Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  supsubc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem supsubc 39020
 Description: The supremum function distributes over subtraction in a sense similar to that in supaddc 10935. (Contributed by Glauco Siliprandi, 21-Nov-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
supsubc.a1 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
supsubc.a2 (𝜑𝐴 ≠ ∅)
supsubc.a3 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)
supsubc.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
supsubc.c 𝐶 = {𝑧 ∣ ∃𝑣𝐴 𝑧 = (𝑣𝐵)}
Assertion
Ref Expression
supsubc (𝜑 → (sup(𝐴, ℝ, < ) − 𝐵) = sup(𝐶, ℝ, < ))
Distinct variable groups:   𝑣,𝐴,𝑥,𝑦,𝑧   𝑣,𝐵,𝑥,𝑦,𝑧   𝜑,𝑣,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝐶(𝑥,𝑦,𝑧,𝑣)

Proof of Theorem supsubc
StepHypRef Expression
1 supsubc.c . . . . 5 𝐶 = {𝑧 ∣ ∃𝑣𝐴 𝑧 = (𝑣𝐵)}
21a1i 11 . . . 4 (𝜑𝐶 = {𝑧 ∣ ∃𝑣𝐴 𝑧 = (𝑣𝐵)})
3 supsubc.a1 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
43sselda 3588 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑣𝐴) → 𝑣 ∈ ℝ)
54recnd 10013 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑣𝐴) → 𝑣 ∈ ℂ)
6 supsubc.b . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
76recnd 10013 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
87adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑣𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
95, 8negsubd 10343 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑣𝐴) → (𝑣 + -𝐵) = (𝑣𝐵))
109eqcomd 2632 . . . . . . 7 ((𝜑𝑣𝐴) → (𝑣𝐵) = (𝑣 + -𝐵))
1110eqeq2d 2636 . . . . . 6 ((𝜑𝑣𝐴) → (𝑧 = (𝑣𝐵) ↔ 𝑧 = (𝑣 + -𝐵)))
1211rexbidva 3047 . . . . 5 (𝜑 → (∃𝑣𝐴 𝑧 = (𝑣𝐵) ↔ ∃𝑣𝐴 𝑧 = (𝑣 + -𝐵)))
1312abbidv 2744 . . . 4 (𝜑 → {𝑧 ∣ ∃𝑣𝐴 𝑧 = (𝑣𝐵)} = {𝑧 ∣ ∃𝑣𝐴 𝑧 = (𝑣 + -𝐵)})
14 eqidd 2627 . . . 4 (𝜑 → {𝑧 ∣ ∃𝑣𝐴 𝑧 = (𝑣 + -𝐵)} = {𝑧 ∣ ∃𝑣𝐴 𝑧 = (𝑣 + -𝐵)})
152, 13, 143eqtrd 2664 . . 3 (𝜑𝐶 = {𝑧 ∣ ∃𝑣𝐴 𝑧 = (𝑣 + -𝐵)})
1615supeq1d 8297 . 2 (𝜑 → sup(𝐶, ℝ, < ) = sup({𝑧 ∣ ∃𝑣𝐴 𝑧 = (𝑣 + -𝐵)}, ℝ, < ))
17 supsubc.a2 . . . 4 (𝜑𝐴 ≠ ∅)
18 supsubc.a3 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)
196renegcld 10402 . . . 4 (𝜑 → -𝐵 ∈ ℝ)
20 eqid 2626 . . . 4 {𝑧 ∣ ∃𝑣𝐴 𝑧 = (𝑣 + -𝐵)} = {𝑧 ∣ ∃𝑣𝐴 𝑧 = (𝑣 + -𝐵)}
213, 17, 18, 19, 20supaddc 10935 . . 3 (𝜑 → (sup(𝐴, ℝ, < ) + -𝐵) = sup({𝑧 ∣ ∃𝑣𝐴 𝑧 = (𝑣 + -𝐵)}, ℝ, < ))
2221eqcomd 2632 . 2 (𝜑 → sup({𝑧 ∣ ∃𝑣𝐴 𝑧 = (𝑣 + -𝐵)}, ℝ, < ) = (sup(𝐴, ℝ, < ) + -𝐵))
23 suprcl 10928 . . . . 5 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ)
243, 17, 18, 23syl3anc 1323 . . . 4 (𝜑 → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ)
2524recnd 10013 . . 3 (𝜑 → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℂ)
2625, 7negsubd 10343 . 2 (𝜑 → (sup(𝐴, ℝ, < ) + -𝐵) = (sup(𝐴, ℝ, < ) − 𝐵))
2716, 22, 263eqtrrd 2665 1 (𝜑 → (sup(𝐴, ℝ, < ) − 𝐵) = sup(𝐶, ℝ, < ))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1992  {cab 2612   ≠ wne 2796  ∀wral 2912  ∃wrex 2913   ⊆ wss 3560  ∅c0 3896   class class class wbr 4618  (class class class)co 6605  supcsup 8291  ℂcc 9879  ℝcr 9880   + caddc 9884   < clt 10019   ≤ cle 10020   − cmin 10211  -cneg 10212 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958  ax-pre-sup 9959 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-op 4160  df-uni 4408  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-er 7688  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-sup 8293  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214 This theorem is referenced by:  hoidmvlelem1  40103
 Copyright terms: Public domain W3C validator