Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  suprnmpt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem suprnmpt 38829
 Description: An explicit bound for the range of a bounded function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
suprnmpt.a (𝜑𝐴 ≠ ∅)
suprnmpt.b ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
suprnmpt.bnd (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑦)
suprnmpt.f 𝐹 = (𝑥𝐴𝐵)
suprnmpt.c 𝐶 = sup(ran 𝐹, ℝ, < )
Assertion
Ref Expression
suprnmpt (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝐶))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑦,𝐹   𝜑,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦)   𝐵(𝑥,𝑦)   𝐶(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem suprnmpt
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 suprnmpt.c . . 3 𝐶 = sup(ran 𝐹, ℝ, < )
2 suprnmpt.b . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
32ralrimiva 2960 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ ℝ)
4 suprnmpt.f . . . . . 6 𝐹 = (𝑥𝐴𝐵)
54rnmptss 6347 . . . . 5 (∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ ℝ → ran 𝐹 ⊆ ℝ)
63, 5syl 17 . . . 4 (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ ℝ)
7 nfv 1840 . . . . 5 𝑥𝜑
8 nfmpt1 4707 . . . . . . . 8 𝑥(𝑥𝐴𝐵)
94, 8nfcxfr 2759 . . . . . . 7 𝑥𝐹
109nfrn 5328 . . . . . 6 𝑥ran 𝐹
11 nfcv 2761 . . . . . 6 𝑥
1210, 11nfne 2890 . . . . 5 𝑥ran 𝐹 ≠ ∅
13 suprnmpt.a . . . . . 6 (𝜑𝐴 ≠ ∅)
14 n0 3907 . . . . . 6 (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥𝐴)
1513, 14sylib 208 . . . . 5 (𝜑 → ∃𝑥 𝑥𝐴)
16 simpr 477 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥𝐴)
174elrnmpt1 5334 . . . . . . 7 ((𝑥𝐴𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ran 𝐹)
1816, 2, 17syl2anc 692 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ran 𝐹)
19 ne0i 3897 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ran 𝐹 → ran 𝐹 ≠ ∅)
2018, 19syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → ran 𝐹 ≠ ∅)
217, 12, 15, 20exlimdd 2086 . . . 4 (𝜑 → ran 𝐹 ≠ ∅)
22 suprnmpt.bnd . . . . 5 (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑦)
23 nfv 1840 . . . . . 6 𝑦𝜑
24 nfre1 2999 . . . . . 6 𝑦𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ran 𝐹 𝑧𝑦
25 simp2 1060 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑦) → 𝑦 ∈ ℝ)
26 simpl1 1062 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑦) ∧ 𝑧 ∈ ran 𝐹) → 𝜑)
27 simpl3 1064 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑦) ∧ 𝑧 ∈ ran 𝐹) → ∀𝑥𝐴 𝐵𝑦)
28 vex 3189 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑧 ∈ V
294elrnmpt 5332 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 ∈ V → (𝑧 ∈ ran 𝐹 ↔ ∃𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵))
3028, 29ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 ∈ ran 𝐹 ↔ ∃𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵)
3130biimpi 206 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ ran 𝐹 → ∃𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵)
3231adantl 482 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑦) ∧ 𝑧 ∈ ran 𝐹) → ∃𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵)
33 simp3 1061 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑦 ∧ ∃𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵) → ∃𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵)
34 nfra1 2936 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥𝑥𝐴 𝐵𝑦
35 nfre1 2999 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵
367, 34, 35nf3an 1828 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥(𝜑 ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑦 ∧ ∃𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵)
37 nfv 1840 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥 𝑧𝑦
38 simp3 1061 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((∀𝑥𝐴 𝐵𝑦𝑥𝐴𝑧 = 𝐵) → 𝑧 = 𝐵)
39 rspa 2925 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((∀𝑥𝐴 𝐵𝑦𝑥𝐴) → 𝐵𝑦)
40393adant3 1079 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((∀𝑥𝐴 𝐵𝑦𝑥𝐴𝑧 = 𝐵) → 𝐵𝑦)
4138, 40eqbrtrd 4635 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((∀𝑥𝐴 𝐵𝑦𝑥𝐴𝑧 = 𝐵) → 𝑧𝑦)
42413exp 1261 . . . . . . . . . . . . . 14 (∀𝑥𝐴 𝐵𝑦 → (𝑥𝐴 → (𝑧 = 𝐵𝑧𝑦)))
43423ad2ant2 1081 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑦 ∧ ∃𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵) → (𝑥𝐴 → (𝑧 = 𝐵𝑧𝑦)))
4436, 37, 43rexlimd 3019 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑦 ∧ ∃𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵) → (∃𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵𝑧𝑦))
4533, 44mpd 15 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑦 ∧ ∃𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵) → 𝑧𝑦)
4626, 27, 32, 45syl3anc 1323 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑦) ∧ 𝑧 ∈ ran 𝐹) → 𝑧𝑦)
4746ralrimiva 2960 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑦) → ∀𝑧 ∈ ran 𝐹 𝑧𝑦)
48 19.8a 2049 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑧 ∈ ran 𝐹 𝑧𝑦) → ∃𝑦(𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑧 ∈ ran 𝐹 𝑧𝑦))
4925, 47, 48syl2anc 692 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑦) → ∃𝑦(𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑧 ∈ ran 𝐹 𝑧𝑦))
50 df-rex 2913 . . . . . . . 8 (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ran 𝐹 𝑧𝑦 ↔ ∃𝑦(𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑧 ∈ ran 𝐹 𝑧𝑦))
5149, 50sylibr 224 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑦) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ran 𝐹 𝑧𝑦)
52513exp 1261 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑦 ∈ ℝ → (∀𝑥𝐴 𝐵𝑦 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ran 𝐹 𝑧𝑦)))
5323, 24, 52rexlimd 3019 . . . . 5 (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑦 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ran 𝐹 𝑧𝑦))
5422, 53mpd 15 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ran 𝐹 𝑧𝑦)
55 suprcl 10927 . . . 4 ((ran 𝐹 ⊆ ℝ ∧ ran 𝐹 ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ran 𝐹 𝑧𝑦) → sup(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ ℝ)
566, 21, 54, 55syl3anc 1323 . . 3 (𝜑 → sup(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ ℝ)
571, 56syl5eqel 2702 . 2 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
586adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → ran 𝐹 ⊆ ℝ)
5954adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ran 𝐹 𝑧𝑦)
60 suprub 10928 . . . . 5 (((ran 𝐹 ⊆ ℝ ∧ ran 𝐹 ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ran 𝐹 𝑧𝑦) ∧ 𝐵 ∈ ran 𝐹) → 𝐵 ≤ sup(ran 𝐹, ℝ, < ))
6158, 20, 59, 18, 60syl31anc 1326 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ≤ sup(ran 𝐹, ℝ, < ))
6261, 1syl6breqr 4655 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝐶)
6362ralrimiva 2960 . 2 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 𝐵𝐶)
6457, 63jca 554 1 (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝐶))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   ∧ w3a 1036   = wceq 1480  ∃wex 1701   ∈ wcel 1987   ≠ wne 2790  ∀wral 2907  ∃wrex 2908  Vcvv 3186   ⊆ wss 3555  ∅c0 3891   class class class wbr 4613   ↦ cmpt 4673  ran crn 5075  supcsup 8290  ℝcr 9879   < clt 10018   ≤ cle 10019 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-sup 8292  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213 This theorem is referenced by:  ioodvbdlimc1lem1  39452  ioodvbdlimc1lem2  39453  ioodvbdlimc2lem  39455
 Copyright terms: Public domain W3C validator