MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  swrdccatin1d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem swrdccatin1d 13292
Description: The subword of a concatenation of two words within the first of the concatenated words. (Contributed by AV, 31-May-2018.) (Revised by Mario Carneiro/AV, 21-Oct-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
swrdccatind.l (𝜑 → (#‘𝐴) = 𝐿)
swrdccatind.w (𝜑 → (𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉))
swrdccatin1d.1 (𝜑𝑀 ∈ (0...𝑁))
swrdccatin1d.2 (𝜑𝑁 ∈ (0...𝐿))
Assertion
Ref Expression
swrdccatin1d (𝜑 → ((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) = (𝐴 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩))

Proof of Theorem swrdccatin1d
StepHypRef Expression
1 swrdccatind.w . 2 (𝜑 → (𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉))
2 swrdccatin1d.1 . . 3 (𝜑𝑀 ∈ (0...𝑁))
3 swrdccatind.l . . . 4 (𝜑 → (#‘𝐴) = 𝐿)
4 swrdccatin1d.2 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ (0...𝐿))
5 oveq2 6531 . . . . . 6 ((#‘𝐴) = 𝐿 → (0...(#‘𝐴)) = (0...𝐿))
65eleq2d 2668 . . . . 5 ((#‘𝐴) = 𝐿 → (𝑁 ∈ (0...(#‘𝐴)) ↔ 𝑁 ∈ (0...𝐿)))
74, 6syl5ibr 234 . . . 4 ((#‘𝐴) = 𝐿 → (𝜑𝑁 ∈ (0...(#‘𝐴))))
83, 7mpcom 37 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ (0...(#‘𝐴)))
92, 8jca 552 . 2 (𝜑 → (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(#‘𝐴))))
10 swrdccatin1 13276 . 2 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) → ((𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(#‘𝐴))) → ((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) = (𝐴 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)))
111, 9, 10sylc 62 1 (𝜑 → ((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) = (𝐴 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1474  wcel 1975  cop 4126  cfv 5786  (class class class)co 6523  0cc0 9788  ...cfz 12148  #chash 12930  Word cword 13088   ++ cconcat 13090   substr csubstr 13092
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-8 1977  ax-9 1984  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2228  ax-ext 2585  ax-rep 4689  ax-sep 4699  ax-nul 4708  ax-pow 4760  ax-pr 4824  ax-un 6820  ax-cnex 9844  ax-resscn 9845  ax-1cn 9846  ax-icn 9847  ax-addcl 9848  ax-addrcl 9849  ax-mulcl 9850  ax-mulrcl 9851  ax-mulcom 9852  ax-addass 9853  ax-mulass 9854  ax-distr 9855  ax-i2m1 9856  ax-1ne0 9857  ax-1rid 9858  ax-rnegex 9859  ax-rrecex 9860  ax-cnre 9861  ax-pre-lttri 9862  ax-pre-lttrn 9863  ax-pre-ltadd 9864  ax-pre-mulgt0 9865
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2457  df-mo 2458  df-clab 2592  df-cleq 2598  df-clel 2601  df-nfc 2735  df-ne 2777  df-nel 2778  df-ral 2896  df-rex 2897  df-reu 2898  df-rab 2900  df-v 3170  df-sbc 3398  df-csb 3495  df-dif 3538  df-un 3540  df-in 3542  df-ss 3549  df-pss 3551  df-nul 3870  df-if 4032  df-pw 4105  df-sn 4121  df-pr 4123  df-tp 4125  df-op 4127  df-uni 4363  df-int 4401  df-iun 4447  df-br 4574  df-opab 4634  df-mpt 4635  df-tr 4671  df-eprel 4935  df-id 4939  df-po 4945  df-so 4946  df-fr 4983  df-we 4985  df-xp 5030  df-rel 5031  df-cnv 5032  df-co 5033  df-dm 5034  df-rn 5035  df-res 5036  df-ima 5037  df-pred 5579  df-ord 5625  df-on 5626  df-lim 5627  df-suc 5628  df-iota 5750  df-fun 5788  df-fn 5789  df-f 5790  df-f1 5791  df-fo 5792  df-f1o 5793  df-fv 5794  df-riota 6485  df-ov 6526  df-oprab 6527  df-mpt2 6528  df-om 6931  df-1st 7032  df-2nd 7033  df-wrecs 7267  df-recs 7328  df-rdg 7366  df-1o 7420  df-oadd 7424  df-er 7602  df-en 7815  df-dom 7816  df-sdom 7817  df-fin 7818  df-card 8621  df-pnf 9928  df-mnf 9929  df-xr 9930  df-ltxr 9931  df-le 9932  df-sub 10115  df-neg 10116  df-nn 10864  df-n0 11136  df-z 11207  df-uz 11516  df-fz 12149  df-fzo 12286  df-hash 12931  df-word 13096  df-concat 13098  df-substr 13100
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator