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Theorem supxrge 39036
Description: If an extended real number can be approximated from below by members of a set, then it is smaller or equal to the supremum of the set. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
supxrge.xph 𝑥𝜑
supxrge.a (𝜑𝐴 ⊆ ℝ*)
supxrge.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
supxrge.y ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑦𝐴 𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 𝑥))
Assertion
Ref Expression
supxrge (𝜑𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝜑,𝑦
Allowed substitution hint:   𝜑(𝑥)

Proof of Theorem supxrge
Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 supxrge.b . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
2 pnfge 11911 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≤ +∞)
31, 2syl 17 . . . 4 (𝜑𝐵 ≤ +∞)
43adantr 481 . . 3 ((𝜑 ∧ +∞ ∈ 𝐴) → 𝐵 ≤ +∞)
5 supxrge.a . . . . . 6 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ*)
65adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ +∞ ∈ 𝐴) → 𝐴 ⊆ ℝ*)
7 simpr 477 . . . . 5 ((𝜑 ∧ +∞ ∈ 𝐴) → +∞ ∈ 𝐴)
8 supxrpnf 12094 . . . . 5 ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ +∞ ∈ 𝐴) → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
96, 7, 8syl2anc 692 . . . 4 ((𝜑 ∧ +∞ ∈ 𝐴) → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
109eqcomd 2627 . . 3 ((𝜑 ∧ +∞ ∈ 𝐴) → +∞ = sup(𝐴, ℝ*, < ))
114, 10breqtrd 4641 . 2 ((𝜑 ∧ +∞ ∈ 𝐴) → 𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ))
12 simpr 477 . . . . 5 ((𝜑𝐵 = -∞) → 𝐵 = -∞)
13 supxrcl 12091 . . . . . . . 8 (𝐴 ⊆ ℝ* → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
145, 13syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
15 mnfle 11916 . . . . . . 7 (sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ* → -∞ ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ))
1614, 15syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → -∞ ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ))
1716adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝐵 = -∞) → -∞ ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ))
1812, 17eqbrtrd 4637 . . . 4 ((𝜑𝐵 = -∞) → 𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ))
1918adantlr 750 . . 3 (((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 = -∞) → 𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ))
20 simpl 473 . . . 4 (((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝐵 = -∞) → (𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴))
21 neqne 2798 . . . . 5 𝐵 = -∞ → 𝐵 ≠ -∞)
2221adantl 482 . . . 4 (((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝐵 = -∞) → 𝐵 ≠ -∞)
23 nfv 1840 . . . . 5 𝑤((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞)
245adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) → 𝐴 ⊆ ℝ*)
2524adantr 481 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) → 𝐴 ⊆ ℝ*)
261adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
2726adantr 481 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) → 𝐵 ∈ ℝ*)
28 simpl 473 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) → 𝜑)
29 rphalfcl 11805 . . . . . . . . . 10 (𝑤 ∈ ℝ+ → (𝑤 / 2) ∈ ℝ+)
3029adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) → (𝑤 / 2) ∈ ℝ+)
31 ovex 6635 . . . . . . . . . 10 (𝑤 / 2) ∈ V
32 nfcv 2761 . . . . . . . . . . 11 𝑥(𝑤 / 2)
33 supxrge.xph . . . . . . . . . . . . 13 𝑥𝜑
34 nfv 1840 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥(𝑤 / 2) ∈ ℝ+
3533, 34nfan 1825 . . . . . . . . . . . 12 𝑥(𝜑 ∧ (𝑤 / 2) ∈ ℝ+)
36 nfv 1840 . . . . . . . . . . . 12 𝑥𝑦𝐴 𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))
3735, 36nfim 1822 . . . . . . . . . . 11 𝑥((𝜑 ∧ (𝑤 / 2) ∈ ℝ+) → ∃𝑦𝐴 𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2)))
38 eleq1 2686 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = (𝑤 / 2) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↔ (𝑤 / 2) ∈ ℝ+))
3938anbi2d 739 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (𝑤 / 2) → ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ↔ (𝜑 ∧ (𝑤 / 2) ∈ ℝ+)))
40 oveq2 6615 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = (𝑤 / 2) → (𝑦 +𝑒 𝑥) = (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2)))
4140breq2d 4627 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = (𝑤 / 2) → (𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 𝑥) ↔ 𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))))
4241rexbidv 3045 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (𝑤 / 2) → (∃𝑦𝐴 𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 𝑥) ↔ ∃𝑦𝐴 𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))))
4339, 42imbi12d 334 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (𝑤 / 2) → (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑦𝐴 𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 𝑥)) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑤 / 2) ∈ ℝ+) → ∃𝑦𝐴 𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2)))))
44 supxrge.y . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑦𝐴 𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 𝑥))
4532, 37, 43, 44vtoclgf 3250 . . . . . . . . . 10 ((𝑤 / 2) ∈ V → ((𝜑 ∧ (𝑤 / 2) ∈ ℝ+) → ∃𝑦𝐴 𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))))
4631, 45ax-mp 5 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑤 / 2) ∈ ℝ+) → ∃𝑦𝐴 𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2)))
4728, 30, 46syl2anc 692 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) → ∃𝑦𝐴 𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2)))
4847adantlr 750 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → ∃𝑦𝐴 𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2)))
4948adantlr 750 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → ∃𝑦𝐴 𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2)))
50 nfv 1840 . . . . . . 7 𝑦(((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+)
51 neneq 2796 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐵 ≠ -∞ → ¬ 𝐵 = -∞)
5251adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝐵 ≠ -∞) → ¬ 𝐵 = -∞)
531adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝐵 ≠ -∞) → 𝐵 ∈ ℝ*)
54 ngtmnft 11944 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐵 ∈ ℝ* → (𝐵 = -∞ ↔ ¬ -∞ < 𝐵))
5553, 54syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝐵 ≠ -∞) → (𝐵 = -∞ ↔ ¬ -∞ < 𝐵))
5652, 55mtbid 314 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝐵 ≠ -∞) → ¬ ¬ -∞ < 𝐵)
5756notnotrd 128 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝐵 ≠ -∞) → -∞ < 𝐵)
5857ad4ant13 1289 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → -∞ < 𝐵)
59583ad2ant1 1080 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐴𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) → -∞ < 𝐵)
6027adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ*)
61603ad2ant1 1080 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐴𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) → 𝐵 ∈ ℝ*)
6261adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐴𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → 𝐵 ∈ ℝ*)
63 mnfxr 10043 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 -∞ ∈ ℝ*
6463a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐴𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → -∞ ∈ ℝ*)
65 simpl3 1064 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐴𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → 𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2)))
66 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑦𝐴) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → ¬ -∞ < 𝑦)
675sselda 3584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑𝑦𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ*)
6867adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑𝑦𝐴) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → 𝑦 ∈ ℝ*)
69 ngtmnft 11944 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑦 ∈ ℝ* → (𝑦 = -∞ ↔ ¬ -∞ < 𝑦))
7068, 69syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑦𝐴) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → (𝑦 = -∞ ↔ ¬ -∞ < 𝑦))
7166, 70mpbird 247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑦𝐴) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → 𝑦 = -∞)
7271oveq1d 6622 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑦𝐴) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2)) = (-∞ +𝑒 (𝑤 / 2)))
7372adantllr 754 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐴) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2)) = (-∞ +𝑒 (𝑤 / 2)))
7429rpxrd 11820 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑤 ∈ ℝ+ → (𝑤 / 2) ∈ ℝ*)
7529rpred 11819 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑤 ∈ ℝ+ → (𝑤 / 2) ∈ ℝ)
76 renepnf 10034 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑤 / 2) ∈ ℝ → (𝑤 / 2) ≠ +∞)
7775, 76syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑤 ∈ ℝ+ → (𝑤 / 2) ≠ +∞)
78 xaddmnf2 12006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑤 / 2) ∈ ℝ* ∧ (𝑤 / 2) ≠ +∞) → (-∞ +𝑒 (𝑤 / 2)) = -∞)
7974, 77, 78syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑤 ∈ ℝ+ → (-∞ +𝑒 (𝑤 / 2)) = -∞)
8079adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) → (-∞ +𝑒 (𝑤 / 2)) = -∞)
8180ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐴) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → (-∞ +𝑒 (𝑤 / 2)) = -∞)
8273, 81eqtrd 2655 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐴) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2)) = -∞)
8382adantlllr 38703 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐴) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2)) = -∞)
8483adantlllr 38703 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐴) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2)) = -∞)
85843adantl3 1217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐴𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2)) = -∞)
8665, 85breqtrd 4641 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐴𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → 𝐵 ≤ -∞)
87 mnfle 11916 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝐵 ∈ ℝ* → -∞ ≤ 𝐵)
881, 87syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → -∞ ≤ 𝐵)
8988adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) → -∞ ≤ 𝐵)
9089ad3antrrr 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → -∞ ≤ 𝐵)
91903ad2antl1 1221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐴𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → -∞ ≤ 𝐵)
9262, 64, 86, 91xrletrid 11933 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐴𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → 𝐵 = -∞)
93 simpllr 798 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → 𝐵 ≠ -∞)
94933ad2antl1 1221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐴𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → 𝐵 ≠ -∞)
9594neneqd 2795 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐴𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → ¬ 𝐵 = -∞)
9692, 95condan 834 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐴𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) → -∞ < 𝑦)
97 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑦𝐴) ∧ ¬ 𝑦 < +∞) → ¬ 𝑦 < +∞)
9867adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑦𝐴) ∧ ¬ 𝑦 < +∞) → 𝑦 ∈ ℝ*)
99 nltpnft 11942 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑦 ∈ ℝ* → (𝑦 = +∞ ↔ ¬ 𝑦 < +∞))
10098, 99syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑦𝐴) ∧ ¬ 𝑦 < +∞) → (𝑦 = +∞ ↔ ¬ 𝑦 < +∞))
10197, 100mpbird 247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑦𝐴) ∧ ¬ 𝑦 < +∞) → 𝑦 = +∞)
102101eqcomd 2627 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑦𝐴) ∧ ¬ 𝑦 < +∞) → +∞ = 𝑦)
103 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑦𝐴) → 𝑦𝐴)
104103adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑦𝐴) ∧ ¬ 𝑦 < +∞) → 𝑦𝐴)
105102, 104eqeltrd 2698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑦𝐴) ∧ ¬ 𝑦 < +∞) → +∞ ∈ 𝐴)
1061053adantl2 1216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴𝑦𝐴) ∧ ¬ 𝑦 < +∞) → +∞ ∈ 𝐴)
107 simpl2 1063 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴𝑦𝐴) ∧ ¬ 𝑦 < +∞) → ¬ +∞ ∈ 𝐴)
108106, 107condan 834 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴𝑦𝐴) → 𝑦 < +∞)
109108ad5ant125 1309 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐴) → 𝑦 < +∞)
1101093adant3 1079 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐴𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) → 𝑦 < +∞)
11196, 110jca 554 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐴𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) → (-∞ < 𝑦𝑦 < +∞))
11267ad5ant15 1300 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ*)
1131123adant3 1079 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐴𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) → 𝑦 ∈ ℝ*)
114 xrrebnd 11945 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 ∈ ℝ* → (𝑦 ∈ ℝ ↔ (-∞ < 𝑦𝑦 < +∞)))
115113, 114syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐴𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) → (𝑦 ∈ ℝ ↔ (-∞ < 𝑦𝑦 < +∞)))
116111, 115mpbird 247 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐴𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) → 𝑦 ∈ ℝ)
11775adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → (𝑤 / 2) ∈ ℝ)
1181173ad2ant1 1080 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐴𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) → (𝑤 / 2) ∈ ℝ)
119 rexadd 12009 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑤 / 2) ∈ ℝ) → (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2)) = (𝑦 + (𝑤 / 2)))
120116, 118, 119syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐴𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) → (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2)) = (𝑦 + (𝑤 / 2)))
121116, 118readdcld 10016 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐴𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) → (𝑦 + (𝑤 / 2)) ∈ ℝ)
122120, 121eqeltrd 2698 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐴𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) → (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2)) ∈ ℝ)
123122rexrd 10036 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐴𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) → (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2)) ∈ ℝ*)
124 pnfxr 10039 . . . . . . . . . . . . 13 +∞ ∈ ℝ*
125124a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐴𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) → +∞ ∈ ℝ*)
126 simp3 1061 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐴𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) → 𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2)))
127122ltpnfd 11902 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐴𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) → (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2)) < +∞)
12861, 123, 125, 126, 127xrlelttrd 11938 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐴𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) → 𝐵 < +∞)
12959, 128jca 554 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐴𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) → (-∞ < 𝐵𝐵 < +∞))
