MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  swrdccatin12lem2a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem swrdccatin12lem2a 13429
Description: Lemma 1 for swrdccatin12lem2 13433. (Contributed by AV, 30-Mar-2018.) (Revised by AV, 27-May-2018.)
Assertion
Ref Expression
swrdccatin12lem2a ((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...𝑋)) → ((𝐾 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿𝑀))) → (𝐾 + 𝑀) ∈ (𝐿..^𝑋)))

Proof of Theorem swrdccatin12lem2a
StepHypRef Expression
1 elfz2 12282 . . . . 5 (𝑀 ∈ (0...𝐿) ↔ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑀𝑀𝐿)))
2 zsubcl 11370 . . . . . . 7 ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐿𝑀) ∈ ℤ)
323adant1 1077 . . . . . 6 ((0 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐿𝑀) ∈ ℤ)
43adantr 481 . . . . 5 (((0 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑀𝑀𝐿)) → (𝐿𝑀) ∈ ℤ)
51, 4sylbi 207 . . . 4 (𝑀 ∈ (0...𝐿) → (𝐿𝑀) ∈ ℤ)
65adantr 481 . . 3 ((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...𝑋)) → (𝐿𝑀) ∈ ℤ)
7 elfzonelfzo 12518 . . 3 ((𝐿𝑀) ∈ ℤ → ((𝐾 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿𝑀))) → 𝐾 ∈ ((𝐿𝑀)..^(𝑁𝑀))))
86, 7syl 17 . 2 ((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...𝑋)) → ((𝐾 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿𝑀))) → 𝐾 ∈ ((𝐿𝑀)..^(𝑁𝑀))))
9 elfzoelz 12418 . . . 4 (𝐾 ∈ ((𝐿𝑀)..^(𝑁𝑀)) → 𝐾 ∈ ℤ)
10 elfzelz 12291 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ (𝐿...𝑋) → 𝑁 ∈ ℤ)
11 simpl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝐿 ∈ ℤ)
12 simpl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
1311, 12anim12i 589 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
14 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℤ)
15 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → 𝐾 ∈ ℤ)
1614, 15anim12ci 590 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ))
1713, 16jca 554 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)))
1817exp32 630 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ ℤ → (𝐾 ∈ ℤ → ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)))))
1910, 18syl5 34 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ (𝐿...𝑋) → (𝐾 ∈ ℤ → ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)))))
20193adant1 1077 . . . . . . . . . . . 12 ((0 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ (𝐿...𝑋) → (𝐾 ∈ ℤ → ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)))))
2120adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((0 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑀𝑀𝐿)) → (𝑁 ∈ (𝐿...𝑋) → (𝐾 ∈ ℤ → ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)))))
221, 21sylbi 207 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ (0...𝐿) → (𝑁 ∈ (𝐿...𝑋) → (𝐾 ∈ ℤ → ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)))))
2322imp 445 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...𝑋)) → (𝐾 ∈ ℤ → ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ))))
2423impcom 446 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...𝑋))) → ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)))
25 elfzomelpfzo 12520 . . . . . . . 8 (((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → (𝐾 ∈ ((𝐿𝑀)..^(𝑁𝑀)) ↔ (𝐾 + 𝑀) ∈ (𝐿..^𝑁)))
2624, 25syl 17 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...𝑋))) → (𝐾 ∈ ((𝐿𝑀)..^(𝑁𝑀)) ↔ (𝐾 + 𝑀) ∈ (𝐿..^𝑁)))
27 elfz2 12282 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ (𝐿...𝑋) ↔ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐿𝑁𝑁𝑋)))
28 simpl3 1064 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐿𝑁𝑁𝑋)) → 𝑁 ∈ ℤ)
29 simpl2 1063 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐿𝑁𝑁𝑋)) → 𝑋 ∈ ℤ)
30 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐿𝑁𝑁𝑋) → 𝑁𝑋)
3130adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐿𝑁𝑁𝑋)) → 𝑁𝑋)
3228, 29, 313jca 1240 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐿𝑁𝑁𝑋)) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑁𝑋))
3327, 32sylbi 207 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ (𝐿...𝑋) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑁𝑋))
3433adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...𝑋)) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑁𝑋))
3534adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...𝑋))) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑁𝑋))
36 eluz2 11644 . . . . . . . . . 10 (𝑋 ∈ (ℤ𝑁) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑁𝑋))
3735, 36sylibr 224 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...𝑋))) → 𝑋 ∈ (ℤ𝑁))
38 fzoss2 12444 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ (ℤ𝑁) → (𝐿..^𝑁) ⊆ (𝐿..^𝑋))
3937, 38syl 17 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...𝑋))) → (𝐿..^𝑁) ⊆ (𝐿..^𝑋))
4039sseld 3586 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...𝑋))) → ((𝐾 + 𝑀) ∈ (𝐿..^𝑁) → (𝐾 + 𝑀) ∈ (𝐿..^𝑋)))
4126, 40sylbid 230 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...𝑋))) → (𝐾 ∈ ((𝐿𝑀)..^(𝑁𝑀)) → (𝐾 + 𝑀) ∈ (𝐿..^𝑋)))
4241ex 450 . . . . 5 (𝐾 ∈ ℤ → ((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...𝑋)) → (𝐾 ∈ ((𝐿𝑀)..^(𝑁𝑀)) → (𝐾 + 𝑀) ∈ (𝐿..^𝑋))))
4342com23 86 . . . 4 (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 ∈ ((𝐿𝑀)..^(𝑁𝑀)) → ((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...𝑋)) → (𝐾 + 𝑀) ∈ (𝐿..^𝑋))))
449, 43mpcom 38 . . 3 (𝐾 ∈ ((𝐿𝑀)..^(𝑁𝑀)) → ((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...𝑋)) → (𝐾 + 𝑀) ∈ (𝐿..^𝑋)))
4544com12 32 . 2 ((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...𝑋)) → (𝐾 ∈ ((𝐿𝑀)..^(𝑁𝑀)) → (𝐾 + 𝑀) ∈ (𝐿..^𝑋)))
468, 45syld 47 1 ((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...𝑋)) → ((𝐾 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿𝑀))) → (𝐾 + 𝑀) ∈ (𝐿..^𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036  wcel 1987  wss 3559   class class class wbr 4618  cfv 5852  (class class class)co 6610  0cc0 9887   + caddc 9890  cle 10026  cmin 10217  cz 11328  cuz 11638  ...cfz 12275  ..^cfzo 12413
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-cnex 9943  ax-resscn 9944  ax-1cn 9945  ax-icn 9946  ax-addcl 9947  ax-addrcl 9948  ax-mulcl 9949  ax-mulrcl 9950  ax-mulcom 9951  ax-addass 9952  ax-mulass 9953  ax-distr 9954  ax-i2m1 9955  ax-1ne0 9956  ax-1rid 9957  ax-rnegex 9958  ax-rrecex 9959  ax-cnre 9960  ax-pre-lttri 9961  ax-pre-lttrn 9962  ax-pre-ltadd 9963  ax-pre-mulgt0 9964
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-er 7694  df-en 7907  df-dom 7908  df-sdom 7909  df-pnf 10027  df-mnf 10028  df-xr 10029  df-ltxr 10030  df-le 10031  df-sub 10219  df-neg 10220  df-nn 10972  df-n0 11244  df-z 11329  df-uz 11639  df-fz 12276  df-fzo 12414
This theorem is referenced by:  swrdccatin12lem2  13433  pfxccatin12lem2  40744
  Copyright terms: Public domain W3C validator