Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  supxrre3rnmpt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem supxrre3rnmpt 39475
Description: The indexed supremum of a nonempty set of reals, is real if and only if it is bounded-above . (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
supxrre3rnmpt.x 𝑥𝜑
supxrre3rnmpt.a (𝜑𝐴 ≠ ∅)
supxrre3rnmpt.b ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
supxrre3rnmpt (𝜑 → (sup(ran (𝑥𝐴𝐵), ℝ*, < ) ∈ ℝ ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑦))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑦,𝐵
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem supxrre3rnmpt
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 supxrre3rnmpt.x . . . 4 𝑥𝜑
2 eqid 2621 . . . 4 (𝑥𝐴𝐵) = (𝑥𝐴𝐵)
3 supxrre3rnmpt.b . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
41, 2, 3rnmptssd 39207 . . 3 (𝜑 → ran (𝑥𝐴𝐵) ⊆ ℝ)
5 supxrre3rnmpt.a . . . 4 (𝜑𝐴 ≠ ∅)
61, 3, 2, 5rnmptn0 39235 . . 3 (𝜑 → ran (𝑥𝐴𝐵) ≠ ∅)
7 supxrre3 39360 . . 3 ((ran (𝑥𝐴𝐵) ⊆ ℝ ∧ ran (𝑥𝐴𝐵) ≠ ∅) → (sup(ran (𝑥𝐴𝐵), ℝ*, < ) ∈ ℝ ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ran (𝑥𝐴𝐵)𝑧𝑦))
84, 6, 7syl2anc 693 . 2 (𝜑 → (sup(ran (𝑥𝐴𝐵), ℝ*, < ) ∈ ℝ ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ran (𝑥𝐴𝐵)𝑧𝑦))
91, 3rnmptbd 39293 . 2 (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑦 ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ran (𝑥𝐴𝐵)𝑧𝑦))
108, 9bitr4d 271 1 (𝜑 → (sup(ran (𝑥𝐴𝐵), ℝ*, < ) ∈ ℝ ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑦))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  wnf 1707  wcel 1989  wne 2793  wral 2911  wrex 2912  wss 3572  c0 3913   class class class wbr 4651  cmpt 4727  ran crn 5113  supcsup 8343  cr 9932  *cxr 10070   < clt 10071  cle 10072
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1721  ax-4 1736  ax-5 1838  ax-6 1887  ax-7 1934  ax-8 1991  ax-9 1998  ax-10 2018  ax-11 2033  ax-12 2046  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4779  ax-nul 4787  ax-pow 4841  ax-pr 4904  ax-un 6946  ax-cnex 9989  ax-resscn 9990  ax-1cn 9991  ax-icn 9992  ax-addcl 9993  ax-addrcl 9994  ax-mulcl 9995  ax-mulrcl 9996  ax-mulcom 9997  ax-addass 9998  ax-mulass 9999  ax-distr 10000  ax-i2m1 10001  ax-1ne0 10002  ax-1rid 10003  ax-rnegex 10004  ax-rrecex 10005  ax-cnre 10006  ax-pre-lttri 10007  ax-pre-lttrn 10008  ax-pre-ltadd 10009  ax-pre-mulgt0 10010  ax-pre-sup 10011
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1485  df-ex 1704  df-nf 1709  df-sb 1880  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2752  df-ne 2794  df-nel 2897  df-ral 2916  df-rex 2917  df-reu 2918  df-rmo 2919  df-rab 2920  df-v 3200  df-sbc 3434  df-csb 3532  df-dif 3575  df-un 3577  df-in 3579  df-ss 3586  df-nul 3914  df-if 4085  df-pw 4158  df-sn 4176  df-pr 4178  df-op 4182  df-uni 4435  df-br 4652  df-opab 4711  df-mpt 4728  df-id 5022  df-po 5033  df-so 5034  df-xp 5118  df-rel 5119  df-cnv 5120  df-co 5121  df-dm 5122  df-rn 5123  df-res 5124  df-ima 5125  df-iota 5849  df-fun 5888  df-fn 5889  df-f 5890  df-f1 5891  df-fo 5892  df-f1o 5893  df-fv 5894  df-riota 6608  df-ov 6650  df-oprab 6651  df-mpt2 6652  df-er 7739  df-en 7953  df-dom 7954  df-sdom 7955  df-sup 8345  df-pnf 10073  df-mnf 10074  df-xr 10075  df-ltxr 10076  df-le 10077  df-sub 10265  df-neg 10266
This theorem is referenced by:  limsupvaluz2  39776  supcnvlimsup  39778  smfsupxr  40791  smflimsuplem2  40796  smflimsuplem5  40799
  Copyright terms: Public domain W3C validator