Theorem swrdccat1 13390

Description: Recover the left half of a concatenated word. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
swrdccat1	⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → ((𝑆 ++ 𝑇) substr ⟨0, (#‘𝑆)⟩) = 𝑆)

Proof of Theorem swrdccat1

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ccatcl 13293	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → (𝑆 ++ 𝑇) ∈ Word 𝐵)
2		lencl 13258	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐵 → (#‘𝑆) ∈ ℕ0)
3	2	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → (#‘𝑆) ∈ ℕ0)
4		nn0uz 11666	. . . . 5 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
5	3, 4	syl6eleq 2714	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → (#‘𝑆) ∈ (ℤ≥‘0))
6		ccatlen 13294	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → (#‘(𝑆 ++ 𝑇)) = ((#‘𝑆) + (#‘𝑇)))
7	3	nn0zd 11424	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → (#‘𝑆) ∈ ℤ)
8		uzid 11646	. . . . . . 7 ⊢ ((#‘𝑆) ∈ ℤ → (#‘𝑆) ∈ (ℤ≥‘(#‘𝑆)))
9	7, 8	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → (#‘𝑆) ∈ (ℤ≥‘(#‘𝑆)))
10		lencl 13258	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇 ∈ Word 𝐵 → (#‘𝑇) ∈ ℕ0)
11	10	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → (#‘𝑇) ∈ ℕ0)
12		uzaddcl 11688	. . . . . 6 ⊢ (((#‘𝑆) ∈ (ℤ≥‘(#‘𝑆)) ∧ (#‘𝑇) ∈ ℕ0) → ((#‘𝑆) + (#‘𝑇)) ∈ (ℤ≥‘(#‘𝑆)))
13	9, 11, 12	syl2anc 692	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → ((#‘𝑆) + (#‘𝑇)) ∈ (ℤ≥‘(#‘𝑆)))
14	6, 13	eqeltrd 2704	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → (#‘(𝑆 ++ 𝑇)) ∈ (ℤ≥‘(#‘𝑆)))
15		elfzuzb 12275	. . . 4 ⊢ ((#‘𝑆) ∈ (0...(#‘(𝑆 ++ 𝑇))) ↔ ((#‘𝑆) ∈ (ℤ≥‘0) ∧ (#‘(𝑆 ++ 𝑇)) ∈ (ℤ≥‘(#‘𝑆))))
16	5, 14, 15	sylanbrc 697	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → (#‘𝑆) ∈ (0...(#‘(𝑆 ++ 𝑇))))
17		swrd0val 13354	. . 3 ⊢ (((𝑆 ++ 𝑇) ∈ Word 𝐵 ∧ (#‘𝑆) ∈ (0...(#‘(𝑆 ++ 𝑇)))) → ((𝑆 ++ 𝑇) substr ⟨0, (#‘𝑆)⟩) = ((𝑆 ++ 𝑇) ↾ (0..^(#‘𝑆))))
18	1, 16, 17	syl2anc 692	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → ((𝑆 ++ 𝑇) substr ⟨0, (#‘𝑆)⟩) = ((𝑆 ++ 𝑇) ↾ (0..^(#‘𝑆))))
19		wrdf 13244	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ++ 𝑇) ∈ Word 𝐵 → (𝑆 ++ 𝑇):(0..^(#‘(𝑆 ++ 𝑇)))⟶𝐵)
20		ffn 6004	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ++ 𝑇):(0..^(#‘(𝑆 ++ 𝑇)))⟶𝐵 → (𝑆 ++ 𝑇) Fn (0..^(#‘(𝑆 ++ 𝑇))))
21	1, 19, 20	3syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → (𝑆 ++ 𝑇) Fn (0..^(#‘(𝑆 ++ 𝑇))))
22		fzoss2 12434	. . . . 5 ⊢ ((#‘(𝑆 ++ 𝑇)) ∈ (ℤ≥‘(#‘𝑆)) → (0..^(#‘𝑆)) ⊆ (0..^(#‘(𝑆 ++ 𝑇))))
23	14, 22	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → (0..^(#‘𝑆)) ⊆ (0..^(#‘(𝑆 ++ 𝑇))))
24		fnssres 5964	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ++ 𝑇) Fn (0..^(#‘(𝑆 ++ 𝑇))) ∧ (0..^(#‘𝑆)) ⊆ (0..^(#‘(𝑆 ++ 𝑇)))) → ((𝑆 ++ 𝑇) ↾ (0..^(#‘𝑆))) Fn (0..^(#‘𝑆)))
25	21, 23, 24	syl2anc 692	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → ((𝑆 ++ 𝑇) ↾ (0..^(#‘𝑆))) Fn (0..^(#‘𝑆)))
26		wrdf 13244	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐵 → 𝑆:(0..^(#‘𝑆))⟶𝐵)
27	26	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → 𝑆:(0..^(#‘𝑆))⟶𝐵)
28		ffn 6004	. . . 4 ⊢ (𝑆:(0..^(#‘𝑆))⟶𝐵 → 𝑆 Fn (0..^(#‘𝑆)))
29	27, 28	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → 𝑆 Fn (0..^(#‘𝑆)))
30		fvres 6165	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (0..^(#‘𝑆)) → (((𝑆 ++ 𝑇) ↾ (0..^(#‘𝑆)))‘𝑘) = ((𝑆 ++ 𝑇)‘𝑘))
31	30	adantl 482	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(#‘𝑆))) → (((𝑆 ++ 𝑇) ↾ (0..^(#‘𝑆)))‘𝑘) = ((𝑆 ++ 𝑇)‘𝑘))
32		ccatval1 13295	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (0..^(#‘𝑆))) → ((𝑆 ++ 𝑇)‘𝑘) = (𝑆‘𝑘))
33	32	3expa 1262	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(#‘𝑆))) → ((𝑆 ++ 𝑇)‘𝑘) = (𝑆‘𝑘))
34	31, 33	eqtrd 2660	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(#‘𝑆))) → (((𝑆 ++ 𝑇) ↾ (0..^(#‘𝑆)))‘𝑘) = (𝑆‘𝑘))
35	25, 29, 34	eqfnfvd 6271	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → ((𝑆 ++ 𝑇) ↾ (0..^(#‘𝑆))) = 𝑆)
36	18, 35	eqtrd 2660	1 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → ((𝑆 ++ 𝑇) substr ⟨0, (#‘𝑆)⟩) = 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1992   ⊆ wss 3560  ⟨cop 4159   ↾ cres 5081   Fn wfn 5845  ⟶wf 5846  ‘cfv 5850  (class class class)co 6605  0cc0 9881   + caddc 9884  ℕ₀cn0 11237  ℤcz 11322  ℤ_≥cuz 11631  ...cfz 12265  ..^cfzo 12403  #chash 13054  Word cword 13225   ++ cconcat 13227   substr csubstr 13229

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-om 7014  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-1o 7506  df-oadd 7510  df-er 7688  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-fin 7904  df-card 8710  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-nn 10966  df-n0 11238  df-z 11323  df-uz 11632  df-fz 12266  df-fzo 12404  df-hash 13055  df-word 13233  df-concat 13235  df-substr 13237

This theorem is referenced by:  ccatopth  13403  reuccats1  13413  wwlksnextbi  26652  wwlksnextsur  26658  clwwlksfo  26778