130 xrrebnd 11945 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ∈ ℝ* → (𝐵 ∈ ℝ ↔ (-∞ < 𝐵𝐵 < +∞)))
13161, 130syl 17 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐴𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) → (𝐵 ∈ ℝ ↔ (-∞ < 𝐵𝐵 < +∞)))
132129, 131mpbird 247 . . . . . . . . 9 (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐴𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) → 𝐵 ∈ ℝ)
133 rpre 11786 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑤 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℝ)
134133adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → 𝑤 ∈ ℝ)
1351343ad2ant1 1080 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐴𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) → 𝑤 ∈ ℝ)
136 rexadd 12009 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → (𝑦 +𝑒 𝑤) = (𝑦 + 𝑤))
137116, 135, 136syl2anc 692 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐴𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) → (𝑦 +𝑒 𝑤) = (𝑦 + 𝑤))
138116, 135readdcld 10016 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐴𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) → (𝑦 + 𝑤) ∈ ℝ)
139137, 138eqeltrd 2698 . . . . . . . . 9 (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐴𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) → (𝑦 +𝑒 𝑤) ∈ ℝ)
140 rphalflt 11807 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑤 ∈ ℝ+ → (𝑤 / 2) < 𝑤)
141140adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → (𝑤 / 2) < 𝑤)
1421413ad2ant1 1080 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐴𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) → (𝑤 / 2) < 𝑤)
143118, 135, 116, 142ltadd2dd 10143 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐴𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) → (𝑦 + (𝑤 / 2)) < (𝑦 + 𝑤))
144120, 137breq12d 4628 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐴𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) → ((𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2)) < (𝑦 +𝑒 𝑤) ↔ (𝑦 + (𝑤 / 2)) < (𝑦 + 𝑤)))
145143, 144mpbird 247 . . . . . . . . 9 (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐴𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) → (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2)) < (𝑦 +𝑒 𝑤))
146132, 122, 139, 126, 145lelttrd 10142 . . . . . . . 8 (((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐴𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2))) → 𝐵 < (𝑦 +𝑒 𝑤))
1471463exp 1261 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → (𝑦𝐴 → (𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2)) → 𝐵 < (𝑦 +𝑒 𝑤))))
14850, 147reximdai 3006 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → (∃𝑦𝐴 𝐵 ≤ (𝑦 +𝑒 (𝑤 / 2)) → ∃𝑦𝐴 𝐵 < (𝑦 +𝑒 𝑤)))
14949, 148mpd 15 . . . . 5 ((((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → ∃𝑦𝐴 𝐵 < (𝑦 +𝑒 𝑤))
15023, 25, 27, 149supxrgelem 39035 . . . 4 (((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ≠ -∞) → 𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ))
15120, 22, 150syl2anc 692 . . 3 (((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝐵 = -∞) → 𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ))
15219, 151pm2.61dan 831 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) → 𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ))
15311, 152pm2.61dan 831 1 (𝜑𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wnf 1705  wcel 1987  wne 2790  wrex 2908  Vcvv 3186  wss 3556   class class class wbr 4615  (class class class)co 6607  supcsup 8293  cr 9882   + caddc 9886  +∞cpnf 10018  -∞cmnf 10019  *cxr 10020   < clt 10021  cle 10022   / cdiv 10631  2c2 11017  +crp 11779   +𝑒 cxad 11891
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4743  ax-nul 4751  ax-pow 4805  ax-pr 4869  ax-un 6905  ax-cnex 9939  ax-resscn 9940  ax-1cn 9941  ax-icn 9942  ax-addcl 9943  ax-addrcl 9944  ax-mulcl 9945  ax-mulrcl 9946  ax-mulcom 9947  ax-addass 9948  ax-mulass 9949  ax-distr 9950  ax-i2m1 9951  ax-1ne0 9952  ax-1rid 9953  ax-rnegex 9954  ax-rrecex 9955  ax-cnre 9956  ax-pre-lttri 9957  ax-pre-lttrn 9958  ax-pre-ltadd 9959  ax-pre-mulgt0 9960  ax-pre-sup 9961
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3419  df-csb 3516  df-dif 3559  df-un 3561  df-in 3563  df-ss 3570  df-nul 3894  df-if 4061  df-pw 4134  df-sn 4151  df-pr 4153  df-op 4157  df-uni 4405  df-iun 4489  df-br 4616  df-opab 4676  df-mpt 4677  df-id 4991  df-po 4997  df-so 4998  df-xp 5082  df-rel 5083  df-cnv 5084  df-co 5085  df-dm 5086  df-rn 5087  df-res 5088  df-ima 5089  df-iota 5812  df-fun 5851  df-fn 5852  df-f 5853  df-f1 5854  df-fo 5855  df-f1o 5856  df-fv 5857  df-riota 6568  df-ov 6610  df-oprab 6611  df-mpt2 6612  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-er 7690  df-en 7903  df-dom 7904  df-sdom 7905  df-sup 8295  df-pnf 10023  df-mnf 10024  df-xr 10025  df-ltxr 10026  df-le 10027  df-sub 10215  df-neg 10216  df-div 10632  df-2 11026  df-rp 11780  df-xadd 11894
This theorem is referenced by:  sge0gerp  39935
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