MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  swrd0val Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem swrd0val 13612
Description: Value of the subword extractor for left-anchored subwords. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
swrd0val ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → (𝑆 substr ⟨0, 𝐿⟩) = (𝑆 ↾ (0..^𝐿)))

Proof of Theorem swrd0val
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfzelz 12527 . . . . . . . 8 (𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆)) → 𝐿 ∈ ℤ)
21adantl 473 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → 𝐿 ∈ ℤ)
32zcnd 11667 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → 𝐿 ∈ ℂ)
43subid1d 10565 . . . . 5 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → (𝐿 − 0) = 𝐿)
54oveq2d 6821 . . . 4 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → (0..^(𝐿 − 0)) = (0..^𝐿))
65mpteq1d 4882 . . 3 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 0)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 0))) = (𝑥 ∈ (0..^𝐿) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 0))))
7 elfzoelz 12656 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (0..^𝐿) → 𝑥 ∈ ℤ)
87zcnd 11667 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (0..^𝐿) → 𝑥 ∈ ℂ)
98addid1d 10420 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (0..^𝐿) → (𝑥 + 0) = 𝑥)
109fveq2d 6348 . . . . 5 (𝑥 ∈ (0..^𝐿) → (𝑆‘(𝑥 + 0)) = (𝑆𝑥))
1110adantl 473 . . . 4 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → (𝑆‘(𝑥 + 0)) = (𝑆𝑥))
1211mpteq2dva 4888 . . 3 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → (𝑥 ∈ (0..^𝐿) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 0))) = (𝑥 ∈ (0..^𝐿) ↦ (𝑆𝑥)))
136, 12eqtrd 2786 . 2 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 0)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 0))) = (𝑥 ∈ (0..^𝐿) ↦ (𝑆𝑥)))
14 simpl 474 . . 3 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → 𝑆 ∈ Word 𝐴)
15 elfzuz 12523 . . . . 5 (𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆)) → 𝐿 ∈ (ℤ‘0))
1615adantl 473 . . . 4 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → 𝐿 ∈ (ℤ‘0))
17 eluzfz1 12533 . . . 4 (𝐿 ∈ (ℤ‘0) → 0 ∈ (0...𝐿))
1816, 17syl 17 . . 3 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → 0 ∈ (0...𝐿))
19 simpr 479 . . 3 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆)))
20 swrdval2 13611 . . 3 ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 0 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → (𝑆 substr ⟨0, 𝐿⟩) = (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 0)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 0))))
2114, 18, 19, 20syl3anc 1473 . 2 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → (𝑆 substr ⟨0, 𝐿⟩) = (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 0)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 0))))
22 wrdf 13488 . . . 4 (𝑆 ∈ Word 𝐴𝑆:(0..^(♯‘𝑆))⟶𝐴)
2322adantr 472 . . 3 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → 𝑆:(0..^(♯‘𝑆))⟶𝐴)
24 elfzuz3 12524 . . . . 5 (𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆)) → (♯‘𝑆) ∈ (ℤ𝐿))
2524adantl 473 . . . 4 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → (♯‘𝑆) ∈ (ℤ𝐿))
26 fzoss2 12682 . . . 4 ((♯‘𝑆) ∈ (ℤ𝐿) → (0..^𝐿) ⊆ (0..^(♯‘𝑆)))
2725, 26syl 17 . . 3 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → (0..^𝐿) ⊆ (0..^(♯‘𝑆)))
2823, 27feqresmpt 6404 . 2 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → (𝑆 ↾ (0..^𝐿)) = (𝑥 ∈ (0..^𝐿) ↦ (𝑆𝑥)))
2913, 21, 283eqtr4d 2796 1 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → (𝑆 substr ⟨0, 𝐿⟩) = (𝑆 ↾ (0..^𝐿)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1624  wcel 2131  wss 3707  cop 4319  cmpt 4873  cres 5260  wf 6037  cfv 6041  (class class class)co 6805  0cc0 10120   + caddc 10123  cmin 10450  cz 11561  cuz 11871  ...cfz 12511  ..^cfzo 12651  chash 13303  Word cword 13469   substr csubstr 13473
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-rep 4915  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047  ax-un 7106  ax-cnex 10176  ax-resscn 10177  ax-1cn 10178  ax-icn 10179  ax-addcl 10180  ax-addrcl 10181  ax-mulcl 10182  ax-mulrcl 10183  ax-mulcom 10184  ax-addass 10185  ax-mulass 10186  ax-distr 10187  ax-i2m1 10188  ax-1ne0 10189  ax-1rid 10190  ax-rnegex 10191  ax-rrecex 10192  ax-cnre 10193  ax-pre-lttri 10194  ax-pre-lttrn 10195  ax-pre-ltadd 10196  ax-pre-mulgt0 10197
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1627  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-nel 3028  df-ral 3047  df-rex 3048  df-reu 3049  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-csb 3667  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-pss 3723  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-tp 4318  df-op 4320  df-uni 4581  df-int 4620  df-iun 4666  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-tr 4897  df-id 5166  df-eprel 5171  df-po 5179  df-so 5180  df-fr 5217  df-we 5219  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-rn 5269  df-res 5270  df-ima 5271  df-pred 5833  df-ord 5879  df-on 5880  df-lim 5881  df-suc 5882  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fn 6044  df-f 6045  df-f1 6046  df-fo 6047  df-f1o 6048  df-fv 6049  df-riota 6766  df-ov 6808  df-oprab 6809  df-mpt2 6810  df-om 7223  df-1st 7325  df-2nd 7326  df-wrecs 7568  df-recs 7629  df-rdg 7667  df-1o 7721  df-er 7903  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-card 8947  df-pnf 10260  df-mnf 10261  df-xr 10262  df-ltxr 10263  df-le 10264  df-sub 10452  df-neg 10453  df-nn 11205  df-n0 11477  df-z 11562  df-uz 11872  df-fz 12512  df-fzo 12652  df-hash 13304  df-word 13477  df-substr 13481
This theorem is referenced by:  swrd0len  13613  swrdccat1  13649  psgnunilem5  18106  efgsres  18343  efgredlemd  18349  efgredlem  18352  wlkreslem0  26767  wwlksm1edg  26982  iwrdsplit  30750  wrdsplex  30919  signsvtn0  30948
  Copyright terms: Public domain W3C validator