Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  swrd2lsw Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem swrd2lsw 13645
 Description: Extract the last two symbols from a word. (Contributed by Alexander van der Vekens, 23-Sep-2018.)
Assertion
Ref Expression
swrd2lsw ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (#‘𝑊)) → (𝑊 substr ⟨((#‘𝑊) − 2), (#‘𝑊)⟩) = ⟨“(𝑊‘((#‘𝑊) − 2))( lastS ‘𝑊)”⟩)

Proof of Theorem swrd2lsw
StepHypRef Expression
1 simpl 473 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (#‘𝑊)) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
2 lencl 13279 . . . . 5 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (#‘𝑊) ∈ ℕ0)
3 1z 11367 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℤ
4 nn0z 11360 . . . . . . . . 9 ((#‘𝑊) ∈ ℕ0 → (#‘𝑊) ∈ ℤ)
5 zltp1le 11387 . . . . . . . . 9 ((1 ∈ ℤ ∧ (#‘𝑊) ∈ ℤ) → (1 < (#‘𝑊) ↔ (1 + 1) ≤ (#‘𝑊)))
63, 4, 5sylancr 694 . . . . . . . 8 ((#‘𝑊) ∈ ℕ0 → (1 < (#‘𝑊) ↔ (1 + 1) ≤ (#‘𝑊)))
7 1p1e2 11094 . . . . . . . . . . 11 (1 + 1) = 2
87a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((#‘𝑊) ∈ ℕ0 → (1 + 1) = 2)
98breq1d 4633 . . . . . . . . 9 ((#‘𝑊) ∈ ℕ0 → ((1 + 1) ≤ (#‘𝑊) ↔ 2 ≤ (#‘𝑊)))
109biimpd 219 . . . . . . . 8 ((#‘𝑊) ∈ ℕ0 → ((1 + 1) ≤ (#‘𝑊) → 2 ≤ (#‘𝑊)))
116, 10sylbid 230 . . . . . . 7 ((#‘𝑊) ∈ ℕ0 → (1 < (#‘𝑊) → 2 ≤ (#‘𝑊)))
1211imp 445 . . . . . 6 (((#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 1 < (#‘𝑊)) → 2 ≤ (#‘𝑊))
13 2nn0 11269 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℕ0
1413jctl 563 . . . . . . . 8 ((#‘𝑊) ∈ ℕ0 → (2 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ0))
1514adantr 481 . . . . . . 7 (((#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 1 < (#‘𝑊)) → (2 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ0))
16 nn0sub 11303 . . . . . . 7 ((2 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ0) → (2 ≤ (#‘𝑊) ↔ ((#‘𝑊) − 2) ∈ ℕ0))
1715, 16syl 17 . . . . . 6 (((#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 1 < (#‘𝑊)) → (2 ≤ (#‘𝑊) ↔ ((#‘𝑊) − 2) ∈ ℕ0))
1812, 17mpbid 222 . . . . 5 (((#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 1 < (#‘𝑊)) → ((#‘𝑊) − 2) ∈ ℕ0)
192, 18sylan 488 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (#‘𝑊)) → ((#‘𝑊) − 2) ∈ ℕ0)
20 0red 10001 . . . . . . . . . . . 12 ((#‘𝑊) ∈ ℤ → 0 ∈ ℝ)
21 1red 10015 . . . . . . . . . . . 12 ((#‘𝑊) ∈ ℤ → 1 ∈ ℝ)
22 zre 11341 . . . . . . . . . . . 12 ((#‘𝑊) ∈ ℤ → (#‘𝑊) ∈ ℝ)
2320, 21, 223jca 1240 . . . . . . . . . . 11 ((#‘𝑊) ∈ ℤ → (0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (#‘𝑊) ∈ ℝ))
24 0lt1 10510 . . . . . . . . . . 11 0 < 1
25 lttr 10074 . . . . . . . . . . . 12 ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (#‘𝑊) ∈ ℝ) → ((0 < 1 ∧ 1 < (#‘𝑊)) → 0 < (#‘𝑊)))
2625expd 452 . . . . . . . . . . 11 ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (#‘𝑊) ∈ ℝ) → (0 < 1 → (1 < (#‘𝑊) → 0 < (#‘𝑊))))
2723, 24, 26mpisyl 21 . . . . . . . . . 10 ((#‘𝑊) ∈ ℤ → (1 < (#‘𝑊) → 0 < (#‘𝑊)))
28 elnnz 11347 . . . . . . . . . . 11 ((#‘𝑊) ∈ ℕ ↔ ((#‘𝑊) ∈ ℤ ∧ 0 < (#‘𝑊)))
2928simplbi2 654 . . . . . . . . . 10 ((#‘𝑊) ∈ ℤ → (0 < (#‘𝑊) → (#‘𝑊) ∈ ℕ))
