MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  supsr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem supsr 9790
Description: A nonempty, bounded set of signed reals has a supremum. (Contributed by NM, 21-May-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
supsr ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥R𝑦𝐴 𝑦 <R 𝑥) → ∃𝑥R (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <R 𝑦 ∧ ∀𝑦R (𝑦 <R 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 <R 𝑧)))
Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴

Proof of Theorem supsr
Dummy variables 𝑤 𝑣 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 n0 3890 . . 3 (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑢 𝑢𝐴)
2 ltrelsr 9746 . . . . . . . . . . . . 13 <R ⊆ (R × R)
32brel 5080 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 <R 𝑥 → (𝑦R𝑥R))
43simpld 474 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 <R 𝑥𝑦R)
54ralimi 2936 . . . . . . . . . 10 (∀𝑦𝐴 𝑦 <R 𝑥 → ∀𝑦𝐴 𝑦R)
6 dfss3 3558 . . . . . . . . . 10 (𝐴R ↔ ∀𝑦𝐴 𝑦R)
75, 6sylibr 223 . . . . . . . . 9 (∀𝑦𝐴 𝑦 <R 𝑥𝐴R)
87sseld 3567 . . . . . . . 8 (∀𝑦𝐴 𝑦 <R 𝑥 → (𝑢𝐴𝑢R))
98rexlimivw 3011 . . . . . . 7 (∃𝑥R𝑦𝐴 𝑦 <R 𝑥 → (𝑢𝐴𝑢R))
109impcom 445 . . . . . 6 ((𝑢𝐴 ∧ ∃𝑥R𝑦𝐴 𝑦 <R 𝑥) → 𝑢R)
11 eleq1 2676 . . . . . . . . 9 (𝑢 = if(𝑢R, 𝑢, 1R) → (𝑢𝐴 ↔ if(𝑢R, 𝑢, 1R) ∈ 𝐴))
1211anbi1d 737 . . . . . . . 8 (𝑢 = if(𝑢R, 𝑢, 1R) → ((𝑢𝐴 ∧ ∃𝑥R𝑦𝐴 𝑦 <R 𝑥) ↔ (if(𝑢R, 𝑢, 1R) ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑥R𝑦𝐴 𝑦 <R 𝑥)))
1312imbi1d 330 . . . . . . 7 (𝑢 = if(𝑢R, 𝑢, 1R) → (((𝑢𝐴 ∧ ∃𝑥R𝑦𝐴 𝑦 <R 𝑥) → ∃𝑥R (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <R 𝑦 ∧ ∀𝑦R (𝑦 <R 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 <R 𝑧))) ↔ ((if(𝑢R, 𝑢, 1R) ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑥R𝑦𝐴 𝑦 <R 𝑥) → ∃𝑥R (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <R 𝑦 ∧ ∀𝑦R (𝑦 <R 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 <R 𝑧)))))
14 opeq1 4335 . . . . . . . . . . . 12 (𝑣 = 𝑤 → ⟨𝑣, 1P⟩ = ⟨𝑤, 1P⟩)
1514eceq1d 7648 . . . . . . . . . . 11 (𝑣 = 𝑤 → [⟨𝑣, 1P⟩] ~R = [⟨𝑤, 1P⟩] ~R )
1615oveq2d 6543 . . . . . . . . . 10 (𝑣 = 𝑤 → (if(𝑢R, 𝑢, 1R) +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R ) = (if(𝑢R, 𝑢, 1R) +R [⟨𝑤, 1P⟩] ~R ))
1716eleq1d 2672 . . . . . . . . 9 (𝑣 = 𝑤 → ((if(𝑢R, 𝑢, 1R) +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R ) ∈ 𝐴 ↔ (if(𝑢R, 𝑢, 1R) +R [⟨𝑤, 1P⟩] ~R ) ∈ 𝐴))
1817cbvabv 2734 . . . . . . . 8 {𝑣 ∣ (if(𝑢R, 𝑢, 1R) +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R ) ∈ 𝐴} = {𝑤 ∣ (if(𝑢R, 𝑢, 1R) +R [⟨𝑤, 1P⟩] ~R ) ∈ 𝐴}
19 1sr 9759 . . . . . . . . 9 1RR
2019elimel 4100 . . . . . . . 8 if(𝑢R, 𝑢, 1R) ∈ R
