Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  supxrgere Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem supxrgere 39010
Description: If a real number can be approximated from below by members of a set, then it is smaller or equal to the supremum of the set. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
supxrgere.xph 𝑥𝜑
supxrgere.a (𝜑𝐴 ⊆ ℝ*)
supxrgere.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
supxrgere.y ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑦𝐴 (𝐵𝑥) < 𝑦)
Assertion
Ref Expression
supxrgere (𝜑𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝜑,𝑦
Allowed substitution hint:   𝜑(𝑥)

Proof of Theorem supxrgere
StepHypRef Expression
1 supxrgere.b . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
2 rexr 10029 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℝ*)
3 pnfxr 10036 . . . . . . 7 +∞ ∈ ℝ*
43a1i 11 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℝ → +∞ ∈ ℝ*)
5 ltpnf 11898 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 < +∞)
62, 4, 5xrltled 38947 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ≤ +∞)
71, 6syl 17 . . . 4 (𝜑𝐵 ≤ +∞)
87adantr 481 . . 3 ((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → 𝐵 ≤ +∞)
9 id 22 . . . . 5 (sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞ → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
109eqcomd 2627 . . . 4 (sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞ → +∞ = sup(𝐴, ℝ*, < ))
1110adantl 482 . . 3 ((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → +∞ = sup(𝐴, ℝ*, < ))
128, 11breqtrd 4639 . 2 ((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → 𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ))
13 simpl 473 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → 𝜑)
14 1rp 11780 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ+
15 nfcv 2761 . . . . . . . . . 10 𝑥1
16 supxrgere.xph . . . . . . . . . . . 12 𝑥𝜑
17 nfv 1840 . . . . . . . . . . . 12 𝑥1 ∈ ℝ+
1816, 17nfan 1825 . . . . . . . . . . 11 𝑥(𝜑 ∧ 1 ∈ ℝ+)
19 nfv 1840 . . . . . . . . . . 11 𝑥𝑦𝐴 (𝐵 − 1) < 𝑦
2018, 19nfim 1822 . . . . . . . . . 10 𝑥((𝜑 ∧ 1 ∈ ℝ+) → ∃𝑦𝐴 (𝐵 − 1) < 𝑦)
21 eleq1 2686 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 1 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↔ 1 ∈ ℝ+))
2221anbi2d 739 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 1 → ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ↔ (𝜑 ∧ 1 ∈ ℝ+)))
23 oveq2 6612 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 1 → (𝐵𝑥) = (𝐵 − 1))
2423breq1d 4623 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 1 → ((𝐵𝑥) < 𝑦 ↔ (𝐵 − 1) < 𝑦))
2524rexbidv 3045 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 1 → (∃𝑦𝐴 (𝐵𝑥) < 𝑦 ↔ ∃𝑦𝐴 (𝐵 − 1) < 𝑦))
2622, 25imbi12d 334 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 1 → (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑦𝐴 (𝐵𝑥) < 𝑦) ↔ ((𝜑 ∧ 1 ∈ ℝ+) → ∃𝑦𝐴 (𝐵 − 1) < 𝑦)))
27 supxrgere.y . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑦𝐴 (𝐵𝑥) < 𝑦)
2815, 20, 26, 27vtoclgf 3250 . . . . . . . . 9 (1 ∈ ℝ+ → ((𝜑 ∧ 1 ∈ ℝ+) → ∃𝑦𝐴 (𝐵 − 1) < 𝑦))
2914, 28ax-mp 5 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 1 ∈ ℝ+) → ∃𝑦𝐴 (𝐵 − 1) < 𝑦)
3014, 29mpan2 706 . . . . . . 7 (𝜑 → ∃𝑦𝐴 (𝐵 − 1) < 𝑦)
3130adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → ∃𝑦𝐴 (𝐵 − 1) < 𝑦)
32 mnfxr 10040 . . . . . . . . . . 11 -∞ ∈ ℝ*
3332a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦𝐴 ∧ (𝐵 − 1) < 𝑦) → -∞ ∈ ℝ*)
34 supxrgere.a . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ*)
3534sselda 3583 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ*)
36353adant3 1079 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦𝐴 ∧ (𝐵 − 1) < 𝑦) → 𝑦 ∈ ℝ*)
37 supxrcl 12088 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ⊆ ℝ* → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
3834, 37syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
39383ad2ant1 1080 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦𝐴 ∧ (𝐵 − 1) < 𝑦) → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
40 peano2rem 10292 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 − 1) ∈ ℝ)
411, 40syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐵 − 1) ∈ ℝ)
4241rexrd 10033 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐵 − 1) ∈ ℝ*)
4342adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → (𝐵 − 1) ∈ ℝ*)
44433ad2antl1 1221 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦𝐴 ∧ (𝐵 − 1) < 𝑦) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → (𝐵 − 1) ∈ ℝ*)
4536adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦𝐴 ∧ (𝐵 − 1) < 𝑦) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → 𝑦 ∈ ℝ*)
4632a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦𝐴 ∧ (𝐵 − 1) < 𝑦) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → -∞ ∈ ℝ*)
47 simpl3 1064 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦𝐴 ∧ (𝐵 − 1) < 𝑦) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → (𝐵 − 1) < 𝑦)
48 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑦𝐴) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → ¬ -∞ < 𝑦)
4935adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑦𝐴) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → 𝑦 ∈ ℝ*)
5032a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑦𝐴) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → -∞ ∈ ℝ*)
51 xrlenlt 10047 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦 ∈ ℝ* ∧ -∞ ∈ ℝ*) → (𝑦 ≤ -∞ ↔ ¬ -∞ < 𝑦))
5249, 50, 51syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑦𝐴) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → (𝑦 ≤ -∞ ↔ ¬ -∞ < 𝑦))
5348, 52mpbird 247 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑦𝐴) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → 𝑦 ≤ -∞)
54533adantl3 1217 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦𝐴 ∧ (𝐵 − 1) < 𝑦) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → 𝑦 ≤ -∞)
5544, 45, 46, 47, 54xrltletrd 11936 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦𝐴 ∧ (𝐵 − 1) < 𝑦) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → (𝐵 − 1) < -∞)
56 nltmnf 11907 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐵 − 1) ∈ ℝ* → ¬ (𝐵 − 1) < -∞)
5742, 56syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ¬ (𝐵 − 1) < -∞)
5857adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → ¬ (𝐵 − 1) < -∞)
59583ad2antl1 1221 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦𝐴 ∧ (𝐵 − 1) < 𝑦) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → ¬ (𝐵 − 1) < -∞)
6055, 59condan 834 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦𝐴 ∧ (𝐵 − 1) < 𝑦) → -∞ < 𝑦)
6134adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦𝐴) → 𝐴 ⊆ ℝ*)
62 simpr 477 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦𝐴) → 𝑦𝐴)
63 supxrub 12097 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝑦𝐴) → 𝑦 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ))
6461, 62, 63syl2anc 692 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦𝐴) → 𝑦 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ))
65643adant3 1079 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦𝐴 ∧ (𝐵 − 1) < 𝑦) → 𝑦 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ))
6633, 36, 39, 60, 65xrltletrd 11936 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦𝐴 ∧ (𝐵 − 1) < 𝑦) → -∞ < sup(𝐴, ℝ*, < ))
67663exp 1261 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑦𝐴 → ((𝐵 − 1) < 𝑦 → -∞ < sup(𝐴, ℝ*, < ))))
6867adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → (𝑦𝐴 → ((𝐵 − 1) < 𝑦 → -∞ < sup(𝐴, ℝ*, < ))))
6968rexlimdv 3023 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → (∃𝑦𝐴 (𝐵 − 1) < 𝑦 → -∞ < sup(𝐴, ℝ*, < )))
7031, 69mpd 15 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → -∞ < sup(𝐴, ℝ*, < ))
71 simpr 477 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
72 nltpnft 11939 . . . . . . . . 9 (sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ* → (sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞ ↔ ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) < +∞))
7338, 72syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞ ↔ ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) < +∞))
7473adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → (sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞ ↔ ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) < +∞))
7571, 74mtbid 314 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → ¬ ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) < +∞)
7675notnotrd 128 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → sup(𝐴, ℝ*, < ) < +∞)
7770, 76jca 554 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → (-∞ < sup(𝐴, ℝ*, < ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < +∞))
7838adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
79 xrrebnd 11942 . . . . 5 (sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ* → (sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ ↔ (-∞ < sup(𝐴, ℝ*, < ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < +∞)))
8078, 79syl 17 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → (sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ ↔ (-∞ < sup(𝐴, ℝ*, < ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < +∞)))
8177, 80mpbird 247 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ)
82 simpl 473 . . . . 5 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < )) → (𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ))
83 simpr 477 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < )) → ¬ 𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ))
8482simprd 479 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < )) → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ)
851ad2antrr 761 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < )) → 𝐵 ∈ ℝ)
8684, 85ltnled 10128 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < )) → (sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < )))
8783, 86mpbird 247 . . . . 5 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < )) → sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵)
88 simpll 789 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) → 𝜑)
891adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
90 simpr 477 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ)
9189, 90resubcld 10402 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) → (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )) ∈ ℝ)
9291adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) → (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )) ∈ ℝ)
93 simpr 477 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) → sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵)
9490adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ)
9588, 1syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
9694, 95posdifd 10558 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) → (sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < ))))
9793, 96mpbid 222 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) → 0 < (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )))
9892, 97elrpd 11813 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) → (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )) ∈ ℝ+)
99 ovex 6632 . . . . . . . 8 (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )) ∈ V
100 nfcv 2761 . . . . . . . . 9 𝑥(𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < ))
101 nfv 1840 . . . . . . . . . . 11 𝑥(𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )) ∈ ℝ+
10216, 101nfan 1825 . . . . . . . . . 10 𝑥(𝜑 ∧ (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )) ∈ ℝ+)
103 nfv 1840 . . . . . . . . . 10 𝑥𝑦𝐴 (𝐵 − (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < ))) < 𝑦
104102, 103nfim 1822 . . . . . . . . 9 𝑥((𝜑 ∧ (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )) ∈ ℝ+) → ∃𝑦𝐴 (𝐵 − (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < ))) < 𝑦)
