MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  suppssr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem suppssr 7271
Description: A function is zero outside its support. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Dec-2014.) (Revised by AV, 28-May-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
suppssr.f (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
suppssr.n (𝜑 → (𝐹 supp 𝑍) ⊆ 𝑊)
suppssr.a (𝜑𝐴𝑉)
suppssr.z (𝜑𝑍𝑈)
Assertion
Ref Expression
suppssr ((𝜑𝑋 ∈ (𝐴𝑊)) → (𝐹𝑋) = 𝑍)

Proof of Theorem suppssr
StepHypRef Expression
1 eldif 3565 . 2 (𝑋 ∈ (𝐴𝑊) ↔ (𝑋𝐴 ∧ ¬ 𝑋𝑊))
2 fvex 6158 . . . . . 6 (𝐹𝑋) ∈ V
3 eldifsn 4287 . . . . . 6 ((𝐹𝑋) ∈ (V ∖ {𝑍}) ↔ ((𝐹𝑋) ∈ V ∧ (𝐹𝑋) ≠ 𝑍))
42, 3mpbiran 952 . . . . 5 ((𝐹𝑋) ∈ (V ∖ {𝑍}) ↔ (𝐹𝑋) ≠ 𝑍)
5 suppssr.f . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
6 ffn 6002 . . . . . . . . . 10 (𝐹:𝐴𝐵𝐹 Fn 𝐴)
75, 6syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹 Fn 𝐴)
8 suppssr.a . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴𝑉)
9 suppssr.z . . . . . . . . 9 (𝜑𝑍𝑈)
10 elsuppfn 7248 . . . . . . . . 9 ((𝐹 Fn 𝐴𝐴𝑉𝑍𝑈) → (𝑋 ∈ (𝐹 supp 𝑍) ↔ (𝑋𝐴 ∧ (𝐹𝑋) ≠ 𝑍)))
117, 8, 9, 10syl3anc 1323 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝐹 supp 𝑍) ↔ (𝑋𝐴 ∧ (𝐹𝑋) ≠ 𝑍)))
12 ibar 525 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹𝑋) ∈ V → ((𝐹𝑋) ≠ 𝑍 ↔ ((𝐹𝑋) ∈ V ∧ (𝐹𝑋) ≠ 𝑍)))
132, 12mp1i 13 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑋𝐴) → ((𝐹𝑋) ≠ 𝑍 ↔ ((𝐹𝑋) ∈ V ∧ (𝐹𝑋) ≠ 𝑍)))
1413, 3syl6bbr 278 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑋𝐴) → ((𝐹𝑋) ≠ 𝑍 ↔ (𝐹𝑋) ∈ (V ∖ {𝑍})))
1514pm5.32da 672 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑋𝐴 ∧ (𝐹𝑋) ≠ 𝑍) ↔ (𝑋𝐴 ∧ (𝐹𝑋) ∈ (V ∖ {𝑍}))))
1611, 15bitrd 268 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝐹 supp 𝑍) ↔ (𝑋𝐴 ∧ (𝐹𝑋) ∈ (V ∖ {𝑍}))))
17 suppssr.n . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹 supp 𝑍) ⊆ 𝑊)
1817sseld 3582 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝐹 supp 𝑍) → 𝑋𝑊))
1916, 18sylbird 250 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑋𝐴 ∧ (𝐹𝑋) ∈ (V ∖ {𝑍})) → 𝑋𝑊))
2019expdimp 453 . . . . 5 ((𝜑𝑋𝐴) → ((𝐹𝑋) ∈ (V ∖ {𝑍}) → 𝑋𝑊))
214, 20syl5bir 233 . . . 4 ((𝜑𝑋𝐴) → ((𝐹𝑋) ≠ 𝑍𝑋𝑊))
2221necon1bd 2808 . . 3 ((𝜑𝑋𝐴) → (¬ 𝑋𝑊 → (𝐹𝑋) = 𝑍))
2322impr 648 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐴 ∧ ¬ 𝑋𝑊)) → (𝐹𝑋) = 𝑍)
241, 23sylan2b 492 1 ((𝜑𝑋 ∈ (𝐴𝑊)) → (𝐹𝑋) = 𝑍)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  Vcvv 3186  cdif 3552  wss 3555  {csn 4148   Fn wfn 5842  wf 5843  cfv 5847  (class class class)co 6604   supp csupp 7240
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pr 4867  ax-un 6902
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-id 4989  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-supp 7241
This theorem is referenced by:  fsuppmptif  8249  fsuppco2  8252  fsuppcor  8253  cantnfp1lem1  8519  cantnfp1lem3  8521  cantnflem1  8530  cnfcom2lem  8542  gsumval3  18229  gsumcllem  18230  gsumzaddlem  18242  gsumzmhm  18258  gsumpt  18282  gsum2dlem1  18290  gsum2dlem2  18291  gsum2d  18292  dprdfinv  18339  dprdfadd  18340  dmdprdsplitlem  18357  dpjidcl  18378  gsumdixp  18530  lcomfsupp  18824  psrbaglesupp  19287  psrbagaddcl  19289  psrbaglefi  19291  mplsubglem  19353  mpllsslem  19354  mplsubrglem  19358  mplmonmul  19383  mplcoe1  19384  mplcoe5  19387  mplbas2  19389  evlslem4  19427  evlslem2  19431  uvcresum  20051  frlmsslsp  20054  rrxcph  23088  rrxmval  23096  rrxmetlem  23098  rrxmet  23099  rrxdstprj1  23100  deg1mul3le  23780  eulerpartlemb  30211
  Copyright terms: Public domain W3C validator