2118, 20supsrlem 9789 . . . . . . 7 ((if(𝑢R, 𝑢, 1R) ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑥R𝑦𝐴 𝑦 <R 𝑥) → ∃𝑥R (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <R 𝑦 ∧ ∀𝑦R (𝑦 <R 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 <R 𝑧)))
2213, 21dedth 4089 . . . . . 6 (𝑢R → ((𝑢𝐴 ∧ ∃𝑥R𝑦𝐴 𝑦 <R 𝑥) → ∃𝑥R (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <R 𝑦 ∧ ∀𝑦R (𝑦 <R 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 <R 𝑧))))
2310, 22mpcom 37 . . . . 5 ((𝑢𝐴 ∧ ∃𝑥R𝑦𝐴 𝑦 <R 𝑥) → ∃𝑥R (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <R 𝑦 ∧ ∀𝑦R (𝑦 <R 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 <R 𝑧)))
2423ex 449 . . . 4 (𝑢𝐴 → (∃𝑥R𝑦𝐴 𝑦 <R 𝑥 → ∃𝑥R (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <R 𝑦 ∧ ∀𝑦R (𝑦 <R 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 <R 𝑧))))
2524exlimiv 1845 . . 3 (∃𝑢 𝑢𝐴 → (∃𝑥R𝑦𝐴 𝑦 <R 𝑥 → ∃𝑥R (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <R 𝑦 ∧ ∀𝑦R (𝑦 <R 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 <R 𝑧))))
261, 25sylbi 206 . 2 (𝐴 ≠ ∅ → (∃𝑥R𝑦𝐴 𝑦 <R 𝑥 → ∃𝑥R (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <R 𝑦 ∧ ∀𝑦R (𝑦 <R 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 <R 𝑧))))
2726imp 444 1 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥R𝑦𝐴 𝑦 <R 𝑥) → ∃𝑥R (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <R 𝑦 ∧ ∀𝑦R (𝑦 <R 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 <R 𝑧)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 383   = wceq 1475  wex 1695  wcel 1977  {cab 2596  wne 2780  wral 2896  wrex 2897  wss 3540  c0 3874  ifcif 4036  cop 4131   class class class wbr 4578  (class class class)co 6527  [cec 7605  1Pc1p 9539   ~R cer 9543  Rcnr 9544  1Rc1r 9546   +R cplr 9548   <R cltr 9550
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4704  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6825  ax-inf2 8399
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4368  df-int 4406  df-iun 4452  df-br 4579  df-opab 4639  df-mpt 4640  df-tr 4676  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6936  df-1st 7037  df-2nd 7038  df-wrecs 7272  df-recs 7333  df-rdg 7371  df-1o 7425  df-oadd 7429  df-omul 7430  df-er 7607  df-ec 7609  df-qs 7613  df-ni 9551  df-pli 9552  df-mi 9553  df-lti 9554  df-plpq 9587  df-mpq 9588  df-ltpq 9589  df-enq 9590  df-nq 9591  df-erq 9592  df-plq 9593  df-mq 9594  df-1nq 9595  df-rq 9596  df-ltnq 9597  df-np 9660  df-1p 9661  df-plp 9662  df-mp 9663  df-ltp 9664  df-enr 9734  df-nr 9735  df-plr 9736  df-mr 9737  df-ltr 9738  df-0r 9739  df-1r 9740  df-m1r 9741
This theorem is referenced by:  axpre-sup  9847
  Copyright terms: Public domain W3C validator