MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  swrd2lsw Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem swrd2lsw 13486
Description: Extract the last two symbols from a word. (Contributed by Alexander van der Vekens, 23-Sep-2018.)
Assertion
Ref Expression
swrd2lsw ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (#‘𝑊)) → (𝑊 substr ⟨((#‘𝑊) − 2), (#‘𝑊)⟩) = ⟨“(𝑊‘((#‘𝑊) − 2))( lastS ‘𝑊)”⟩)

Proof of Theorem swrd2lsw
StepHypRef Expression
1 simpl 471 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (#‘𝑊)) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
2 lencl 13122 . . . . 5 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (#‘𝑊) ∈ ℕ0)
3 1z 11237 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℤ
4 nn0z 11230 . . . . . . . . 9 ((#‘𝑊) ∈ ℕ0 → (#‘𝑊) ∈ ℤ)
5 zltp1le 11257 . . . . . . . . 9 ((1 ∈ ℤ ∧ (#‘𝑊) ∈ ℤ) → (1 < (#‘𝑊) ↔ (1 + 1) ≤ (#‘𝑊)))
63, 4, 5sylancr 693 . . . . . . . 8 ((#‘𝑊) ∈ ℕ0 → (1 < (#‘𝑊) ↔ (1 + 1) ≤ (#‘𝑊)))
7 1p1e2 10978 . . . . . . . . . . 11 (1 + 1) = 2
87a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((#‘𝑊) ∈ ℕ0 → (1 + 1) = 2)
98breq1d 4584 . . . . . . . . 9 ((#‘𝑊) ∈ ℕ0 → ((1 + 1) ≤ (#‘𝑊) ↔ 2 ≤ (#‘𝑊)))
109biimpd 217 . . . . . . . 8 ((#‘𝑊) ∈ ℕ0 → ((1 + 1) ≤ (#‘𝑊) → 2 ≤ (#‘𝑊)))
116, 10sylbid 228 . . . . . . 7 ((#‘𝑊) ∈ ℕ0 → (1 < (#‘𝑊) → 2 ≤ (#‘𝑊)))
1211imp 443 . . . . . 6 (((#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 1 < (#‘𝑊)) → 2 ≤ (#‘𝑊))
13 2nn0 11153 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℕ0
1413jctl 561 . . . . . . . 8 ((#‘𝑊) ∈ ℕ0 → (2 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ0))
1514adantr 479 . . . . . . 7 (((#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 1 < (#‘𝑊)) → (2 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ0))
16 nn0sub 11187 . . . . . . 7 ((2 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ0) → (2 ≤ (#‘𝑊) ↔ ((#‘𝑊) − 2) ∈ ℕ0))
1715, 16syl 17 . . . . . 6 (((#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 1 < (#‘𝑊)) → (2 ≤ (#‘𝑊) ↔ ((#‘𝑊) − 2) ∈ ℕ0))
1812, 17mpbid 220 . . . . 5 (((#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 1 < (#‘𝑊)) → ((#‘𝑊) − 2) ∈ ℕ0)
192, 18sylan 486 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (#‘𝑊)) → ((#‘𝑊) − 2) ∈ ℕ0)
20 0red 9894 . . . . . . . . . . . 12 ((#‘𝑊) ∈ ℤ → 0 ∈ ℝ)
21 1red 9908 . . . . . . . . . . . 12 ((#‘𝑊) ∈ ℤ → 1 ∈ ℝ)
22 zre 11211 . . . . . . . . . . . 12 ((#‘𝑊) ∈ ℤ → (#‘𝑊) ∈ ℝ)
2320, 21, 223jca 1234 . . . . . . . . . . 11 ((#‘𝑊) ∈ ℤ → (0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (#‘𝑊) ∈ ℝ))
24 0lt1 10396 . . . . . . . . . . 11 0 < 1
