MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  swrdccatin12lem2b Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem swrdccatin12lem2b 13532
Description: Lemma 2 for swrdccatin12lem2 13535. (Contributed by AV, 30-Mar-2018.) (Revised by AV, 27-May-2018.)
Assertion
Ref Expression
swrdccatin12lem2b ((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...𝑋)) → ((𝐾 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿𝑀))) → (𝐾 − (𝐿𝑀)) ∈ (0..^((𝑁𝐿) − 0))))

Proof of Theorem swrdccatin12lem2b
StepHypRef Expression
1 elfz2 12371 . . . . 5 (𝑀 ∈ (0...𝐿) ↔ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑀𝑀𝐿)))
2 zsubcl 11457 . . . . . . 7 ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐿𝑀) ∈ ℤ)
323adant1 1099 . . . . . 6 ((0 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐿𝑀) ∈ ℤ)
43adantr 480 . . . . 5 (((0 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑀𝑀𝐿)) → (𝐿𝑀) ∈ ℤ)
51, 4sylbi 207 . . . 4 (𝑀 ∈ (0...𝐿) → (𝐿𝑀) ∈ ℤ)
65adantr 480 . . 3 ((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...𝑋)) → (𝐿𝑀) ∈ ℤ)
7 elfzonelfzo 12610 . . 3 ((𝐿𝑀) ∈ ℤ → ((𝐾 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿𝑀))) → 𝐾 ∈ ((𝐿𝑀)..^(𝑁𝑀))))
86, 7syl 17 . 2 ((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...𝑋)) → ((𝐾 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿𝑀))) → 𝐾 ∈ ((𝐿𝑀)..^(𝑁𝑀))))
9 elfz2nn0 12469 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ (0...𝐿) ↔ (𝑀 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0𝑀𝐿))
10 nn0cn 11340 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℂ)
11 nn0cn 11340 . . . . . . . . . 10 (𝐿 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℂ)
12 elfzelz 12380 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ (𝐿...𝑋) → 𝑁 ∈ ℤ)
13 zcn 11420 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
14 subcl 10318 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐿 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ) → (𝐿𝑀) ∈ ℂ)
1514ancoms 468 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ) → (𝐿𝑀) ∈ ℂ)
1615addid1d 10274 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ) → ((𝐿𝑀) + 0) = (𝐿𝑀))
1716eqcomd 2657 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ) → (𝐿𝑀) = ((𝐿𝑀) + 0))
1817adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ (𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ)) → (𝐿𝑀) = ((𝐿𝑀) + 0))
19 simprr 811 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ (𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ)) → 𝐿 ∈ ℂ)
20 simpl 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ) → 𝑀 ∈ ℂ)
2120adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ (𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ)) → 𝑀 ∈ ℂ)
22 simpl 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ (𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ)) → 𝑁 ∈ ℂ)
2319, 21, 22npncan3d 10466 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ (𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ)) → ((𝐿𝑀) + (𝑁𝐿)) = (𝑁𝑀))
24 subcl 10318 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ) → (𝑁𝐿) ∈ ℂ)
25 subid1 10339 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑁𝐿) ∈ ℂ → ((𝑁𝐿) − 0) = (𝑁𝐿))
2625eqcomd 2657 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁𝐿) ∈ ℂ → (𝑁𝐿) = ((𝑁𝐿) − 0))
2724, 26syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ) → (𝑁𝐿) = ((𝑁𝐿) − 0))
2827adantrl 752 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ (𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ)) → (𝑁𝐿) = ((𝑁𝐿) − 0))
2928oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ (𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ)) → ((𝐿𝑀) + (𝑁𝐿)) = ((𝐿𝑀) + ((𝑁𝐿) − 0)))
3023, 29eqtr3d 2687 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ (𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ)) → (𝑁𝑀) = ((𝐿𝑀) + ((𝑁𝐿) − 0)))
