MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  supxrbnd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem supxrbnd 12098
Description: The supremum of a bounded-above nonempty set of reals is real. (Contributed by NM, 19-Jan-2006.)
Assertion
Ref Expression
supxrbnd ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < +∞) → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ)

Proof of Theorem supxrbnd
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ressxr 10028 . . . . 5 ℝ ⊆ ℝ*
2 sstr 3596 . . . . 5 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ℝ ⊆ ℝ*) → 𝐴 ⊆ ℝ*)
31, 2mpan2 706 . . . 4 (𝐴 ⊆ ℝ → 𝐴 ⊆ ℝ*)
4 supxrcl 12085 . . . . . . 7 (𝐴 ⊆ ℝ* → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
5 pnfxr 10037 . . . . . . . . . 10 +∞ ∈ ℝ*
6 xrltne 11938 . . . . . . . . . 10 ((sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < +∞) → +∞ ≠ sup(𝐴, ℝ*, < ))
75, 6mp3an2 1409 . . . . . . . . 9 ((sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ* ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < +∞) → +∞ ≠ sup(𝐴, ℝ*, < ))
87necomd 2851 . . . . . . . 8 ((sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ* ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < +∞) → sup(𝐴, ℝ*, < ) ≠ +∞)
98ex 450 . . . . . . 7 (sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ* → (sup(𝐴, ℝ*, < ) < +∞ → sup(𝐴, ℝ*, < ) ≠ +∞))
104, 9syl 17 . . . . . 6 (𝐴 ⊆ ℝ* → (sup(𝐴, ℝ*, < ) < +∞ → sup(𝐴, ℝ*, < ) ≠ +∞))
11 supxrunb2 12090 . . . . . . . . 9 (𝐴 ⊆ ℝ* → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦 ↔ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞))
12 ssel2 3583 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝑦𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ*)
1312adantlr 750 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ⊆ ℝ*𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ*)
14 rexr 10030 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ*)
1514ad2antlr 762 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ⊆ ℝ*𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ*)
16 xrlenlt 10048 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℝ*) → (𝑦𝑥 ↔ ¬ 𝑥 < 𝑦))
1716con2bid 344 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℝ*) → (𝑥 < 𝑦 ↔ ¬ 𝑦𝑥))
1813, 15, 17syl2anc 692 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ⊆ ℝ*𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝐴) → (𝑥 < 𝑦 ↔ ¬ 𝑦𝑥))
1918rexbidva 3047 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝑥 ∈ ℝ) → (∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦 ↔ ∃𝑦𝐴 ¬ 𝑦𝑥))
20 rexnal 2994 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑦𝐴 ¬ 𝑦𝑥 ↔ ¬ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)
2119, 20syl6bb 276 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝑥 ∈ ℝ) → (∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦 ↔ ¬ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥))
2221ralbidva 2984 . . . . . . . . 9 (𝐴 ⊆ ℝ* → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ¬ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥))
2311, 22bitr3d 270 . . . . . . . 8 (𝐴 ⊆ ℝ* → (sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ¬ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥))
24 ralnex 2991 . . . . . . . 8 (∀𝑥 ∈ ℝ ¬ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥 ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)
2523, 24syl6bb 276 . . . . . . 7 (𝐴 ⊆ ℝ* → (sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞ ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥))
2625necon2abid 2838 . . . . . 6 (𝐴 ⊆ ℝ* → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥 ↔ sup(𝐴, ℝ*, < ) ≠ +∞))
2710, 26sylibrd 249 . . . . 5 (𝐴 ⊆ ℝ* → (sup(𝐴, ℝ*, < ) < +∞ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥))
2827imp 445 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < +∞) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)
293, 28sylan 488 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < +∞) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)
30293adant2 1078 . 2 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < +∞) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)
31 supxrre 12097 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) → sup(𝐴, ℝ*, < ) = sup(𝐴, ℝ, < ))
32 suprcl 10928 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ)
3331, 32eqeltrd 2704 . 2 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ)
3430, 33syld3an3 1368 1 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < +∞) → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1992  wne 2796  wral 2912  wrex 2913  wss 3560  c0 3896   class class class wbr 4618  supcsup 8291  cr 9880  +∞cpnf 10016  *cxr 10018   < clt 10019  cle 10020
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958  ax-pre-sup 9959
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-op 4160  df-uni 4408  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-er 7688  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-sup 8293  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214
This theorem is referenced by:  supxrgtmnf  12099  ovolunlem1  23167  uniioombllem1  23250
  Copyright terms: Public domain W3C validator