25 lttr 9962 . . . . . . . . . . . 12 ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (#‘𝑊) ∈ ℝ) → ((0 < 1 ∧ 1 < (#‘𝑊)) → 0 < (#‘𝑊)))
2625expd 450 . . . . . . . . . . 11 ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (#‘𝑊) ∈ ℝ) → (0 < 1 → (1 < (#‘𝑊) → 0 < (#‘𝑊))))
2723, 24, 26mpisyl 21 . . . . . . . . . 10 ((#‘𝑊) ∈ ℤ → (1 < (#‘𝑊) → 0 < (#‘𝑊)))
28 elnnz 11217 . . . . . . . . . . 11 ((#‘𝑊) ∈ ℕ ↔ ((#‘𝑊) ∈ ℤ ∧ 0 < (#‘𝑊)))
2928simplbi2 652 . . . . . . . . . 10 ((#‘𝑊) ∈ ℤ → (0 < (#‘𝑊) → (#‘𝑊) ∈ ℕ))
3027, 29syld 45 . . . . . . . . 9 ((#‘𝑊) ∈ ℤ → (1 < (#‘𝑊) → (#‘𝑊) ∈ ℕ))
314, 30syl 17 . . . . . . . 8 ((#‘𝑊) ∈ ℕ0 → (1 < (#‘𝑊) → (#‘𝑊) ∈ ℕ))
3231imp 443 . . . . . . 7 (((#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 1 < (#‘𝑊)) → (#‘𝑊) ∈ ℕ)
33 fzo0end 12378 . . . . . . 7 ((#‘𝑊) ∈ ℕ → ((#‘𝑊) − 1) ∈ (0..^(#‘𝑊)))
3432, 33syl 17 . . . . . 6 (((#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 1 < (#‘𝑊)) → ((#‘𝑊) − 1) ∈ (0..^(#‘𝑊)))
35 nn0cn 11146 . . . . . . . . . . 11 ((#‘𝑊) ∈ ℕ0 → (#‘𝑊) ∈ ℂ)
36 2cn 10935 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℂ
3736a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((#‘𝑊) ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℂ)
38 1cnd 9909 . . . . . . . . . . 11 ((#‘𝑊) ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℂ)
3935, 37, 383jca 1234 . . . . . . . . . 10 ((#‘𝑊) ∈ ℕ0 → ((#‘𝑊) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ))
40 1e2m1 10980 . . . . . . . . . . . . 13 1 = (2 − 1)
4140a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((#‘𝑊) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → 1 = (2 − 1))
4241oveq2d 6540 . . . . . . . . . . 11 (((#‘𝑊) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((#‘𝑊) − 1) = ((#‘𝑊) − (2 − 1)))
43 subsub 10159 . . . . . . . . . . 11 (((#‘𝑊) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((#‘𝑊) − (2 − 1)) = (((#‘𝑊) − 2) + 1))
4442, 43eqtrd 2640 . . . . . . . . . 10 (((#‘𝑊) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((#‘𝑊) − 1) = (((#‘𝑊) − 2) + 1))
4539, 44syl 17 . . . . . . . . 9 ((#‘𝑊) ∈ ℕ0 → ((#‘𝑊) − 1) = (((#‘𝑊) − 2) + 1))
4645eqcomd 2612 . . . . . . . 8 ((#‘𝑊) ∈ ℕ0 → (((#‘𝑊) − 2) + 1) = ((#‘𝑊) − 1))
4746eleq1d 2668 . . . . . . 7 ((#‘𝑊) ∈ ℕ0 → ((((#‘𝑊) − 2) + 1) ∈ (0..^(#‘𝑊)) ↔ ((#‘𝑊) − 1) ∈ (0..^(#‘𝑊))))
4847adantr 479 . . . . . 6 (((#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 1 < (#‘𝑊)) → ((((#‘𝑊) − 2) + 1) ∈ (0..^(#‘𝑊)) ↔ ((#‘𝑊) − 1) ∈ (0..^(#‘𝑊))))
4934, 48mpbird 245 . . . . 5 (((#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 1 < (#‘𝑊)) → (((#‘𝑊) − 2) + 1) ∈ (0..^(#‘𝑊)))
502, 49sylan 486 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (#‘𝑊)) → (((#‘𝑊) − 2) + 1) ∈ (0..^(#‘𝑊)))
