) ≠ 𝑍)
2		suppssfv.v	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝐴 ∈ 𝑉)
3	2	elexd 3517	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝐴 ∈ V)
4	3	ad4ant23 751	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐷 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐹‘𝐴) ≠ 𝑍) → 𝐴 ∈ V)
5		suppssfv.f	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑌) = 𝑍)
6		fveqeq2 6682	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 = 𝑌 → ((𝐹‘𝐴) = 𝑍 ↔ (𝐹‘𝑌) = 𝑍))
7	5, 6	syl5ibrcom 249	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = 𝑌 → (𝐹‘𝐴) = 𝑍))
8	7	necon3d 3040	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐴) ≠ 𝑍 → 𝐴 ≠ 𝑌))
9	8	ad2antlr 725	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐷 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → ((𝐹‘𝐴) ≠ 𝑍 → 𝐴 ≠ 𝑌))
10	9	imp 409	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐷 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐹‘𝐴) ≠ 𝑍) → 𝐴 ≠ 𝑌)
11		eldifsn 4722	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (V ∖ {𝑌}) ↔ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐴 ≠ 𝑌))
12	4, 10, 11	sylanbrc 585	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐷 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐹‘𝐴) ≠ 𝑍) → 𝐴 ∈ (V ∖ {𝑌}))
13	12	ex 415	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐷 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → ((𝐹‘𝐴) ≠ 𝑍 → 𝐴 ∈ (V ∖ {𝑌})))
14	1, 13	syl5 34	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐷 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → ((𝐹‘𝐴) ∈ (V ∖ {𝑍}) → 𝐴 ∈ (V ∖ {𝑌})))
15	14	ss2rabdv 4055	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝐴) ∈ (V ∖ {𝑍})} ⊆ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝐴 ∈ (V ∖ {𝑌})})
16		eqid 2824	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘𝐴))
17		simpll 765	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) → 𝐷 ∈ V)
18		simplr 767	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) → 𝑍 ∈ V)
19	16, 17, 18	mptsuppdifd 7855	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) → ((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘𝐴)) supp 𝑍) = {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝐴) ∈ (V ∖ {𝑍})})
20		eqid 2824	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 𝐴) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 𝐴)
21		suppssfv.y	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑈)
22	21	adantl 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) → 𝑌 ∈ 𝑈)
23	20, 17, 22	mptsuppdifd 7855	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) → ((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 𝐴) supp 𝑌) = {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝐴 ∈ (V ∖ {𝑌})})
24	15, 19, 23	3sstr4d 4017	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) → ((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘𝐴)) supp 𝑍) ⊆ ((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 𝐴) supp 𝑌))
25		suppssfv.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 𝐴) supp 𝑌) ⊆ 𝐿)
26	25	adantl 484	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) → ((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 𝐴) supp 𝑌) ⊆ 𝐿)
27	24, 26	sstrd 3980	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) → ((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘𝐴)) supp 𝑍) ⊆ 𝐿)
28	27	ex 415	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘𝐴)) supp 𝑍) ⊆ 𝐿))
29		mptexg 6987	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ V → (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘𝐴)) ∈ V)
30		fvex 6686	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹‘𝐴) ∈ V
31	30	rgenw 3153	. . . . . . . . 9 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝐷 (𝐹‘𝐴) ∈ V
32		dmmptg 6099	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐷 (𝐹‘𝐴) ∈ V → dom (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘𝐴)) = 𝐷)
33	31, 32	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ dom (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘𝐴)) = 𝐷
34		dmexg 7616	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘𝐴)) ∈ V → dom (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘𝐴)) ∈ V)
35	33, 34	eqeltrrid 2921	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘𝐴)) ∈ V → 𝐷 ∈ V)
36	29, 35	impbii 211	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ V ↔ (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘𝐴)) ∈ V)
37	36	anbi1i 625	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘𝐴)) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V))
38		supp0prc 7836	. . . . 5 ⊢ (¬ ((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘𝐴)) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → ((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘𝐴)) supp 𝑍) = ∅)
39	37, 38	sylnbi 332	. . . 4 ⊢ (¬ (𝐷 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → ((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘𝐴)) supp 𝑍) = ∅)
40		0ss 4353	. . . 4 ⊢ ∅ ⊆ 𝐿
41	39, 40	eqsstrdi 4024	. . 3 ⊢ (¬ (𝐷 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → ((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘𝐴)) supp 𝑍) ⊆ 𝐿)
42	41	a1d 25	. 2 ⊢ (¬ (𝐷 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘𝐴)) supp 𝑍) ⊆ 𝐿))
43	28, 42	pm2.61i 184	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘𝐴)) supp 𝑍) ⊆ 𝐿)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1536   ∈ wcel 2113   ≠ wne 3019  ∀wral 3141  {crab 3145  Vcvv 3497   ∖ cdif 3936   ⊆ wss 3939  ∅c0 4294  {csn 4570   ↦ cmpt 5149  dom cdm 5558  ‘cfv 6358  (class class class)co 7159   supp csupp 7833

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-rep 5193  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333  ax-un 7464

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-ral 3146  df-rex 3147  df-reu 3148  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-nul 4295  df-if 4471  df-sn 4571  df-pr 4573  df-op 4577  df-uni 4842  df-iun 4924  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-id 5463  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-ov 7162  df-oprab 7163  df-mpo 7164  df-supp 7834

This theorem is referenced by:  evlslem2  20295  evlslem6  20297