MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  supxrmnf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem supxrmnf 12106
Description: Adding minus infinity to a set does not affect its supremum. (Contributed by NM, 19-Jan-2006.)
Assertion
Ref Expression
supxrmnf (𝐴 ⊆ ℝ* → sup((𝐴 ∪ {-∞}), ℝ*, < ) = sup(𝐴, ℝ*, < ))

Proof of Theorem supxrmnf
StepHypRef Expression
1 uncom 3741 . . 3 (𝐴 ∪ {-∞}) = ({-∞} ∪ 𝐴)
21supeq1i 8313 . 2 sup((𝐴 ∪ {-∞}), ℝ*, < ) = sup(({-∞} ∪ 𝐴), ℝ*, < )
3 mnfxr 10056 . . . 4 -∞ ∈ ℝ*
4 snssi 4315 . . . 4 (-∞ ∈ ℝ* → {-∞} ⊆ ℝ*)
53, 4mp1i 13 . . 3 (𝐴 ⊆ ℝ* → {-∞} ⊆ ℝ*)
6 id 22 . . 3 (𝐴 ⊆ ℝ*𝐴 ⊆ ℝ*)
7 xrltso 11934 . . . . 5 < Or ℝ*
8 supsn 8338 . . . . 5 (( < Or ℝ* ∧ -∞ ∈ ℝ*) → sup({-∞}, ℝ*, < ) = -∞)
97, 3, 8mp2an 707 . . . 4 sup({-∞}, ℝ*, < ) = -∞
10 supxrcl 12104 . . . . 5 (𝐴 ⊆ ℝ* → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
11 mnfle 11929 . . . . 5 (sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ* → -∞ ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ))
1210, 11syl 17 . . . 4 (𝐴 ⊆ ℝ* → -∞ ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ))
139, 12syl5eqbr 4658 . . 3 (𝐴 ⊆ ℝ* → sup({-∞}, ℝ*, < ) ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ))
14 supxrun 12105 . . 3 (({-∞} ⊆ ℝ*𝐴 ⊆ ℝ* ∧ sup({-∞}, ℝ*, < ) ≤ sup(𝐴, ℝ*, < )) → sup(({-∞} ∪ 𝐴), ℝ*, < ) = sup(𝐴, ℝ*, < ))
155, 6, 13, 14syl3anc 1323 . 2 (𝐴 ⊆ ℝ* → sup(({-∞} ∪ 𝐴), ℝ*, < ) = sup(𝐴, ℝ*, < ))
162, 15syl5eq 2667 1 (𝐴 ⊆ ℝ* → sup((𝐴 ∪ {-∞}), ℝ*, < ) = sup(𝐴, ℝ*, < ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1480  wcel 1987  cun 3558  wss 3560  {csn 4155   class class class wbr 4623   Or wor 5004  supcsup 8306  -∞cmnf 10032  *cxr 10033   < clt 10034  cle 10035
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973  ax-pre-sup 9974
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rmo 2916  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-op 4162  df-uni 4410  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-er 7702  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-sup 8308  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator