Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  swrdccat1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem swrdccat1 13546
 Description: Recover the left half of a concatenated word. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
swrdccat1 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) → ((𝑆 ++ 𝑇) substr ⟨0, (♯‘𝑆)⟩) = 𝑆)

Proof of Theorem swrdccat1
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ccatcl 13435 . . 3 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) → (𝑆 ++ 𝑇) ∈ Word 𝐵)
2 lencl 13399 . . . . . 6 (𝑆 ∈ Word 𝐵 → (♯‘𝑆) ∈ ℕ0)
32adantr 472 . . . . 5 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) → (♯‘𝑆) ∈ ℕ0)
4 nn0uz 11804 . . . . 5 0 = (ℤ‘0)
53, 4syl6eleq 2781 . . . 4 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) → (♯‘𝑆) ∈ (ℤ‘0))
6 ccatlen 13436 . . . . 5 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) → (♯‘(𝑆 ++ 𝑇)) = ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))
73nn0zd 11561 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) → (♯‘𝑆) ∈ ℤ)
8 uzid 11783 . . . . . . 7 ((♯‘𝑆) ∈ ℤ → (♯‘𝑆) ∈ (ℤ‘(♯‘𝑆)))
97, 8syl 17 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) → (♯‘𝑆) ∈ (ℤ‘(♯‘𝑆)))
10 lencl 13399 . . . . . . 7 (𝑇 ∈ Word 𝐵 → (♯‘𝑇) ∈ ℕ0)
1110adantl 473 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) → (♯‘𝑇) ∈ ℕ0)
12 uzaddcl 11826 . . . . . 6 (((♯‘𝑆) ∈ (ℤ‘(♯‘𝑆)) ∧ (♯‘𝑇) ∈ ℕ0) → ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) ∈ (ℤ‘(♯‘𝑆)))
139, 11, 12syl2anc 696 . . . . 5 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) → ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) ∈ (ℤ‘(♯‘𝑆)))
146, 13eqeltrd 2771 . . . 4 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) → (♯‘(𝑆 ++ 𝑇)) ∈ (ℤ‘(♯‘𝑆)))
15 elfzuzb 12418 . . . 4 ((♯‘𝑆) ∈ (0...(♯‘(𝑆 ++ 𝑇))) ↔ ((♯‘𝑆) ∈ (ℤ‘0) ∧ (♯‘(𝑆 ++ 𝑇)) ∈ (ℤ‘(♯‘𝑆))))
165, 14, 15sylanbrc 701 . . 3 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) → (♯‘𝑆) ∈ (0...(♯‘(𝑆 ++ 𝑇))))
17 swrd0val 13509 . . 3 (((𝑆 ++ 𝑇) ∈ Word 𝐵 ∧ (♯‘𝑆) ∈ (0...(♯‘(𝑆 ++ 𝑇)))) → ((𝑆 ++ 𝑇) substr ⟨0, (♯‘𝑆)⟩) = ((𝑆 ++ 𝑇) ↾ (0..^(♯‘𝑆))))
181, 16, 17syl2anc 696 . 2 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) → ((𝑆 ++ 𝑇) substr ⟨0, (♯‘𝑆)⟩) = ((𝑆 ++ 𝑇) ↾ (0..^(♯‘𝑆))))
19 wrdf 13385 . . . . 5 ((𝑆 ++ 𝑇) ∈ Word 𝐵 → (𝑆 ++ 𝑇):(0..^(♯‘(𝑆 ++ 𝑇)))⟶𝐵)
20 ffn 6126 . . . . 5 ((𝑆 ++ 𝑇):(0..^(♯‘(𝑆 ++ 𝑇)))⟶𝐵 → (𝑆 ++ 𝑇) Fn (0..^(♯‘(𝑆 ++ 𝑇))))
211, 19, 203syl 18 . . . 4 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) → (𝑆 ++ 𝑇) Fn (0..^(♯‘(𝑆 ++ 𝑇))))
22 fzoss2 12579 . . . . 5 ((♯‘(𝑆 ++ 𝑇)) ∈ (ℤ‘(♯‘𝑆)) → (0..^(♯‘𝑆)) ⊆ (0..^(♯‘(𝑆 ++ 𝑇))))
2314, 22syl 17 . . . 4 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) → (0..^(♯‘𝑆)) ⊆ (0..^(♯‘(𝑆 ++ 𝑇))))
24 fnssres 6085 . . . 4 (((𝑆 ++ 𝑇) Fn (0..^(♯‘(𝑆 ++ 𝑇))) ∧ (0..^(♯‘𝑆)) ⊆ (0..^(♯‘(𝑆 ++ 𝑇)))) → ((𝑆 ++ 𝑇) ↾ (0..^(♯‘𝑆))) Fn (0..^(♯‘𝑆)))
2521, 23, 24syl2anc 696 . . 3 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) → ((𝑆 ++ 𝑇) ↾ (0..^(♯‘𝑆))) Fn (0..^(♯‘𝑆)))
26 wrdf 13385 . . . . 5 (𝑆 ∈ Word 𝐵𝑆:(0..^(♯‘𝑆))⟶𝐵)
2726adantr 472 . . . 4 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) → 𝑆:(0..^(♯‘𝑆))⟶𝐵)
28 ffn 6126 . . . 4 (𝑆:(0..^(♯‘𝑆))⟶𝐵𝑆 Fn (0..^(♯‘𝑆)))
2927, 28syl 17 . . 3 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) → 𝑆 Fn (0..^(♯‘𝑆)))
