Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  supxrrernmpt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem supxrrernmpt 39467
 Description: The real and extended real indexed suprema match when the indexed real supremum exists. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
supxrrernmpt.x 𝑥𝜑
supxrrernmpt.a (𝜑𝐴 ≠ ∅)
supxrrernmpt.b ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
supxrrernmpt.y (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑦)
Assertion
Ref Expression
supxrrernmpt (𝜑 → sup(ran (𝑥𝐴𝐵), ℝ*, < ) = sup(ran (𝑥𝐴𝐵), ℝ, < ))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑦,𝐵
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem supxrrernmpt
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 supxrrernmpt.x . . 3 𝑥𝜑
2 eqid 2621 . . 3 (𝑥𝐴𝐵) = (𝑥𝐴𝐵)
3 supxrrernmpt.b . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
41, 2, 3rnmptssd 39207 . 2 (𝜑 → ran (𝑥𝐴𝐵) ⊆ ℝ)
5 supxrrernmpt.a . . 3 (𝜑𝐴 ≠ ∅)
61, 3, 2, 5rnmptn0 39235 . 2 (𝜑 → ran (𝑥𝐴𝐵) ≠ ∅)
7 supxrrernmpt.y . . 3 (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑦)
81, 7rnmptbdd 39278 . 2 (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ran (𝑥𝐴𝐵)𝑧𝑦)
9 supxrre 12154 . 2 ((ran (𝑥𝐴𝐵) ⊆ ℝ ∧ ran (𝑥𝐴𝐵) ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ran (𝑥𝐴𝐵)𝑧𝑦) → sup(ran (𝑥𝐴𝐵), ℝ*, < ) = sup(ran (𝑥𝐴𝐵), ℝ, < ))
104, 6, 8, 9syl3anc 1325 1 (𝜑 → sup(ran (𝑥𝐴𝐵), ℝ*, < ) = sup(ran (𝑥𝐴𝐵), ℝ, < ))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1482  Ⅎwnf 1707   ∈ wcel 1989   ≠ wne 2793  ∀wral 2911  ∃wrex 2912   ⊆ wss 3572  ∅c0 3913   class class class wbr 4651   ↦ cmpt 4727  ran crn 5113  supcsup 8343  ℝcr 9932  ℝ*cxr 10070   < clt 10071   ≤ cle 10072 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1721  ax-4 1736  ax-5 1838  ax-6 1887  ax-7 1934  ax-8 1991  ax-9 1998  ax-10 2018  ax-11 2033  ax-12 2046  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4779  ax-nul 4787  ax-pow 4841  ax-pr 4904  ax-un 6946  ax-cnex 9989  ax-resscn 9990  ax-1cn 9991  ax-icn 9992  ax-addcl 9993  ax-addrcl 9994  ax-mulcl 9995  ax-mulrcl 9996  ax-mulcom 9997  ax-addass 9998  ax-mulass 9999  ax-distr 10000  ax-i2m1 10001  ax-1ne0 10002  ax-1rid 10003  ax-rnegex 10004  ax-rrecex 10005  ax-cnre 10006  ax-pre-lttri 10007  ax-pre-lttrn 10008  ax-pre-ltadd 10009  ax-pre-mulgt0 10010  ax-pre-sup 10011 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1485  df-ex 1704  df-nf 1709  df-sb 1880  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2752  df-ne 2794  df-nel 2897  df-ral 2916  df-rex 2917  df-reu 2918  df-rmo 2919  df-rab 2920  df-v 3200  df-sbc 3434  df-csb 3532  df-dif 3575  df-un 3577  df-in 3579  df-ss 3586  df-nul 3914  df-if 4085  df-pw 4158  df-sn 4176  df-pr 4178  df-op 4182  df-uni 4435  df-br 4652  df-opab 4711  df-mpt 4728  df-id 5022  df-po 5033  df-so 5034  df-xp 5118  df-rel 5119  df-cnv 5120  df-co 5121  df-dm 5122  df-rn 5123  df-res 5124  df-ima 5125  df-iota 5849  df-fun 5888  df-fn 5889  df-f 5890  df-f1 5891  df-fo 5892  df-f1o 5893  df-fv 5894  df-riota 6608  df-ov 6650  df-oprab 6651  df-mpt2 6652  df-er 7739  df-en 7953  df-dom 7954  df-sdom 7955  df-sup 8345  df-pnf 10073  df-mnf 10074  df-xr 10075  df-ltxr 10076  df-le 10077  df-sub 10265  df-neg 10266 This theorem is referenced by:  smfsupxr  40791
 Copyright terms: Public domain W3C validator