Theorem swrdccat1 13546

Description: Recover the left half of a concatenated word. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
swrdccat1	⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → ((𝑆 ++ 𝑇) substr ⟨0, (♯‘𝑆)⟩) = 𝑆)

Proof of Theorem swrdccat1

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ccatcl 13435	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → (𝑆 ++ 𝑇) ∈ Word 𝐵)
2		lencl 13399	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐵 → (♯‘𝑆) ∈ ℕ0)
3	2	adantr 472	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → (♯‘𝑆) ∈ ℕ0)
4		nn0uz 11804	. . . . 5 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
5	3, 4	syl6eleq 2781	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → (♯‘𝑆) ∈ (ℤ≥‘0))
6		ccatlen 13436	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → (♯‘(𝑆 ++ 𝑇)) = ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))
7	3	nn0zd 11561	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → (♯‘𝑆) ∈ ℤ)
8		uzid 11783	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝑆) ∈ ℤ → (♯‘𝑆) ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝑆)))
9	7, 8	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → (♯‘𝑆) ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝑆)))
10		lencl 13399	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇 ∈ Word 𝐵 → (♯‘𝑇) ∈ ℕ0)
11	10	adantl 473	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → (♯‘𝑇) ∈ ℕ0)
12		uzaddcl 11826	. . . . . 6 ⊢ (((♯‘𝑆) ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝑆)) ∧ (♯‘𝑇) ∈ ℕ0) → ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝑆)))
13	9, 11, 12	syl2anc 696	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝑆)))
14	6, 13	eqeltrd 2771	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → (♯‘(𝑆 ++ 𝑇)) ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝑆)))
15		elfzuzb 12418	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝑆) ∈ (0...(♯‘(𝑆 ++ 𝑇))) ↔ ((♯‘𝑆) ∈ (ℤ≥‘0) ∧ (♯‘(𝑆 ++ 𝑇)) ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝑆))))
16	5, 14, 15	sylanbrc 701	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → (♯‘𝑆) ∈ (0...(♯‘(𝑆 ++ 𝑇))))
17		swrd0val 13509	. . 3 ⊢ (((𝑆 ++ 𝑇) ∈ Word 𝐵 ∧ (♯‘𝑆) ∈ (0...(♯‘(𝑆 ++ 𝑇)))) → ((𝑆 ++ 𝑇) substr ⟨0, (♯‘𝑆)⟩) = ((𝑆 ++ 𝑇) ↾ (0..^(♯‘𝑆))))
18	1, 16, 17	syl2anc 696	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → ((𝑆 ++ 𝑇) substr ⟨0, (♯‘𝑆)⟩) = ((𝑆 ++ 𝑇) ↾ (0..^(♯‘𝑆))))
19		wrdf 13385	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ++ 𝑇) ∈ Word 𝐵 → (𝑆 ++ 𝑇):(0..^(♯‘(𝑆 ++ 𝑇)))⟶𝐵)
20		ffn 6126	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ++ 𝑇):(0..^(♯‘(𝑆 ++ 𝑇)))⟶𝐵 → (𝑆 ++ 𝑇) Fn (0..^(♯‘(𝑆 ++ 𝑇))))
21	1, 19, 20	3syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → (𝑆 ++ 𝑇) Fn (0..^(♯‘(𝑆 ++ 𝑇))))
22		fzoss2 12579	. . . . 5 ⊢ ((♯‘(𝑆 ++ 𝑇)) ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝑆)) → (0..^(♯‘𝑆)) ⊆ (0..^(♯‘(𝑆 ++ 𝑇))))
23	14, 22	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → (0..^(♯‘𝑆)) ⊆ (0..^(♯‘(𝑆 ++ 𝑇))))
24		fnssres 6085	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ++ 𝑇) Fn (0..^(♯‘(𝑆 ++ 𝑇))) ∧ (0..^(♯‘𝑆)) ⊆ (0..^(♯‘(𝑆 ++ 𝑇)))) → ((𝑆 ++ 𝑇) ↾ (0..^(♯‘𝑆))) Fn (0..^(♯‘𝑆)))
25	21, 23, 24	syl2anc 696	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → ((𝑆 ++ 𝑇) ↾ (0..^(♯‘𝑆))) Fn (0..^(♯‘𝑆)))
26		wrdf 13385	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐵 → 𝑆:(0..^(♯‘𝑆))⟶𝐵)
27	26	adantr 472	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → 𝑆:(0..^(♯‘𝑆))⟶𝐵)
28		ffn 6126	. . . 4 ⊢ (𝑆:(0..^(♯‘𝑆))⟶𝐵 → 𝑆 Fn (0..^(♯‘𝑆)))
29	27, 28	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → 𝑆 Fn (0..^(♯‘𝑆)))
30		fvres 6288	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝑆)) → (((𝑆 ++ 𝑇) ↾ (0..^(♯‘𝑆)))‘𝑘) = ((𝑆 ++ 𝑇)‘𝑘))
31	30	adantl 473	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝑆))) → (((𝑆 ++ 𝑇) ↾ (0..^(♯‘𝑆)))‘𝑘) = ((𝑆 ++ 𝑇)‘𝑘))
32		ccatval1 13438	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝑆))) → ((𝑆 ++ 𝑇)‘𝑘) = (𝑆‘𝑘))
33	32	3expa 1111	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝑆))) → ((𝑆 ++ 𝑇)‘𝑘) = (𝑆‘𝑘))
34	31, 33	eqtrd 2726	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝑆))) → (((𝑆 ++ 𝑇) ↾ (0..^(♯‘𝑆)))‘𝑘) = (𝑆‘𝑘))
35	25, 29, 34	eqfnfvd 6397	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → ((𝑆 ++ 𝑇) ↾ (0..^(♯‘𝑆))) = 𝑆)
36	18, 35	eqtrd 2726	1 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → ((𝑆 ++ 𝑇) substr ⟨0, (♯‘𝑆)⟩) = 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1564   ∈ wcel 2071   ⊆ wss 3648  ⟨cop 4259   ↾ cres 5188   Fn wfn 5964  ⟶wf 5965  ‘cfv 5969  (class class class)co 6733  0cc0 10017   + caddc 10020  ℕ₀cn0 11373  ℤcz 11458  ℤ_≥cuz 11768  ...cfz 12408  ..^cfzo 12548  ♯chash 13200  Word cword 13366   ++ cconcat 13368   substr csubstr 13370