3027, 29syld 47 . . . . . . . . 9 ((#‘𝑊) ∈ ℤ → (1 < (#‘𝑊) → (#‘𝑊) ∈ ℕ))
314, 30syl 17 . . . . . . . 8 ((#‘𝑊) ∈ ℕ0 → (1 < (#‘𝑊) → (#‘𝑊) ∈ ℕ))
3231imp 445 . . . . . . 7 (((#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 1 < (#‘𝑊)) → (#‘𝑊) ∈ ℕ)
33 fzo0end 12517 . . . . . . 7 ((#‘𝑊) ∈ ℕ → ((#‘𝑊) − 1) ∈ (0..^(#‘𝑊)))
3432, 33syl 17 . . . . . 6 (((#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 1 < (#‘𝑊)) → ((#‘𝑊) − 1) ∈ (0..^(#‘𝑊)))
35 nn0cn 11262 . . . . . . . . . . 11 ((#‘𝑊) ∈ ℕ0 → (#‘𝑊) ∈ ℂ)
36 2cn 11051 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℂ
3736a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((#‘𝑊) ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℂ)
38 1cnd 10016 . . . . . . . . . . 11 ((#‘𝑊) ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℂ)
3935, 37, 383jca 1240 . . . . . . . . . 10 ((#‘𝑊) ∈ ℕ0 → ((#‘𝑊) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ))
40 1e2m1 11096 . . . . . . . . . . . . 13 1 = (2 − 1)
4140a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((#‘𝑊) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → 1 = (2 − 1))
4241oveq2d 6631 . . . . . . . . . . 11 (((#‘𝑊) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((#‘𝑊) − 1) = ((#‘𝑊) − (2 − 1)))
43 subsub 10271 . . . . . . . . . . 11 (((#‘𝑊) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((#‘𝑊) − (2 − 1)) = (((#‘𝑊) − 2) + 1))
4442, 43eqtrd 2655 . . . . . . . . . 10 (((#‘𝑊) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((#‘𝑊) − 1) = (((#‘𝑊) − 2) + 1))
4539, 44syl 17 . . . . . . . . 9 ((#‘𝑊) ∈ ℕ0 → ((#‘𝑊) − 1) = (((#‘𝑊) − 2) + 1))
4645eqcomd 2627 . . . . . . . 8 ((#‘𝑊) ∈ ℕ0 → (((#‘𝑊) − 2) + 1) = ((#‘𝑊) − 1))
4746eleq1d 2683 . . . . . . 7 ((#‘𝑊) ∈ ℕ0 → ((((#‘𝑊) − 2) + 1) ∈ (0..^(#‘𝑊)) ↔ ((#‘𝑊) − 1) ∈ (0..^(#‘𝑊))))
4847adantr 481 . . . . . 6 (((#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 1 < (#‘𝑊)) → ((((#‘𝑊) − 2) + 1) ∈ (0..^(#‘𝑊)) ↔ ((#‘𝑊) − 1) ∈ (0..^(#‘𝑊))))
4934, 48mpbird 247 . . . . 5 (((#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 1 < (#‘𝑊)) → (((#‘𝑊) − 2) + 1) ∈ (0..^(#‘𝑊)))
502, 49sylan 488 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (#‘𝑊)) → (((#‘𝑊) − 2) + 1) ∈ (0..^(#‘𝑊)))
511, 19, 503jca 1240 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (#‘𝑊)) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((#‘𝑊) − 2) ∈ ℕ0 ∧ (((#‘𝑊) − 2) + 1) ∈ (0..^(#‘𝑊))))
52 swrds2 13635 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((#‘𝑊) − 2) ∈ ℕ0 ∧ (((#‘𝑊) − 2) + 1) ∈ (0..^(#‘𝑊))) → (𝑊 substr ⟨((#‘𝑊) − 2), (((#‘𝑊) − 2) + 2)⟩) = ⟨“(𝑊‘((#‘𝑊) − 2))(𝑊‘(((#‘𝑊) − 2) + 1))”⟩)
5351, 52syl 17 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (#‘𝑊)) → (𝑊 substr ⟨((#‘𝑊) − 2), (((#‘𝑊) − 2) + 2)⟩) = ⟨“(𝑊‘((#‘𝑊) − 2))(𝑊‘(((#‘𝑊) − 2) + 1))”⟩)
5435, 36jctir 560 . . . . . 6 ((#‘𝑊) ∈ ℕ0 → ((#‘𝑊) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ))
55 npcan 10250 . . . . . . 7 (((#‘𝑊) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → (((#‘𝑊) − 2) + 2) = (#‘𝑊))
5655eqcomd 2627 . . . . . 6 (((#‘𝑊) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → (#‘𝑊) = (((#‘𝑊) − 2) + 2))
572, 54, 563syl 18 . . . . 5 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (#‘𝑊) = (((#‘𝑊) − 2) + 2))
