MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  supxrcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem supxrcl 12088
Description: The supremum of an arbitrary set of extended reals is an extended real. (Contributed by NM, 24-Oct-2005.)
Assertion
Ref Expression
supxrcl (𝐴 ⊆ ℝ* → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)

Proof of Theorem supxrcl
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xrltso 11918 . . 3 < Or ℝ*
21a1i 11 . 2 (𝐴 ⊆ ℝ* → < Or ℝ*)
3 xrsupss 12082 . 2 (𝐴 ⊆ ℝ* → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)))
42, 3supcl 8308 1 (𝐴 ⊆ ℝ* → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 1987  wss 3555   Or wor 4994  supcsup 8290  *cxr 10017   < clt 10018
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-sup 8292  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213
This theorem is referenced by:  supxrun  12089  supxrmnf  12090  supxrbnd1  12094  supxrbnd2  12095  supxrub  12097  supxrleub  12099  supxrre  12100  supxrbnd  12101  supxrgtmnf  12102  supxrre1  12103  supxrre2  12104  supxrss  12105  ixxub  12138  limsupgord  14137  limsupcl  14138  limsupgf  14140  prdsdsf  22082  xpsdsval  22096  xrge0tsms  22545  elovolm  23150  ovolmge0  23152  ovolgelb  23155  ovollb2lem  23163  ovolunlem1a  23171  ovoliunlem1  23177  ovoliunlem2  23178  ovoliun  23180  ovolscalem1  23188  ovolicc1  23191  ovolicc2lem4  23195  voliunlem2  23226  voliunlem3  23227  ioombl1lem2  23234  uniioovol  23253  uniiccvol  23254  uniioombllem1  23255  uniioombllem3  23259  itg2cl  23405  itg2seq  23415  itg2monolem2  23424  itg2monolem3  23425  itg2mono  23426  mdeglt  23729  mdegxrcl  23731  radcnvcl  24075  nmoxr  27470  nmopxr  28574  nmfnxr  28587  xrofsup  29377  supxrnemnf  29378  xrge0tsmsd  29570  mblfinlem3  33080  mblfinlem4  33081  ismblfin  33082  itg2addnclem  33093  itg2gt0cn  33097  binomcxplemdvbinom  38034  binomcxplemcvg  38035  binomcxplemnotnn0  38037  supxrcld  38777  supxrgere  39013  supxrgelem  39017  supxrge  39018  suplesup  39019  suplesup2  39056  sge0cl  39905  sge0xaddlem1  39957  sge0xaddlem2  39958  sge0reuz  39971
  Copyright terms: Public domain W3C validator