511, 19, 503jca 1234 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (#‘𝑊)) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((#‘𝑊) − 2) ∈ ℕ0 ∧ (((#‘𝑊) − 2) + 1) ∈ (0..^(#‘𝑊))))
52 swrds2 13476 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((#‘𝑊) − 2) ∈ ℕ0 ∧ (((#‘𝑊) − 2) + 1) ∈ (0..^(#‘𝑊))) → (𝑊 substr ⟨((#‘𝑊) − 2), (((#‘𝑊) − 2) + 2)⟩) = ⟨“(𝑊‘((#‘𝑊) − 2))(𝑊‘(((#‘𝑊) − 2) + 1))”⟩)
5351, 52syl 17 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (#‘𝑊)) → (𝑊 substr ⟨((#‘𝑊) − 2), (((#‘𝑊) − 2) + 2)⟩) = ⟨“(𝑊‘((#‘𝑊) − 2))(𝑊‘(((#‘𝑊) − 2) + 1))”⟩)
5435, 36jctir 558 . . . . . 6 ((#‘𝑊) ∈ ℕ0 → ((#‘𝑊) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ))
55 npcan 10138 . . . . . . 7 (((#‘𝑊) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → (((#‘𝑊) − 2) + 2) = (#‘𝑊))
5655eqcomd 2612 . . . . . 6 (((#‘𝑊) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → (#‘𝑊) = (((#‘𝑊) − 2) + 2))
572, 54, 563syl 18 . . . . 5 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (#‘𝑊) = (((#‘𝑊) − 2) + 2))
5857adantr 479 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (#‘𝑊)) → (#‘𝑊) = (((#‘𝑊) − 2) + 2))
5958opeq2d 4338 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (#‘𝑊)) → ⟨((#‘𝑊) − 2), (#‘𝑊)⟩ = ⟨((#‘𝑊) − 2), (((#‘𝑊) − 2) + 2)⟩)
6059oveq2d 6540 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (#‘𝑊)) → (𝑊 substr ⟨((#‘𝑊) − 2), (#‘𝑊)⟩) = (𝑊 substr ⟨((#‘𝑊) − 2), (((#‘𝑊) − 2) + 2)⟩))
61 eqidd 2607 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (#‘𝑊)) → (𝑊‘((#‘𝑊) − 2)) = (𝑊‘((#‘𝑊) − 2)))
62 lsw 13147 . . . . 5 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ( lastS ‘𝑊) = (𝑊‘((#‘𝑊) − 1)))
6339, 43syl 17 . . . . . . . . . 10 ((#‘𝑊) ∈ ℕ0 → ((#‘𝑊) − (2 − 1)) = (((#‘𝑊) − 2) + 1))
6463eqcomd 2612 . . . . . . . . 9 ((#‘𝑊) ∈ ℕ0 → (((#‘𝑊) − 2) + 1) = ((#‘𝑊) − (2 − 1)))
65 2m1e1 10979 . . . . . . . . . . 11 (2 − 1) = 1
6665a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((#‘𝑊) ∈ ℕ0 → (2 − 1) = 1)
6766oveq2d 6540 . . . . . . . . 9 ((#‘𝑊) ∈ ℕ0 → ((#‘𝑊) − (2 − 1)) = ((#‘𝑊) − 1))
6864, 67eqtrd 2640 . . . . . . . 8 ((#‘𝑊) ∈ ℕ0 → (((#‘𝑊) − 2) + 1) = ((#‘𝑊) − 1))
692, 68syl 17 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (((#‘𝑊) − 2) + 1) = ((#‘𝑊) − 1))
7069eqcomd 2612 . . . . . 6 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ((#‘𝑊) − 1) = (((#‘𝑊) − 2) + 1))
7170fveq2d 6089 . . . . 5 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊‘((#‘𝑊) − 1)) = (𝑊‘(((#‘𝑊) − 2) + 1)))
7262, 71eqtrd 2640 . . . 4 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ( lastS ‘𝑊) = (𝑊‘(((#‘𝑊) − 2) + 1)))
7372adantr 479 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (#‘𝑊)) → ( lastS ‘𝑊) = (𝑊‘(((#‘𝑊) − 2) + 1)))
