Theorem swrd0val 13359

Description: Value of the subword extractor for left-anchored subwords. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
swrd0val	⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ (0...(#‘𝑆))) → (𝑆 substr ⟨0, 𝐿⟩) = (𝑆 ↾ (0..^𝐿)))

Proof of Theorem swrd0val

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzelz 12284	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐿 ∈ (0...(#‘𝑆)) → 𝐿 ∈ ℤ)
2	1	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ (0...(#‘𝑆))) → 𝐿 ∈ ℤ)
3	2	zcnd 11427	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ (0...(#‘𝑆))) → 𝐿 ∈ ℂ)
4	3	subid1d 10325	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ (0...(#‘𝑆))) → (𝐿 − 0) = 𝐿)
5	4	oveq2d 6620	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ (0...(#‘𝑆))) → (0..^(𝐿 − 0)) = (0..^𝐿))
6	5	mpteq1d 4698	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ (0...(#‘𝑆))) → (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 0)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 0))) = (𝑥 ∈ (0..^𝐿) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 0))))
7		elfzoelz 12411	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (0..^𝐿) → 𝑥 ∈ ℤ)
8	7	zcnd 11427	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (0..^𝐿) → 𝑥 ∈ ℂ)
9	8	addid1d 10180	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (0..^𝐿) → (𝑥 + 0) = 𝑥)
10	9	fveq2d 6152	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (0..^𝐿) → (𝑆‘(𝑥 + 0)) = (𝑆‘𝑥))
11	10	adantl 482	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ (0...(#‘𝑆))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → (𝑆‘(𝑥 + 0)) = (𝑆‘𝑥))
12	11	mpteq2dva 4704	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ (0...(#‘𝑆))) → (𝑥 ∈ (0..^𝐿) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 0))) = (𝑥 ∈ (0..^𝐿) ↦ (𝑆‘𝑥)))
13	6, 12	eqtrd 2655	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ (0...(#‘𝑆))) → (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 0)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 0))) = (𝑥 ∈ (0..^𝐿) ↦ (𝑆‘𝑥)))
14		simpl 473	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ (0...(#‘𝑆))) → 𝑆 ∈ Word 𝐴)
15		elfzuz 12280	. . . . 5 ⊢ (𝐿 ∈ (0...(#‘𝑆)) → 𝐿 ∈ (ℤ≥‘0))
16	15	adantl 482	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ (0...(#‘𝑆))) → 𝐿 ∈ (ℤ≥‘0))
17		eluzfz1 12290	. . . 4 ⊢ (𝐿 ∈ (ℤ≥‘0) → 0 ∈ (0...𝐿))
18	16, 17	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ (0...(#‘𝑆))) → 0 ∈ (0...𝐿))
19		simpr 477	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ (0...(#‘𝑆))) → 𝐿 ∈ (0...(#‘𝑆)))
20		swrdval2 13358	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 0 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(#‘𝑆))) → (𝑆 substr ⟨0, 𝐿⟩) = (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 0)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 0))))
21	14, 18, 19, 20	syl3anc 1323	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ (0...(#‘𝑆))) → (𝑆 substr ⟨0, 𝐿⟩) = (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 0)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 0))))
22		wrdf 13249	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐴 → 𝑆:(0..^(#‘𝑆))⟶𝐴)
23	22	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ (0...(#‘𝑆))) → 𝑆:(0..^(#‘𝑆))⟶𝐴)
24		elfzuz3 12281	. . . . 5 ⊢ (𝐿 ∈ (0...(#‘𝑆)) → (#‘𝑆) ∈ (ℤ≥‘𝐿))
25	24	adantl 482	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ (0...(#‘𝑆))) → (#‘𝑆) ∈ (ℤ≥‘𝐿))
26		fzoss2 12437	. . . 4 ⊢ ((#‘𝑆) ∈ (ℤ≥‘𝐿) → (0..^𝐿) ⊆ (0..^(#‘𝑆)))
27	25, 26	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ (0...(#‘𝑆))) → (0..^𝐿) ⊆ (0..^(#‘𝑆)))
28	23, 27	feqresmpt 6207	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ (0...(#‘𝑆))) → (𝑆 ↾ (0..^𝐿)) = (𝑥 ∈ (0..^𝐿) ↦ (𝑆‘𝑥)))
29	13, 21, 28	3eqtr4d 2665	1 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ (0...(#‘𝑆))) → (𝑆 substr ⟨0, 𝐿⟩) = (𝑆 ↾ (0..^𝐿)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1987   ⊆ wss 3555  ⟨cop 4154   ↦ cmpt 4673   ↾ cres 5076  ⟶wf 5843  ‘cfv 5847  (class class class)co 6604  0cc0 9880   + caddc 9883   − cmin 10210  ℤcz 11321  ℤ_≥cuz 11631  ...cfz 12268  ..^cfzo 12406  #chash 13057  Word cword 13230   substr csubstr 13234

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-card 8709  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-hash 13058  df-word 13238  df-substr 13242

This theorem is referenced by:  swrd0len  13360  swrdccat1  13395  psgnunilem5  17835  efgsres  18072  efgredlemd  18078  efgredlem  18081  wlkreslem0  26434  wwlksm1edg  26636  iwrdsplit  30227  wrdsplex  30395  signsvtn0  30424