5857adantr 481 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (#‘𝑊)) → (#‘𝑊) = (((#‘𝑊) − 2) + 2))
5958opeq2d 4384 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (#‘𝑊)) → ⟨((#‘𝑊) − 2), (#‘𝑊)⟩ = ⟨((#‘𝑊) − 2), (((#‘𝑊) − 2) + 2)⟩)
6059oveq2d 6631 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (#‘𝑊)) → (𝑊 substr ⟨((#‘𝑊) − 2), (#‘𝑊)⟩) = (𝑊 substr ⟨((#‘𝑊) − 2), (((#‘𝑊) − 2) + 2)⟩))
61 eqidd 2622 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (#‘𝑊)) → (𝑊‘((#‘𝑊) − 2)) = (𝑊‘((#‘𝑊) − 2)))
62 lsw 13306 . . . . 5 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ( lastS ‘𝑊) = (𝑊‘((#‘𝑊) − 1)))
6339, 43syl 17 . . . . . . . . . 10 ((#‘𝑊) ∈ ℕ0 → ((#‘𝑊) − (2 − 1)) = (((#‘𝑊) − 2) + 1))
6463eqcomd 2627 . . . . . . . . 9 ((#‘𝑊) ∈ ℕ0 → (((#‘𝑊) − 2) + 1) = ((#‘𝑊) − (2 − 1)))
65 2m1e1 11095 . . . . . . . . . . 11 (2 − 1) = 1
6665a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((#‘𝑊) ∈ ℕ0 → (2 − 1) = 1)
6766oveq2d 6631 . . . . . . . . 9 ((#‘𝑊) ∈ ℕ0 → ((#‘𝑊) − (2 − 1)) = ((#‘𝑊) − 1))
6864, 67eqtrd 2655 . . . . . . . 8 ((#‘𝑊) ∈ ℕ0 → (((#‘𝑊) − 2) + 1) = ((#‘𝑊) − 1))
692, 68syl 17 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (((#‘𝑊) − 2) + 1) = ((#‘𝑊) − 1))
7069eqcomd 2627 . . . . . 6 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ((#‘𝑊) − 1) = (((#‘𝑊) − 2) + 1))
7170fveq2d 6162 . . . . 5 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊‘((#‘𝑊) − 1)) = (𝑊‘(((#‘𝑊) − 2) + 1)))
7262, 71eqtrd 2655 . . . 4 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ( lastS ‘𝑊) = (𝑊‘(((#‘𝑊) − 2) + 1)))
7372adantr 481 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (#‘𝑊)) → ( lastS ‘𝑊) = (𝑊‘(((#‘𝑊) − 2) + 1)))
7461, 73s2eqd 13561 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (#‘𝑊)) → ⟨“(𝑊‘((#‘𝑊) − 2))( lastS ‘𝑊)”⟩ = ⟨“(𝑊‘((#‘𝑊) − 2))(𝑊‘(((#‘𝑊) − 2) + 1))”⟩)
7553, 60, 743eqtr4d 2665 1 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (#‘𝑊)) → (𝑊 substr ⟨((#‘𝑊) − 2), (#‘𝑊)⟩) = ⟨“(𝑊‘((#‘𝑊) − 2))( lastS ‘𝑊)”⟩)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   ∧ w3a 1036   = wceq 1480   ∈ wcel 1987  ⟨cop 4161   class class class wbr 4623  ‘cfv 5857  (class class class)co 6615  ℂcc 9894  ℝcr 9895  0cc0 9896  1c1 9897   + caddc 9899   < clt 10034   ≤ cle 10035   − cmin 10226  ℕcn 10980  2c2 11030  ℕ0cn0 11252  ℤcz 11337  ..^cfzo 12422  #chash 13073  Word cword 13246   lastS clsw 13247   substr csubstr 13250  ⟨“cs2 13539 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4741  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-int 4448  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-om 7028  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-1o 7520  df-oadd 7524  df-er 7702  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-fin 7919  df-card 8725  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-nn 10981  df-2 11039  df-n0 11253  df-z 11338  df-uz 11648  df-fz 12285  df-fzo 12423  df-hash 13074  df-word 13254  df-lsw 13255  df-concat 13256  df-s1 13257  df-substr 13258  df-s2 13546 This theorem is referenced by:  2swrd2eqwrdeq  13646
 Copyright terms: Public domain W3C validator