Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  swrd0fvlsw Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem swrd0fvlsw 13381
 Description: The last symbol in a left-anchored subword. (Contributed by Alexander van der Vekens, 24-Jun-2018.)
Assertion
Ref Expression
swrd0fvlsw ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (1...(#‘𝑊))) → ( lastS ‘(𝑊 substr ⟨0, 𝐿⟩)) = (𝑊‘(𝐿 − 1)))

Proof of Theorem swrd0fvlsw
StepHypRef Expression
1 swrdcl 13357 . . . 4 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 substr ⟨0, 𝐿⟩) ∈ Word 𝑉)
21adantr 481 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (1...(#‘𝑊))) → (𝑊 substr ⟨0, 𝐿⟩) ∈ Word 𝑉)
3 lsw 13290 . . 3 ((𝑊 substr ⟨0, 𝐿⟩) ∈ Word 𝑉 → ( lastS ‘(𝑊 substr ⟨0, 𝐿⟩)) = ((𝑊 substr ⟨0, 𝐿⟩)‘((#‘(𝑊 substr ⟨0, 𝐿⟩)) − 1)))
42, 3syl 17 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (1...(#‘𝑊))) → ( lastS ‘(𝑊 substr ⟨0, 𝐿⟩)) = ((𝑊 substr ⟨0, 𝐿⟩)‘((#‘(𝑊 substr ⟨0, 𝐿⟩)) − 1)))
5 1eluzge0 11676 . . . . . . 7 1 ∈ (ℤ‘0)
6 fzss1 12322 . . . . . . 7 (1 ∈ (ℤ‘0) → (1...(#‘𝑊)) ⊆ (0...(#‘𝑊)))
75, 6ax-mp 5 . . . . . 6 (1...(#‘𝑊)) ⊆ (0...(#‘𝑊))
87sseli 3579 . . . . 5 (𝐿 ∈ (1...(#‘𝑊)) → 𝐿 ∈ (0...(#‘𝑊)))
9 swrd0len 13360 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (0...(#‘𝑊))) → (#‘(𝑊 substr ⟨0, 𝐿⟩)) = 𝐿)
108, 9sylan2 491 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (1...(#‘𝑊))) → (#‘(𝑊 substr ⟨0, 𝐿⟩)) = 𝐿)
1110oveq1d 6619 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (1...(#‘𝑊))) → ((#‘(𝑊 substr ⟨0, 𝐿⟩)) − 1) = (𝐿 − 1))
1211fveq2d 6152 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (1...(#‘𝑊))) → ((𝑊 substr ⟨0, 𝐿⟩)‘((#‘(𝑊 substr ⟨0, 𝐿⟩)) − 1)) = ((𝑊 substr ⟨0, 𝐿⟩)‘(𝐿 − 1)))
13 simpl 473 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (1...(#‘𝑊))) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
148adantl 482 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (1...(#‘𝑊))) → 𝐿 ∈ (0...(#‘𝑊)))
15 elfznn 12312 . . . . 5 (𝐿 ∈ (1...(#‘𝑊)) → 𝐿 ∈ ℕ)
16 fzo0end 12501 . . . . 5 (𝐿 ∈ ℕ → (𝐿 − 1) ∈ (0..^𝐿))
1715, 16syl 17 . . . 4 (𝐿 ∈ (1...(#‘𝑊)) → (𝐿 − 1) ∈ (0..^𝐿))
1817adantl 482 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (1...(#‘𝑊))) → (𝐿 − 1) ∈ (0..^𝐿))
19 swrd0fv 13377 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ (𝐿 − 1) ∈ (0..^𝐿)) → ((𝑊 substr ⟨0, 𝐿⟩)‘(𝐿 − 1)) = (𝑊‘(𝐿 − 1)))
2013, 14, 18, 19syl3anc 1323 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (1...(#‘𝑊))) → ((𝑊 substr ⟨0, 𝐿⟩)‘(𝐿 − 1)) = (𝑊‘(𝐿 − 1)))
214, 12, 203eqtrd 2659 1 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (1...(#‘𝑊))) → ( lastS ‘(𝑊 substr ⟨0, 𝐿⟩)) = (𝑊‘(𝐿 − 1)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1987   ⊆ wss 3555  ⟨cop 4154  ‘cfv 5847  (class class class)co 6604  0cc0 9880  1c1 9881   − cmin 10210  ℕcn 10964  ℤ≥cuz 11631  ...cfz 12268  ..^cfzo 12406  #chash 13057  Word cword 13230   lastS clsw 13231   substr csubstr 13234 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-card 8709  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-hash 13058  df-word 13238  df-lsw 13239  df-substr 13242 This theorem is referenced by:  swrdtrcfvl  13388  wwlksnredwwlkn  26659  wwlksnextproplem2  26674  clwwlksf  26781  clwlksfclwwlk  26828  extwwlkfablem2  27068  numclwlk2lem2f  27091
 Copyright terms: Public domain W3C validator