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1818  ax-5 1920  ax-6 1986  ax-7 2022  ax-8 2073  ax-9 2080  ax-10 2100  ax-11 2115  ax-12 2128  ax-13 2323  ax-ext 2672  ax-rep 4847  ax-sep 4857  ax-nul 4865  ax-pow 4916  ax-pr 4979  ax-un 7034  ax-cnex 10073  ax-resscn 10074  ax-1cn 10075  ax-icn 10076  ax-addcl 10077  ax-addrcl 10078  ax-mulcl 10079  ax-mulrcl 10080  ax-mulcom 10081  ax-addass 10082  ax-mulass 10083  ax-distr 10084  ax-i2m1 10085  ax-1ne0 10086  ax-1rid 10087  ax-rnegex 10088  ax-rrecex 10089  ax-cnre 10090  ax-pre-lttri 10091  ax-pre-lttrn 10092  ax-pre-ltadd 10093  ax-pre-mulgt0 10094

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1567  df-ex 1786  df-nf 1791  df-sb 1979  df-eu 2543  df-mo 2544  df-clab 2679  df-cleq 2685  df-clel 2688  df-nfc 2823  df-ne 2865  df-nel 2968  df-ral 2987  df-rex 2988  df-reu 2989  df-rab 2991  df-v 3274  df-sbc 3510  df-csb 3608  df-dif 3651  df-un 3653  df-in 3655  df-ss 3662  df-pss 3664  df-nul 3992  df-if 4163  df-pw 4236  df-sn 4254  df-pr 4256  df-tp 4258  df-op 4260  df-uni 4513  df-int 4552  df-iun 4598  df-br 4729  df-opab 4789  df-mpt 4806  df-tr 4829  df-id 5096  df-eprel 5101  df-po 5107  df-so 5108  df-fr 5145  df-we 5147  df-xp 5192  df-rel 5193  df-cnv 5194  df-co 5195  df-dm 5196  df-rn 5197  df-res 5198  df-ima 5199  df-pred 5761  df-ord 5807  df-on 5808  df-lim 5809  df-suc 5810  df-iota 5932  df-fun 5971  df-fn 5972  df-f 5973  df-f1 5974  df-fo 5975  df-f1o 5976  df-fv 5977  df-riota 6694  df-ov 6736  df-oprab 6737  df-mpt2 6738  df-om 7151  df-1st 7253  df-2nd 7254  df-wrecs 7495  df-recs 7556  df-rdg 7594  df-1o 7648  df-oadd 7652  df-er 7830  df-en 8041  df-dom 8042  df-sdom 8043  df-fin 8044  df-card 8846  df-pnf 10157  df-mnf 10158  df-xr 10159  df-ltxr 10160  df-le 10161  df-sub 10349  df-neg 10350  df-nn 11102  df-n0 11374  df-z 11459  df-uz 11769  df-fz 12409  df-fzo 12549  df-hash 13201  df-word 13374  df-concat 13376  df-substr 13378

This theorem is referenced by:  ccatopth  13559  reuccats1  13569  wwlksnextbi  26901  wwlksnextsur  26907  clwwlkfo  27068