MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  supxrbnd1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem supxrbnd1 12097
Description: The supremum of a bounded-above set of extended reals is less than infinity. (Contributed by NM, 30-Jan-2006.)
Assertion
Ref Expression
supxrbnd1 (𝐴 ⊆ ℝ* → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥 ↔ sup(𝐴, ℝ*, < ) < +∞))
Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝐴

Proof of Theorem supxrbnd1
StepHypRef Expression
1 ralnex 2986 . . . 4 (∀𝑥 ∈ ℝ ¬ ∀𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥 ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥)
2 rexr 10032 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ*)
3 ssel2 3579 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝑦𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ*)
4 xrlenlt 10050 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥𝑦 ↔ ¬ 𝑦 < 𝑥))
52, 3, 4syl2anr 495 . . . . . . . 8 (((𝐴 ⊆ ℝ*𝑦𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥𝑦 ↔ ¬ 𝑦 < 𝑥))
65an32s 845 . . . . . . 7 (((𝐴 ⊆ ℝ*𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝐴) → (𝑥𝑦 ↔ ¬ 𝑦 < 𝑥))
76rexbidva 3042 . . . . . 6 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝑥 ∈ ℝ) → (∃𝑦𝐴 𝑥𝑦 ↔ ∃𝑦𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥))
8 rexnal 2989 . . . . . 6 (∃𝑦𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥 ↔ ¬ ∀𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥)
97, 8syl6rbb 277 . . . . 5 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝑥 ∈ ℝ) → (¬ ∀𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥 ↔ ∃𝑦𝐴 𝑥𝑦))
109ralbidva 2979 . . . 4 (𝐴 ⊆ ℝ* → (∀𝑥 ∈ ℝ ¬ ∀𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑥𝑦))
111, 10syl5bbr 274 . . 3 (𝐴 ⊆ ℝ* → (¬ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑥𝑦))
12 supxrunb1 12095 . . 3 (𝐴 ⊆ ℝ* → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑥𝑦 ↔ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞))
13 supxrcl 12091 . . . 4 (𝐴 ⊆ ℝ* → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
14 nltpnft 11942 . . . 4 (sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ* → (sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞ ↔ ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) < +∞))
1513, 14syl 17 . . 3 (𝐴 ⊆ ℝ* → (sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞ ↔ ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) < +∞))
1611, 12, 153bitrd 294 . 2 (𝐴 ⊆ ℝ* → (¬ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥 ↔ ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) < +∞))
1716con4bid 307 1 (𝐴 ⊆ ℝ* → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥 ↔ sup(𝐴, ℝ*, < ) < +∞))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wral 2907  wrex 2908  wss 3556   class class class wbr 4615  supcsup 8293  cr 9882  +∞cpnf 10018  *cxr 10020   < clt 10021  cle 10022
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4743  ax-nul 4751  ax-pow 4805  ax-pr 4869  ax-un 6905  ax-cnex 9939  ax-resscn 9940  ax-1cn 9941  ax-icn 9942  ax-addcl 9943  ax-addrcl 9944  ax-mulcl 9945  ax-mulrcl 9946  ax-mulcom 9947  ax-addass 9948  ax-mulass 9949  ax-distr 9950  ax-i2m1 9951  ax-1ne0 9952  ax-1rid 9953  ax-rnegex 9954  ax-rrecex 9955  ax-cnre 9956  ax-pre-lttri 9957  ax-pre-lttrn 9958  ax-pre-ltadd 9959  ax-pre-mulgt0 9960  ax-pre-sup 9961
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3419  df-csb 3516  df-dif 3559  df-un 3561  df-in 3563  df-ss 3570  df-nul 3894  df-if 4061  df-pw 4134  df-sn 4151  df-pr 4153  df-op 4157  df-uni 4405  df-br 4616  df-opab 4676  df-mpt 4677  df-id 4991  df-po 4997  df-so 4998  df-xp 5082  df-rel 5083  df-cnv 5084  df-co 5085  df-dm 5086  df-rn 5087  df-res 5088  df-ima 5089  df-iota 5812  df-fun 5851  df-fn 5852  df-f 5853  df-f1 5854  df-fo 5855  df-f1o 5856  df-fv 5857  df-riota 6568  df-ov 6610  df-oprab 6611  df-mpt2 6612  df-er 7690  df-en 7903  df-dom 7904  df-sdom 7905  df-sup 8295  df-pnf 10023  df-mnf 10024  df-xr 10025  df-ltxr 10026  df-le 10027  df-sub 10215  df-neg 10216
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator