Theorem suprzub 11613

Description: The supremum of a bounded-above set of integers is greater than any member of the set. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
suprzub	⊢ ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → 𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ, < ))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑦)

Proof of Theorem suprzub

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp3 1055	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝐴)
2		ltso 9969	. . . . 5 ⊢ < Or ℝ
3	2	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → < Or ℝ)
4		simp1 1053	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → 𝐴 ⊆ ℤ)
5		zssre 11219	. . . . . 6 ⊢ ℤ ⊆ ℝ
6	4, 5	syl6ss 3579	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → 𝐴 ⊆ ℝ)
7		ne0i 3879	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐴 → 𝐴 ≠ ∅)
8	1, 7	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → 𝐴 ≠ ∅)
9		simp2 1054	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)
10		zsupss 11611	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))
11	4, 8, 9, 10	syl3anc 1317	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))
12		ssrexv 3629	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (∃𝑥 ∈ 𝐴 (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)) → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧))))
13	6, 11, 12	sylc 62	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))
14	3, 13	supub 8225	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → (𝐵 ∈ 𝐴 → ¬ sup(𝐴, ℝ, < ) < 𝐵))
15	1, 14	mpd 15	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → ¬ sup(𝐴, ℝ, < ) < 𝐵)
16	6, 1	sseldd 3568	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
17		suprzcl2 11612	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ 𝐴)
18	4, 8, 9, 17	syl3anc 1317	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ 𝐴)
19	6, 18	sseldd 3568	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ)
20	16, 19	lenltd 10034	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → (𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ, < ) ↔ ¬ sup(𝐴, ℝ, < ) < 𝐵))
21	15, 20	mpbird 245	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → 𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ, < ))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 382   ∧ w3a 1030   ∈ wcel 1976   ≠ wne 2779  ∀wral 2895  ∃wrex 2896   ⊆ wss 3539  ∅c0 3873   class class class wbr 4577   Or wor 4947  supcsup 8206  ℝcr 9791   < clt 9930   ≤ cle 9931  ℤcz 11212

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4711  ax-pow 4763  ax-pr 4827  ax-un 6824  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869

This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4938  df-id 4942  df-po 4948  df-so 4949  df-fr 4986  df-we 4988  df-xp 5033  df-rel 5034  df-cnv 5035  df-co 5036  df-dm 5037  df-rn 5038  df-res 5039  df-ima 5040  df-pred 5582  df-ord 5628  df-on 5629  df-lim 5630  df-suc 5631  df-iota 5753  df-fun 5791  df-fn 5792  df-f 5793  df-f1 5794  df-fo 5795  df-f1o 5796  df-fv 5797  df-riota 6488  df-ov 6529  df-oprab 6530  df-mpt2 6531  df-om 6935  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-er 7606  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-sup 8208  df-inf 8209  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-nn 10870  df-n0 11142  df-z 11213  df-uz 11522

This theorem is referenced by:  gcdcllem3  15009  pcprendvds  15331  pcpremul  15334  prmreclem1  15406  0ram  15510  gexex  18027  fourierdlem25  38808