30 fvres 6288 . . . . 5 (𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝑆)) → (((𝑆 ++ 𝑇) ↾ (0..^(♯‘𝑆)))‘𝑘) = ((𝑆 ++ 𝑇)‘𝑘))
3130adantl 473 . . . 4 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝑆))) → (((𝑆 ++ 𝑇) ↾ (0..^(♯‘𝑆)))‘𝑘) = ((𝑆 ++ 𝑇)‘𝑘))
32 ccatval1 13438 . . . . 5 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝑆))) → ((𝑆 ++ 𝑇)‘𝑘) = (𝑆𝑘))
33323expa 1111 . . . 4 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝑆))) → ((𝑆 ++ 𝑇)‘𝑘) = (𝑆𝑘))
3431, 33eqtrd 2726 . . 3 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝑆))) → (((𝑆 ++ 𝑇) ↾ (0..^(♯‘𝑆)))‘𝑘) = (𝑆𝑘))
3525, 29, 34eqfnfvd 6397 . 2 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) → ((𝑆 ++ 𝑇) ↾ (0..^(♯‘𝑆))) = 𝑆)
3618, 35eqtrd 2726 1 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) → ((𝑆 ++ 𝑇) substr ⟨0, (♯‘𝑆)⟩) = 𝑆)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1564   ∈ wcel 2071   ⊆ wss 3648  ⟨cop 4259   ↾ cres 5188   Fn wfn 5964  ⟶wf 5965  ‘cfv 5969  (class class class)co 6733  0cc0 10017   + caddc 10020  ℕ0cn0 11373  ℤcz 11458  ℤ≥cuz 11768  ...cfz 12408  ..^cfzo 12548  ♯chash 13200  Word cword 13366   ++ cconcat 13368   substr csubstr 13370 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1818  ax-5 1920  ax-6 1986  ax-7 2022  ax-8 2073  ax-9 2080  ax-10 2100  ax-11 2115  ax-12 2128  ax-13 2323  ax-ext 2672  ax-rep 4847  ax-sep 4857  ax-nul 4865  ax-pow 4916  ax-pr 4979  ax-un 7034  ax-cnex 10073  ax-resscn 10074  ax-1cn 10075  ax-icn 10076  ax-addcl 10077  ax-addrcl 10078  ax-mulcl 10079  ax-mulrcl 10080  ax-mulcom 10081  ax-addass 10082  ax-mulass 10083  ax-distr 10084  ax-i2m1 10085  ax-1ne0 10086  ax-1rid 10087  ax-rnegex 10088  ax-rrecex 10089  ax-cnre 10090  ax-pre-lttri 10091  ax-pre-lttrn 10092  ax-pre-ltadd 10093  ax-pre-mulgt0 10094 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1567  df-ex 1786  df-nf 1791  df-sb 1979  df-eu 2543  df-mo 2544  df-clab 2679  df-cleq 2685  df-clel 2688  df-nfc 2823  df-ne 2865  df-nel 2968  df-ral 2987  df-rex 2988  df-reu 2989  df-rab 2991  df-v 3274  df-sbc 3510  df-csb 3608  df-dif 3651  df-un 3653  df-in 3655  df-ss 3662  df-pss 3664  df-nul 3992  df-if 4163  df-pw 4236  df-sn 4254  df-pr 4256  df-tp 4258  df-op 4260  df-uni 4513  df-int 4552  df-iun 4598  df-br 4729  df-opab 4789  df-mpt 4806  df-tr 4829  df-id 5096  df-eprel 5101  df-po 5107  df-so 5108  df-fr 5145  df-we 5147  df-xp 5192  df-rel 5193  df-cnv 5194  df-co 5195  df-dm 5196  df-rn 5197  df-res 5198  df-ima 5199  df-pred 5761  df-ord 5807  df-on 5808  df-lim 5809  df-suc 5810  df-iota 5932  df-fun 5971  df-fn 5972  df-f 5973  df-f1 5974  df-fo 5975  df-f1o 5976  df-fv 5977  df-riota 6694  df-ov 6736  df-oprab 6737  df-mpt2 6738  df-om 7151  df-1st 7253  df-2nd 7254  df-wrecs 7495  df-recs 7556  df-rdg 7594  df-1o 7648  df-oadd 7652  df-er 7830  df-en 8041  df-dom 8042  df-sdom 8043  df-fin 8044  df-card 8846  df-pnf 10157  df-mnf 10158  df-xr 10159  df-ltxr 10160  df-le 10161  df-sub 10349  df-neg 10350  df-nn 11102  df-n0 11374  df-z 11459  df-uz 11769  df-fz 12409  df-fzo 12549  df-hash 13201  df-word 13374  df-concat 13376  df-substr 13378 This theorem is referenced by:  ccatopth  13559  reuccats1  13569  wwlksnextbi  26901  wwlksnextsur  26907  clwwlkfo  27068
 Copyright terms: Public domain W3C validator