MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  supxr2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem supxr2 12084
Description: The supremum of a set of extended reals. (Contributed by NM, 9-Apr-2006.)
Assertion
Ref Expression
supxr2 (((𝐴 ⊆ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (∀𝑥𝐴 𝑥𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦))) → sup(𝐴, ℝ*, < ) = 𝐵)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦

Proof of Theorem supxr2
StepHypRef Expression
1 ssel2 3583 . . . . . . 7 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ*)
2 xrlenlt 10048 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑥𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝑥))
31, 2sylan 488 . . . . . 6 (((𝐴 ⊆ ℝ*𝑥𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑥𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝑥))
43an32s 845 . . . . 5 (((𝐴 ⊆ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑥𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝑥))
54ralbidva 2984 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (∀𝑥𝐴 𝑥𝐵 ↔ ∀𝑥𝐴 ¬ 𝐵 < 𝑥))
65anbi1d 740 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ((∀𝑥𝐴 𝑥𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦)) ↔ (∀𝑥𝐴 ¬ 𝐵 < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦))))
76biimpa 501 . 2 (((𝐴 ⊆ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (∀𝑥𝐴 𝑥𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦))) → (∀𝑥𝐴 ¬ 𝐵 < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦)))
8 supxr 12083 . 2 (((𝐴 ⊆ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (∀𝑥𝐴 ¬ 𝐵 < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦))) → sup(𝐴, ℝ*, < ) = 𝐵)
97, 8syldan 487 1 (((𝐴 ⊆ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (∀𝑥𝐴 𝑥𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦))) → sup(𝐴, ℝ*, < ) = 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1992  wral 2912  wrex 2913  wss 3560   class class class wbr 4618  supcsup 8291  cr 9880  *cxr 10018   < clt 10019  cle 10020
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-op 4160  df-uni 4408  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-er 7688  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-sup 8293  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214
This theorem is referenced by:  nmopun  28713  branmfn  28804  pjnmopi  28847  xrofsup  29369  esumcst  29898  esumfsup  29905  sge0seq  39938
  Copyright terms: Public domain W3C validator