MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  supxrub Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem supxrub 12192
Description: A member of a set of extended reals is less than or equal to the set's supremum. (Contributed by NM, 7-Feb-2006.)
Assertion
Ref Expression
supxrub ((𝐴 ⊆ ℝ*𝐵𝐴) → 𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ))

Proof of Theorem supxrub
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xrltso 12012 . . . . 5 < Or ℝ*
21a1i 11 . . . 4 (𝐴 ⊆ ℝ* → < Or ℝ*)
3 xrsupss 12177 . . . 4 (𝐴 ⊆ ℝ* → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)))
42, 3supub 8406 . . 3 (𝐴 ⊆ ℝ* → (𝐵𝐴 → ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵))
54imp 444 . 2 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝐵𝐴) → ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵)
6 ssel2 3631 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝐵𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
7 supxrcl 12183 . . . 4 (𝐴 ⊆ ℝ* → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
87adantr 480 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝐵𝐴) → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
9 xrlenlt 10141 . . 3 ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*) → (𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ) ↔ ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵))
106, 8, 9syl2anc 694 . 2 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝐵𝐴) → (𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ) ↔ ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵))
115, 10mpbird 247 1 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝐵𝐴) → 𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383  wcel 2030  wss 3607   class class class wbr 4685   Or wor 5063  supcsup 8387  *cxr 10111   < clt 10112  cle 10113
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-po 5064  df-so 5065  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-sup 8389  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307
This theorem is referenced by:  supxrre  12195  supxrss  12200  ixxub  12234  prdsdsf  22219  prdsxmetlem  22220  xpsdsval  22233  prdsbl  22343  xrge0tsms  22684  bndth  22804  ovolmge0  23291  ovollb2lem  23302  ovolunlem1a  23310  ovoliunlem1  23316  ovoliun  23319  ovolicc2lem4  23334  ioombl1lem2  23373  ioombl1lem4  23375  uniioombllem2  23397  uniioombllem3  23399  uniioombllem6  23402  vitalilem4  23425  itg2ub  23545  itg2seq  23554  itg2monolem1  23562  itg2monolem2  23563  itg2monolem3  23564  aannenlem2  24129  radcnvcl  24216  radcnvle  24219  nmooge0  27750  nmoolb  27754  nmlno0lem  27776  nmoplb  28894  nmfnlb  28911  nmlnop0iALT  28982  xrofsup  29661  xrge0tsmsd  29913  itg2addnc  33594  rrnequiv  33764  supxrubd  39611  supxrgere  39862  supxrgelem  39866  suplesup2  39905  ressiocsup  40099  ressioosup  40100  liminfval2  40318  etransclem48  40817  fsumlesge0  40912  sge0cl  40916  sge0supre  40924  sge0xaddlem1  40968  sge0xaddlem2  40969
  Copyright terms: Public domain W3C validator