Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  supxrpnf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem supxrpnf 12312
 Description: The supremum of a set of extended reals containing plus infinity is plus infinity. (Contributed by NM, 15-Oct-2005.)
Assertion
Ref Expression
supxrpnf ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ +∞ ∈ 𝐴) → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)

Proof of Theorem supxrpnf
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssel 3726 . . . . 5 (𝐴 ⊆ ℝ* → (𝑦𝐴𝑦 ∈ ℝ*))
2 pnfnlt 12126 . . . . 5 (𝑦 ∈ ℝ* → ¬ +∞ < 𝑦)
31, 2syl6 35 . . . 4 (𝐴 ⊆ ℝ* → (𝑦𝐴 → ¬ +∞ < 𝑦))
43ralrimiv 3091 . . 3 (𝐴 ⊆ ℝ* → ∀𝑦𝐴 ¬ +∞ < 𝑦)
5 breq2 4796 . . . . . 6 (𝑧 = +∞ → (𝑦 < 𝑧𝑦 < +∞))
65rspcev 3437 . . . . 5 ((+∞ ∈ 𝐴𝑦 < +∞) → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)
76ex 449 . . . 4 (+∞ ∈ 𝐴 → (𝑦 < +∞ → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧))
87ralrimivw 3093 . . 3 (+∞ ∈ 𝐴 → ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < +∞ → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧))
94, 8anim12i 591 . 2 ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ +∞ ∈ 𝐴) → (∀𝑦𝐴 ¬ +∞ < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < +∞ → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)))
10 pnfxr 10255 . . 3 +∞ ∈ ℝ*
11 supxr 12307 . . 3 (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) ∧ (∀𝑦𝐴 ¬ +∞ < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < +∞ → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧))) → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
1210, 11mpanl2 719 . 2 ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ (∀𝑦𝐴 ¬ +∞ < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < +∞ → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧))) → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
139, 12syldan 488 1 ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ +∞ ∈ 𝐴) → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1620   ∈ wcel 2127  ∀wral 3038  ∃wrex 3039   ⊆ wss 3703   class class class wbr 4792  supcsup 8499  ℝcr 10098  +∞cpnf 10234  ℝ*cxr 10236   < clt 10237 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1859  ax-4 1874  ax-5 1976  ax-6 2042  ax-7 2078  ax-8 2129  ax-9 2136  ax-10 2156  ax-11 2171  ax-12 2184  ax-13 2379  ax-ext 2728  ax-sep 4921  ax-nul 4929  ax-pow 4980  ax-pr 5043  ax-un 7102  ax-cnex 10155  ax-resscn 10156  ax-1cn 10157  ax-icn 10158  ax-addcl 10159  ax-addrcl 10160  ax-mulcl 10161  ax-mulrcl 10162  ax-mulcom 10163  ax-addass 10164  ax-mulass 10165  ax-distr 10166  ax-i2m1 10167  ax-1ne0 10168  ax-1rid 10169  ax-rnegex 10170  ax-rrecex 10171  ax-cnre 10172  ax-pre-lttri 10173  ax-pre-lttrn 10174  ax-pre-ltadd 10175  ax-pre-mulgt0 10176 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1623  df-ex 1842  df-nf 1847  df-sb 2035  df-eu 2599  df-mo 2600  df-clab 2735  df-cleq 2741  df-clel 2744  df-nfc 2879  df-ne 2921  df-nel 3024  df-ral 3043  df-rex 3044  df-reu 3045  df-rmo 3046  df-rab 3047  df-v 3330  df-sbc 3565  df-csb 3663  df-dif 3706  df-un 3708  df-in 3710  df-ss 3717  df-nul 4047  df-if 4219  df-pw 4292  df-sn 4310  df-pr 4312  df-op 4316  df-uni 4577  df-br 4793  df-opab 4853  df-mpt 4870  df-id 5162  df-po 5175  df-so 5176  df-xp 5260  df-rel 5261  df-cnv 5262  df-co 5263  df-dm 5264  df-rn 5265  df-res 5266  df-ima 5267  df-iota 6000  df-fun 6039  df-fn 6040  df-f 6041  df-f1 6042  df-fo 6043  df-f1o 6044  df-fv 6045  df-riota 6762  df-ov 6804  df-oprab 6805  df-mpt2 6806  df-er 7899  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-sup 8501  df-pnf 10239  df-mnf 10240  df-xr 10241  df-ltxr 10242  df-le 10243  df-sub 10431  df-neg 10432 This theorem is referenced by:  xrsup  12832  volsup  23495  supxrge  40021  supminfxr2  40166  sge0tsms  41069  sge0sup  41080
 Copyright terms: Public domain W3C validator