Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  supxrnemnf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem supxrnemnf 29508
 Description: The supremum of a nonempty set of extended reals which does not contain minus infinity is not minus infinity. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Mar-2017.)
Assertion
Ref Expression
supxrnemnf ((𝐴 ⊆ ℝ*𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ -∞ ∈ 𝐴) → sup(𝐴, ℝ*, < ) ≠ -∞)

Proof of Theorem supxrnemnf
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mnfxr 10081 . . 3 -∞ ∈ ℝ*
21a1i 11 . 2 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ -∞ ∈ 𝐴) → -∞ ∈ ℝ*)
3 supxrcl 12130 . . 3 (𝐴 ⊆ ℝ* → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
433ad2ant1 1080 . 2 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ -∞ ∈ 𝐴) → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
5 simp1 1059 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ -∞ ∈ 𝐴) → 𝐴 ⊆ ℝ*)
65, 1jctir 560 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ -∞ ∈ 𝐴) → (𝐴 ⊆ ℝ* ∧ -∞ ∈ ℝ*))
7 simpl 473 . . . . . . . 8 ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ¬ -∞ ∈ 𝐴) → 𝐴 ⊆ ℝ*)
87sselda 3595 . . . . . . 7 (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ¬ -∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ*)
9 simpr 477 . . . . . . . 8 (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ¬ -∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥𝐴)
10 simplr 791 . . . . . . . 8 (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ¬ -∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝑥𝐴) → ¬ -∞ ∈ 𝐴)
11 nelneq 2723 . . . . . . . 8 ((𝑥𝐴 ∧ ¬ -∞ ∈ 𝐴) → ¬ 𝑥 = -∞)
129, 10, 11syl2anc 692 . . . . . . 7 (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ¬ -∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝑥𝐴) → ¬ 𝑥 = -∞)
13 ngtmnft 11982 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ* → (𝑥 = -∞ ↔ ¬ -∞ < 𝑥))
1413biimprd 238 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ* → (¬ -∞ < 𝑥𝑥 = -∞))
1514con1d 139 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ* → (¬ 𝑥 = -∞ → -∞ < 𝑥))
168, 12, 15sylc 65 . . . . . 6 (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ¬ -∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝑥𝐴) → -∞ < 𝑥)
1716reximdva0 3925 . . . . 5 (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ¬ -∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥𝐴 -∞ < 𝑥)
18173impa 1257 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ¬ -∞ ∈ 𝐴𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥𝐴 -∞ < 𝑥)
19183com23 1269 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ -∞ ∈ 𝐴) → ∃𝑥𝐴 -∞ < 𝑥)
20 supxrlub 12140 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ -∞ ∈ ℝ*) → (-∞ < sup(𝐴, ℝ*, < ) ↔ ∃𝑥𝐴 -∞ < 𝑥))
2120biimprd 238 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ -∞ ∈ ℝ*) → (∃𝑥𝐴 -∞ < 𝑥 → -∞ < sup(𝐴, ℝ*, < )))
226, 19, 21sylc 65 . 2 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ -∞ ∈ 𝐴) → -∞ < sup(𝐴, ℝ*, < ))
23 xrltne 11979 . 2 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ* ∧ -∞ < sup(𝐴, ℝ*, < )) → sup(𝐴, ℝ*, < ) ≠ -∞)
242, 4, 22, 23syl3anc 1324 1 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ -∞ ∈ 𝐴) → sup(𝐴, ℝ*, < ) ≠ -∞)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 384   ∧ w3a 1036   = wceq 1481   ∈ wcel 1988   ≠ wne 2791  ∃wrex 2910   ⊆ wss 3567  ∅c0 3907   class class class wbr 4644  supcsup 8331  -∞cmnf 10057  ℝ*cxr 10058   < clt 10059 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997  ax-pre-mulgt0 9998  ax-pre-sup 9999 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rmo 2917  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-op 4175  df-uni 4428  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-id 5014  df-po 5025  df-so 5026  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-er 7727  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-sup 8333  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-sub 10253  df-neg 10254 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator