Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  swrd00 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem swrd00 13617
 Description: A zero length substring. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
swrd00 (𝑆 substr ⟨𝑋, 𝑋⟩) = ∅

Proof of Theorem swrd00
Dummy variables 𝑠 𝑏 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 opelxp 5303 . . . 4 (⟨𝑆, ⟨𝑋, 𝑋⟩⟩ ∈ (V × (ℤ × ℤ)) ↔ (𝑆 ∈ V ∧ ⟨𝑋, 𝑋⟩ ∈ (ℤ × ℤ)))
2 opelxp 5303 . . . . 5 (⟨𝑋, 𝑋⟩ ∈ (ℤ × ℤ) ↔ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ))
3 swrdval 13616 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ V ∧ 𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → (𝑆 substr ⟨𝑋, 𝑋⟩) = if((𝑋..^𝑋) ⊆ dom 𝑆, (𝑥 ∈ (0..^(𝑋𝑋)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 𝑋))), ∅))
4 fzo0 12686 . . . . . . . . . 10 (𝑋..^𝑋) = ∅
5 0ss 4115 . . . . . . . . . 10 ∅ ⊆ dom 𝑆
64, 5eqsstri 3776 . . . . . . . . 9 (𝑋..^𝑋) ⊆ dom 𝑆
76iftruei 4237 . . . . . . . 8 if((𝑋..^𝑋) ⊆ dom 𝑆, (𝑥 ∈ (0..^(𝑋𝑋)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 𝑋))), ∅) = (𝑥 ∈ (0..^(𝑋𝑋)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 𝑋)))
8 zcn 11574 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑋 ∈ ℤ → 𝑋 ∈ ℂ)
98subidd 10572 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋 ∈ ℤ → (𝑋𝑋) = 0)
109oveq2d 6829 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 ∈ ℤ → (0..^(𝑋𝑋)) = (0..^0))
11103ad2ant2 1129 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 ∈ V ∧ 𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → (0..^(𝑋𝑋)) = (0..^0))
12 fzo0 12686 . . . . . . . . . . 11 (0..^0) = ∅
1311, 12syl6eq 2810 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ∈ V ∧ 𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → (0..^(𝑋𝑋)) = ∅)
1413mpteq1d 4890 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∈ V ∧ 𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ (0..^(𝑋𝑋)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 𝑋))) = (𝑥 ∈ ∅ ↦ (𝑆‘(𝑥 + 𝑋))))
15 mpt0 6182 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ∅ ↦ (𝑆‘(𝑥 + 𝑋))) = ∅
1614, 15syl6eq 2810 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ V ∧ 𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ (0..^(𝑋𝑋)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 𝑋))) = ∅)
177, 16syl5eq 2806 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ V ∧ 𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → if((𝑋..^𝑋) ⊆ dom 𝑆, (𝑥 ∈ (0..^(𝑋𝑋)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 𝑋))), ∅) = ∅)
183, 17eqtrd 2794 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ V ∧ 𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → (𝑆 substr ⟨𝑋, 𝑋⟩) = ∅)
19183expb 1114 . . . . 5 ((𝑆 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ)) → (𝑆 substr ⟨𝑋, 𝑋⟩) = ∅)
202, 19sylan2b 493 . . . 4 ((𝑆 ∈ V ∧ ⟨𝑋, 𝑋⟩ ∈ (ℤ × ℤ)) → (𝑆 substr ⟨𝑋, 𝑋⟩) = ∅)
211, 20sylbi 207 . . 3 (⟨𝑆, ⟨𝑋, 𝑋⟩⟩ ∈ (V × (ℤ × ℤ)) → (𝑆 substr ⟨𝑋, 𝑋⟩) = ∅)
22 df-substr 13489 . . . 4 substr = (𝑠 ∈ V, 𝑏 ∈ (ℤ × ℤ) ↦ if(((1st𝑏)..^(2nd𝑏)) ⊆ dom 𝑠, (𝑥 ∈ (0..^((2nd𝑏) − (1st𝑏))) ↦ (𝑠‘(𝑥 + (1st𝑏)))), ∅))
23 ovex 6841 . . . . . 6 (0..^((2nd𝑏) − (1st𝑏))) ∈ V
2423mptex 6650 . . . . 5 (𝑥 ∈ (0..^((2nd𝑏) − (1st𝑏))) ↦ (𝑠‘(𝑥 + (1st𝑏)))) ∈ V
25 0ex 4942 . . . . 5 ∅ ∈ V
2624, 25ifex 4300 . . . 4 if(((1st𝑏)..^(2nd𝑏)) ⊆ dom 𝑠, (𝑥 ∈ (0..^((2nd𝑏) − (1st𝑏))) ↦ (𝑠‘(𝑥 + (1st𝑏)))), ∅) ∈ V
2722, 26dmmpt2 7408 . . 3 dom substr = (V × (ℤ × ℤ))
2821, 27eleq2s 2857 . 2 (⟨𝑆, ⟨𝑋, 𝑋⟩⟩ ∈ dom substr → (𝑆 substr ⟨𝑋, 𝑋⟩) = ∅)
29 df-ov 6816 . . 3 (𝑆 substr ⟨𝑋, 𝑋⟩) = ( substr ‘⟨𝑆, ⟨𝑋, 𝑋⟩⟩)
30 ndmfv 6379 . . 3 (¬ ⟨𝑆, ⟨𝑋, 𝑋⟩⟩ ∈ dom substr → ( substr ‘⟨𝑆, ⟨𝑋, 𝑋⟩⟩) = ∅)
3129, 30syl5eq 2806 . 2 (¬ ⟨𝑆, ⟨𝑋, 𝑋⟩⟩ ∈ dom substr → (𝑆 substr ⟨𝑋, 𝑋⟩) = ∅)
3228, 31pm2.61i 176 1 (𝑆 substr ⟨𝑋, 𝑋⟩) = ∅
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 383   ∧ w3a 1072   = wceq 1632   ∈ wcel 2139  Vcvv 3340   ⊆ wss 3715  ∅c0 4058  ifcif 4230  ⟨cop 4327   ↦ cmpt 4881   × cxp 5264  dom cdm 5266  ‘cfv 6049  (class class class)co 6813  1st c1st 7331  2nd c2nd 7332  0cc0 10128   + caddc 10131   − cmin 10458  ℤcz 11569  ..^cfzo 12659   substr csubstr 13481 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-nn 11213  df-n0 11485  df-z 11570  df-uz 11880  df-fz 12520  df-fzo 12660  df-substr 13489 This theorem is referenced by:  swrdccatin1  13683  swrdccat3blem  13695  cshw0  13740  pfx00  41894
 Copyright terms: Public domain W3C validator