MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  supxrub Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem supxrub 12094
Description: A member of a set of extended reals is less than or equal to the set's supremum. (Contributed by NM, 7-Feb-2006.)
Assertion
Ref Expression
supxrub ((𝐴 ⊆ ℝ*𝐵𝐴) → 𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ))

Proof of Theorem supxrub
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xrltso 11918 . . . . 5 < Or ℝ*
21a1i 11 . . . 4 (𝐴 ⊆ ℝ* → < Or ℝ*)
3 xrsupss 12079 . . . 4 (𝐴 ⊆ ℝ* → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)))
42, 3supub 8310 . . 3 (𝐴 ⊆ ℝ* → (𝐵𝐴 → ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵))
54imp 445 . 2 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝐵𝐴) → ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵)
6 ssel2 3583 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝐵𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
7 supxrcl 12085 . . . 4 (𝐴 ⊆ ℝ* → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
87adantr 481 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝐵𝐴) → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
9 xrlenlt 10048 . . 3 ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*) → (𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ) ↔ ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵))
106, 8, 9syl2anc 692 . 2 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝐵𝐴) → (𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ) ↔ ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵))
115, 10mpbird 247 1 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝐵𝐴) → 𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 384  wcel 1992  wss 3560   class class class wbr 4618   Or wor 4999  supcsup 8291  *cxr 10018   < clt 10019  cle 10020
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958  ax-pre-sup 9959
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-op 4160  df-uni 4408  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-er 7688  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-sup 8293  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214
This theorem is referenced by:  supxrre  12097  supxrss  12102  ixxub  12135  prdsdsf  22077  prdsxmetlem  22078  xpsdsval  22091  prdsbl  22201  xrge0tsms  22540  bndth  22660  ovolmge0  23147  ovollb2lem  23158  ovolunlem1a  23166  ovoliunlem1  23172  ovoliun  23175  ovolicc2lem4  23190  ioombl1lem2  23229  ioombl1lem4  23231  uniioombllem2  23252  uniioombllem3  23254  uniioombllem6  23257  vitalilem4  23281  itg2ub  23401  itg2seq  23410  itg2monolem1  23418  itg2monolem2  23419  itg2monolem3  23420  aannenlem2  23983  radcnvcl  24070  radcnvle  24073  nmooge0  27462  nmoolb  27466  nmlno0lem  27488  nmoplb  28606  nmfnlb  28623  nmlnop0iALT  28694  xrofsup  29369  xrge0tsmsd  29562  itg2addnc  33082  rrnequiv  33252  supxrubd  38770  supxrgere  39000  supxrgelem  39004  suplesup2  39043  ressiocsup  39179  ressioosup  39180  etransclem48  39793  fsumlesge0  39888  sge0cl  39892  sge0supre  39900  sge0xaddlem1  39944  sge0xaddlem2  39945
  Copyright terms: Public domain W3C validator