MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  supxrunb2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem supxrunb2 12093
Description: The supremum of an unbounded-above set of extended reals is plus infinity. (Contributed by NM, 19-Jan-2006.)
Assertion
Ref Expression
supxrunb2 (𝐴 ⊆ ℝ* → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦 ↔ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞))
Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝐴

Proof of Theorem supxrunb2
Dummy variables 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssel 3577 . . . . . . . 8 (𝐴 ⊆ ℝ* → (𝑧𝐴𝑧 ∈ ℝ*))
2 pnfnlt 11906 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ ℝ* → ¬ +∞ < 𝑧)
31, 2syl6 35 . . . . . . 7 (𝐴 ⊆ ℝ* → (𝑧𝐴 → ¬ +∞ < 𝑧))
43ralrimiv 2959 . . . . . 6 (𝐴 ⊆ ℝ* → ∀𝑧𝐴 ¬ +∞ < 𝑧)
54adantr 481 . . . . 5 ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦) → ∀𝑧𝐴 ¬ +∞ < 𝑧)
6 breq1 4616 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 < 𝑦𝑧 < 𝑦))
76rexbidv 3045 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑧 → (∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦 ↔ ∃𝑦𝐴 𝑧 < 𝑦))
87rspcva 3293 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦) → ∃𝑦𝐴 𝑧 < 𝑦)
98adantrr 752 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦𝐴 ⊆ ℝ*)) → ∃𝑦𝐴 𝑧 < 𝑦)
109ancoms 469 . . . . . . . . . . 11 (((∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦𝐴 ⊆ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ∃𝑦𝐴 𝑧 < 𝑦)
1110exp31 629 . . . . . . . . . 10 (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦 → (𝐴 ⊆ ℝ* → (𝑧 ∈ ℝ → ∃𝑦𝐴 𝑧 < 𝑦)))
1211a1dd 50 . . . . . . . . 9 (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦 → (𝐴 ⊆ ℝ* → (𝑧 < +∞ → (𝑧 ∈ ℝ → ∃𝑦𝐴 𝑧 < 𝑦))))
1312com4r 94 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ ℝ → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦 → (𝐴 ⊆ ℝ* → (𝑧 < +∞ → ∃𝑦𝐴 𝑧 < 𝑦))))
1413com13 88 . . . . . . 7 (𝐴 ⊆ ℝ* → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦 → (𝑧 ∈ ℝ → (𝑧 < +∞ → ∃𝑦𝐴 𝑧 < 𝑦))))
1514imp 445 . . . . . 6 ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦) → (𝑧 ∈ ℝ → (𝑧 < +∞ → ∃𝑦𝐴 𝑧 < 𝑦)))
1615ralrimiv 2959 . . . . 5 ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦) → ∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 < +∞ → ∃𝑦𝐴 𝑧 < 𝑦))
175, 16jca 554 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦) → (∀𝑧𝐴 ¬ +∞ < 𝑧 ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 < +∞ → ∃𝑦𝐴 𝑧 < 𝑦)))
18 pnfxr 10036 . . . . 5 +∞ ∈ ℝ*
19 supxr 12086 . . . . 5 (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) ∧ (∀𝑧𝐴 ¬ +∞ < 𝑧 ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 < +∞ → ∃𝑦𝐴 𝑧 < 𝑦))) → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
2018, 19mpanl2 716 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ (∀𝑧𝐴 ¬ +∞ < 𝑧 ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 < +∞ → ∃𝑦𝐴 𝑧 < 𝑦))) → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
2117, 20syldan 487 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦) → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
2221ex 450 . 2 (𝐴 ⊆ ℝ* → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦 → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞))
23 rexr 10029 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ*)
2423ad2antlr 762 . . . . . 6 (((𝐴 ⊆ ℝ*𝑥 ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → 𝑥 ∈ ℝ*)
25 ltpnf 11898 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 < +∞)
26 breq2 4617 . . . . . . . . 9 (sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞ → (𝑥 < sup(𝐴, ℝ*, < ) ↔ 𝑥 < +∞))
2725, 26syl5ibr 236 . . . . . . . 8 (sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞ → (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 < sup(𝐴, ℝ*, < )))
2827impcom 446 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → 𝑥 < sup(𝐴, ℝ*, < ))
2928adantll 749 . . . . . 6 (((𝐴 ⊆ ℝ*𝑥 ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → 𝑥 < sup(𝐴, ℝ*, < ))
30 xrltso 11918 . . . . . . . 8 < Or ℝ*
3130a1i 11 . . . . . . 7 (((𝐴 ⊆ ℝ*𝑥 ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → < Or ℝ*)
32 xrsupss 12082 . . . . . . . 8 (𝐴 ⊆ ℝ* → ∃𝑧 ∈ ℝ* (∀𝑤𝐴 ¬ 𝑧 < 𝑤 ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ* (𝑤 < 𝑧 → ∃𝑦𝐴 𝑤 < 𝑦)))
3332ad2antrr 761 . . . . . . 7 (((𝐴 ⊆ ℝ*𝑥 ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → ∃𝑧 ∈ ℝ* (∀𝑤𝐴 ¬ 𝑧 < 𝑤 ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ* (𝑤 < 𝑧 → ∃𝑦𝐴 𝑤 < 𝑦)))
3431, 33suplub 8310 . . . . . 6 (((𝐴 ⊆ ℝ*𝑥 ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → ((𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < sup(𝐴, ℝ*, < )) → ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦))
3524, 29, 34mp2and 714 . . . . 5 (((𝐴 ⊆ ℝ*𝑥 ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦)
3635exp31 629 . . . 4 (𝐴 ⊆ ℝ* → (𝑥 ∈ ℝ → (sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞ → ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦)))
3736com23 86 . . 3 (𝐴 ⊆ ℝ* → (sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞ → (𝑥 ∈ ℝ → ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦)))
3837ralrimdv 2962 . 2 (𝐴 ⊆ ℝ* → (sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞ → ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦))
3922, 38impbid 202 1 (𝐴 ⊆ ℝ* → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦 ↔ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wral 2907  wrex 2908  wss 3555   class class class wbr 4613   Or wor 4994  supcsup 8290  cr 9879  +∞cpnf 10015  *cxr 10017   < clt 10018
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-sup 8292  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213
This theorem is referenced by:  supxrbnd2  12095  supxrbnd  12101  suplesup  39016  supxrunb3  39084  sge0pnffigt  39917
  Copyright terms: Public domain W3C validator