7461, 73s2eqd 13402 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (#‘𝑊)) → ⟨“(𝑊‘((#‘𝑊) − 2))( lastS ‘𝑊)”⟩ = ⟨“(𝑊‘((#‘𝑊) − 2))(𝑊‘(((#‘𝑊) − 2) + 1))”⟩)
7553, 60, 743eqtr4d 2650 1 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (#‘𝑊)) → (𝑊 substr ⟨((#‘𝑊) − 2), (#‘𝑊)⟩) = ⟨“(𝑊‘((#‘𝑊) − 2))( lastS ‘𝑊)”⟩)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1976  cop 4127   class class class wbr 4574  cfv 5787  (class class class)co 6524  cc 9787  cr 9788  0cc0 9789  1c1 9790   + caddc 9792   < clt 9927  cle 9928  cmin 10114  cn 10864  2c2 10914  0cn0 11136  cz 11207  ..^cfzo 12286  #chash 12931  Word cword 13089   lastS clsw 13090   substr csubstr 13093  ⟨“cs2 13380
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2229  ax-ext 2586  ax-rep 4690  ax-sep 4700  ax-nul 4709  ax-pow 4761  ax-pr 4825  ax-un 6821  ax-cnex 9845  ax-resscn 9846  ax-1cn 9847  ax-icn 9848  ax-addcl 9849  ax-addrcl 9850  ax-mulcl 9851  ax-mulrcl 9852  ax-mulcom 9853  ax-addass 9854  ax-mulass 9855  ax-distr 9856  ax-i2m1 9857  ax-1ne0 9858  ax-1rid 9859  ax-rnegex 9860  ax-rrecex 9861  ax-cnre 9862  ax-pre-lttri 9863  ax-pre-lttrn 9864  ax-pre-ltadd 9865  ax-pre-mulgt0 9866
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2458  df-mo 2459  df-clab 2593  df-cleq 2599  df-clel 2602  df-nfc 2736  df-ne 2778  df-nel 2779  df-ral 2897  df-rex 2898  df-reu 2899  df-rab 2901  df-v 3171  df-sbc 3399  df-csb 3496  df-dif 3539  df-un 3541  df-in 3543  df-ss 3550  df-pss 3552  df-nul 3871  df-if 4033  df-pw 4106  df-sn 4122  df-pr 4124  df-tp 4126  df-op 4128  df-uni 4364  df-int 4402  df-iun 4448  df-br 4575  df-opab 4635  df-mpt 4636  df-tr 4672  df-eprel 4936  df-id 4940  df-po 4946  df-so 4947  df-fr 4984  df-we 4986  df-xp 5031  df-rel 5032  df-cnv 5033  df-co 5034  df-dm 5035  df-rn 5036  df-res 5037  df-ima 5038  df-pred 5580  df-ord 5626  df-on 5627  df-lim 5628  df-suc 5629  df-iota 5751  df-fun 5789  df-fn 5790  df-f 5791  df-f1 5792  df-fo 5793  df-f1o 5794  df-fv 5795  df-riota 6486  df-ov 6527  df-oprab 6528  df-mpt2 6529  df-om 6932  df-1st 7033  df-2nd 7034  df-wrecs 7268  df-recs 7329  df-rdg 7367  df-1o 7421  df-oadd 7425  df-er 7603  df-en 7816  df-dom 7817  df-sdom 7818  df-fin 7819  df-card 8622  df-pnf 9929  df-mnf 9930  df-xr 9931  df-ltxr 9932  df-le 9933  df-sub 10116  df-neg 10117  df-nn 10865  df-2 10923  df-n0 11137  df-z 11208  df-uz 11517  df-fz 12150  df-fzo 12287  df-hash 12932  df-word 13097  df-lsw 13098  df-concat 13099  df-s1 13100  df-substr 13101  df-s2 13387
This theorem is referenced by:  2swrd2eqwrdeq  13487
  Copyright terms: Public domain W3C validator