Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  suprubrnmpt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem suprubrnmpt 39782
Description: A member of a nonempty indexed set of reals is less than or equal to the set's upper bound. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
suprubrnmpt.x 𝑥𝜑
suprubrnmpt.b ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
suprubrnmpt.e (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑦)
Assertion
Ref Expression
suprubrnmpt ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ≤ sup(ran (𝑥𝐴𝐵), ℝ, < ))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑦,𝐵
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem suprubrnmpt
Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 suprubrnmpt.x . . . 4 𝑥𝜑
2 eqid 2651 . . . 4 (𝑥𝐴𝐵) = (𝑥𝐴𝐵)
3 suprubrnmpt.b . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
41, 2, 3rnmptssd 39699 . . 3 (𝜑 → ran (𝑥𝐴𝐵) ⊆ ℝ)
54adantr 480 . 2 ((𝜑𝑥𝐴) → ran (𝑥𝐴𝐵) ⊆ ℝ)
6 simpr 476 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥𝐴)
72elrnmpt1 5406 . . . 4 ((𝑥𝐴𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ran (𝑥𝐴𝐵))
86, 3, 7syl2anc 694 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ran (𝑥𝐴𝐵))
9 ne0i 3954 . . 3 (𝐵 ∈ ran (𝑥𝐴𝐵) → ran (𝑥𝐴𝐵) ≠ ∅)
108, 9syl 17 . 2 ((𝜑𝑥𝐴) → ran (𝑥𝐴𝐵) ≠ ∅)
11 suprubrnmpt.e . . . 4 (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑦)
121, 11rnmptbdd 39770 . . 3 (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ ran (𝑥𝐴𝐵)𝑤𝑦)
1312adantr 480 . 2 ((𝜑𝑥𝐴) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ ran (𝑥𝐴𝐵)𝑤𝑦)
145, 10, 13, 8suprubd 11023 1 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ≤ sup(ran (𝑥𝐴𝐵), ℝ, < ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  wnf 1748  wcel 2030  wne 2823  wral 2941  wrex 2942  wss 3607  c0 3948   class class class wbr 4685  cmpt 4762  ran crn 5144  supcsup 8387  cr 9973   < clt 10112  cle 10113
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-po 5064  df-so 5065  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-sup 8389  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307
This theorem is referenced by:  uzublem  39970  limsupubuzlem  40262  smfsuplem1  41338
  Copyright terms: Public domain W3C validator