105 eleq1 2686 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↔ (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )) ∈ ℝ+))
106105anbi2d 739 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )) → ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ↔ (𝜑 ∧ (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )) ∈ ℝ+)))
107 oveq2 6612 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )) → (𝐵𝑥) = (𝐵 − (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < ))))
108107breq1d 4623 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )) → ((𝐵𝑥) < 𝑦 ↔ (𝐵 − (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < ))) < 𝑦))
109108rexbidv 3045 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )) → (∃𝑦𝐴 (𝐵𝑥) < 𝑦 ↔ ∃𝑦𝐴 (𝐵 − (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < ))) < 𝑦))
110106, 109imbi12d 334 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )) → (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑦𝐴 (𝐵𝑥) < 𝑦) ↔ ((𝜑 ∧ (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )) ∈ ℝ+) → ∃𝑦𝐴 (𝐵 − (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < ))) < 𝑦)))
111100, 104, 110, 27vtoclgf 3250 . . . . . . . 8 ((𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )) ∈ V → ((𝜑 ∧ (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )) ∈ ℝ+) → ∃𝑦𝐴 (𝐵 − (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < ))) < 𝑦))
11299, 111ax-mp 5 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )) ∈ ℝ+) → ∃𝑦𝐴 (𝐵 − (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < ))) < 𝑦)
11388, 98, 112syl2anc 692 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) → ∃𝑦𝐴 (𝐵 − (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < ))) < 𝑦)
1141recnd 10012 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
115114ad3antrrr 765 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) ∧ (𝐵 − (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < ))) < 𝑦) → 𝐵 ∈ ℂ)
11690recnd 10012 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℂ)
117116ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) ∧ (𝐵 − (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < ))) < 𝑦) → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℂ)
118115, 117nncand 10341 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) ∧ (𝐵 − (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < ))) < 𝑦) → (𝐵 − (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < ))) = sup(𝐴, ℝ*, < ))
119118eqcomd 2627 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) ∧ (𝐵 − (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < ))) < 𝑦) → sup(𝐴, ℝ*, < ) = (𝐵 − (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < ))))
120 simpr 477 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) ∧ (𝐵 − (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < ))) < 𝑦) → (𝐵 − (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < ))) < 𝑦)
121119, 120eqbrtrd 4635 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) ∧ (𝐵 − (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < ))) < 𝑦) → sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝑦)
122121ex 450 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) → ((𝐵 − (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < ))) < 𝑦 → sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝑦))
123122adantr 481 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) ∧ 𝑦𝐴) → ((𝐵 − (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < ))) < 𝑦 → sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝑦))
124123reximdva 3011 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) → (∃𝑦𝐴 (𝐵 − (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < ))) < 𝑦 → ∃𝑦𝐴 sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝑦))
125113, 124mpd 15 . . . . 5 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) → ∃𝑦𝐴 sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝑦)
12682, 87, 125syl2anc 692 . . . 4 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < )) → ∃𝑦𝐴 sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝑦)
12761, 37syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦𝐴) → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
12835, 127xrlenltd 10048 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦𝐴) → (𝑦 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ) ↔ ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝑦))
12964, 128mpbid 222 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝐴) → ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝑦)
130129ralrimiva 2960 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑦𝐴 ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝑦)
131 ralnex 2986 . . . . . 6 (∀𝑦𝐴 ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝑦 ↔ ¬ ∃𝑦𝐴 sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝑦)
132130, 131sylib 208 . . . . 5 (𝜑 → ¬ ∃𝑦𝐴 sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝑦)
133132ad2antrr 761 . . . 4 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < )) → ¬ ∃𝑦𝐴 sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝑦)
134126, 133condan 834 . . 3 ((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) → 𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ))
13513, 81, 134syl2anc 692 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → 𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ))
13612, 135pm2.61dan 831 1 (𝜑𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wnf 1705  wcel 1987  wral 2907  wrex 2908  Vcvv 3186  wss 3555   class class class wbr 4613  (class class class)co 6604  supcsup 8290  cc 9878  cr 9879  0cc0 9880  1c1 9881  +∞cpnf 10015  -∞cmnf 10016  *cxr 10017   < clt 10018  cle 10019  cmin 10210  +crp 11776
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-sup 8292  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-rp 11777
This theorem is referenced by:  suplesup  39016
  Copyright terms: Public domain W3C validator