Theorem supxrcl 12711

Description: The supremum of an arbitrary set of extended reals is an extended real. (Contributed by NM, 24-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
supxrcl	⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)

Proof of Theorem supxrcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrltso 12537	. . 3 ⊢ < Or ℝ*
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → < Or ℝ*)
3		xrsupss 12705	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))
4	2, 3	supcl 8924	1 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3938   Or wor 5475  supcsup 8906  ℝ^*cxr 10676   < clt 10677

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616  ax-pre-sup 10617

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-op 4576  df-uni 4841  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-id 5462  df-po 5476  df-so 5477  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-er 8291  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-sup 8908  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875

This theorem is referenced by:  supxrun  12712  supxrmnf  12713  supxrbnd1  12717  supxrbnd2  12718  supxrub  12720  supxrleub  12722  supxrre  12723  supxrbnd  12724  supxrgtmnf  12725  supxrre1  12726  supxrre2  12727  supxrss  12728  ixxub  12762  limsupgord  14831  limsupcl  14832  limsupgf  14834  prdsdsf  22979  xpsdsval  22993  xrge0tsms  23444  elovolm  24078  ovolmge0  24080  ovolgelb  24083  ovollb2lem  24091  ovolunlem1a  24099  ovoliunlem1  24105  ovoliunlem2  24106  ovoliun  24108  ovolscalem1  24116  ovolicc1  24119  ovolicc2lem4  24123  voliunlem2  24154  voliunlem3  24155  ioombl1lem2  24162  uniioovol  24182  uniiccvol  24183  uniioombllem1  24184  uniioombllem3  24188  itg2cl  24335  itg2seq  24345  itg2monolem2  24354  itg2monolem3  24355  itg2mono  24356  mdeglt  24661  mdegxrcl  24663  radcnvcl  25007  nmoxr  28545  nmopxr  29645  nmfnxr  29658  xrofsup  30494  supxrnemnf  30495  xrge0tsmsd  30694  mblfinlem3  34933  mblfinlem4  34934  ismblfin  34935  itg2addnclem  34945  itg2gt0cn  34949  binomcxplemdvbinom  40692  binomcxplemcvg  40693  binomcxplemnotnn0  40695  supxrcld  41380  supxrgere  41608  supxrgelem  41612  supxrge  41613  suplesup  41614  suplesup2  41651  supxrcli  41715  liminfval2  42056  liminflelimsuplem  42063  sge0cl  42670  sge0xaddlem1  42722  sge0xaddlem2  42723  sge0reuz  42736