3118, 30oveq12d 6708 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ (𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ)) → ((𝐿𝑀)..^(𝑁𝑀)) = (((𝐿𝑀) + 0)..^((𝐿𝑀) + ((𝑁𝐿) − 0))))
3231ex 449 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℂ → ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ) → ((𝐿𝑀)..^(𝑁𝑀)) = (((𝐿𝑀) + 0)..^((𝐿𝑀) + ((𝑁𝐿) − 0)))))
3312, 13, 323syl 18 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (𝐿...𝑋) → ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ) → ((𝐿𝑀)..^(𝑁𝑀)) = (((𝐿𝑀) + 0)..^((𝐿𝑀) + ((𝑁𝐿) − 0)))))
3433com12 32 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ) → (𝑁 ∈ (𝐿...𝑋) → ((𝐿𝑀)..^(𝑁𝑀)) = (((𝐿𝑀) + 0)..^((𝐿𝑀) + ((𝑁𝐿) − 0)))))
3510, 11, 34syl2an 493 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ (𝐿...𝑋) → ((𝐿𝑀)..^(𝑁𝑀)) = (((𝐿𝑀) + 0)..^((𝐿𝑀) + ((𝑁𝐿) − 0)))))
36353adant3 1101 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0𝑀𝐿) → (𝑁 ∈ (𝐿...𝑋) → ((𝐿𝑀)..^(𝑁𝑀)) = (((𝐿𝑀) + 0)..^((𝐿𝑀) + ((𝑁𝐿) − 0)))))
379, 36sylbi 207 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ (0...𝐿) → (𝑁 ∈ (𝐿...𝑋) → ((𝐿𝑀)..^(𝑁𝑀)) = (((𝐿𝑀) + 0)..^((𝐿𝑀) + ((𝑁𝐿) − 0)))))
3837imp 444 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...𝑋)) → ((𝐿𝑀)..^(𝑁𝑀)) = (((𝐿𝑀) + 0)..^((𝐿𝑀) + ((𝑁𝐿) − 0))))
3938eleq2d 2716 . . . . 5 ((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...𝑋)) → (𝐾 ∈ ((𝐿𝑀)..^(𝑁𝑀)) ↔ 𝐾 ∈ (((𝐿𝑀) + 0)..^((𝐿𝑀) + ((𝑁𝐿) − 0)))))
4039biimpa 500 . . . 4 (((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...𝑋)) ∧ 𝐾 ∈ ((𝐿𝑀)..^(𝑁𝑀))) → 𝐾 ∈ (((𝐿𝑀) + 0)..^((𝐿𝑀) + ((𝑁𝐿) − 0))))
41 0zd 11427 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...𝑋)) → 0 ∈ ℤ)
42 elfz2 12371 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (𝐿...𝑋) ↔ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐿𝑁𝑁𝑋)))
43 zsubcl 11457 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝑁𝐿) ∈ ℤ)
4443ancoms 468 . . . . . . . . . . 11 ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁𝐿) ∈ ℤ)
45 0zd 11427 . . . . . . . . . . 11 ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 0 ∈ ℤ)
4644, 45zsubcld 11525 . . . . . . . . . 10 ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑁𝐿) − 0) ∈ ℤ)
47463adant2 1100 . . . . . . . . 9 ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑁𝐿) − 0) ∈ ℤ)
4847adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐿𝑁𝑁𝑋)) → ((𝑁𝐿) − 0) ∈ ℤ)
4942, 48sylbi 207 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (𝐿...𝑋) → ((𝑁𝐿) − 0) ∈ ℤ)
5049adantl 481 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...𝑋)) → ((𝑁𝐿) − 0) ∈ ℤ)
516, 41, 503jca 1261 . . . . 5 ((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...𝑋)) → ((𝐿𝑀) ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ ((𝑁𝐿) − 0) ∈ ℤ))
5251adantr 480 . . . 4 (((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...𝑋)) ∧ 𝐾 ∈ ((𝐿𝑀)..^(𝑁𝑀))) → ((𝐿𝑀) ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ ((𝑁𝐿) − 0) ∈ ℤ))
53 fzosubel2 12567 . . . 4 ((𝐾 ∈ (((𝐿𝑀) + 0)..^((𝐿𝑀) + ((𝑁𝐿) − 0))) ∧ ((𝐿𝑀) ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ ((𝑁𝐿) − 0) ∈ ℤ)) → (𝐾 − (𝐿𝑀)) ∈ (0..^((𝑁𝐿) − 0)))
5440, 52, 53syl2anc 694 . . 3 (((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...𝑋)) ∧ 𝐾 ∈ ((𝐿𝑀)..^(𝑁𝑀))) → (𝐾 − (𝐿𝑀)) ∈ (0..^((𝑁𝐿) − 0)))
5554ex 449 . 2 ((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...𝑋)) → (𝐾 ∈ ((𝐿𝑀)..^(𝑁𝑀)) → (𝐾 − (𝐿𝑀)) ∈ (0..^((𝑁𝐿) − 0))))
568, 55syld 47 1 ((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...𝑋)) → ((𝐾 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿𝑀))) → (𝐾 − (𝐿𝑀)) ∈ (0..^((𝑁𝐿) − 0))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030   class class class wbr 4685  (class class class)co 6690  cc 9972  0cc0 9974   + caddc 9977  cle 10113  cmin 10304  0cn0 11330  cz 11415  ...cfz 12364  ..^cfzo 12504
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-fzo 12505
This theorem is referenced by:  swrdccatin12lem2  13535
  Copyright terms: Public domain W3C validator