MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  swrdccatin2d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem swrdccatin2d 13294
Description: The subword of a concatenation of two words within the second of the concatenated words. (Contributed by AV, 31-May-2018.) (Revised by Mario Carneiro/AV, 21-Oct-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
swrdccatind.l (𝜑 → (#‘𝐴) = 𝐿)
swrdccatind.w (𝜑 → (𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉))
swrdccatin2d.1 (𝜑𝑀 ∈ (𝐿...𝑁))
swrdccatin2d.2 (𝜑𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵))))
Assertion
Ref Expression
swrdccatin2d (𝜑 → ((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) = (𝐵 substr ⟨(𝑀𝐿), (𝑁𝐿)⟩))

Proof of Theorem swrdccatin2d
StepHypRef Expression
1 swrdccatind.l . 2 (𝜑 → (#‘𝐴) = 𝐿)
2 swrdccatind.w . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉))
32adantl 480 . . . . . 6 (((#‘𝐴) = 𝐿𝜑) → (𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉))
4 swrdccatin2d.1 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ∈ (𝐿...𝑁))
5 swrdccatin2d.2 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵))))
64, 5jca 552 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑀 ∈ (𝐿...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵)))))
76adantl 480 . . . . . . 7 (((#‘𝐴) = 𝐿𝜑) → (𝑀 ∈ (𝐿...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵)))))
8 oveq1 6531 . . . . . . . . . 10 ((#‘𝐴) = 𝐿 → ((#‘𝐴)...𝑁) = (𝐿...𝑁))
98eleq2d 2669 . . . . . . . . 9 ((#‘𝐴) = 𝐿 → (𝑀 ∈ ((#‘𝐴)...𝑁) ↔ 𝑀 ∈ (𝐿...𝑁)))
10 id 22 . . . . . . . . . . 11 ((#‘𝐴) = 𝐿 → (#‘𝐴) = 𝐿)
11 oveq1 6531 . . . . . . . . . . 11 ((#‘𝐴) = 𝐿 → ((#‘𝐴) + (#‘𝐵)) = (𝐿 + (#‘𝐵)))
1210, 11oveq12d 6542 . . . . . . . . . 10 ((#‘𝐴) = 𝐿 → ((#‘𝐴)...((#‘𝐴) + (#‘𝐵))) = (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵))))
1312eleq2d 2669 . . . . . . . . 9 ((#‘𝐴) = 𝐿 → (𝑁 ∈ ((#‘𝐴)...((#‘𝐴) + (#‘𝐵))) ↔ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵)))))
149, 13anbi12d 742 . . . . . . . 8 ((#‘𝐴) = 𝐿 → ((𝑀 ∈ ((#‘𝐴)...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ((#‘𝐴)...((#‘𝐴) + (#‘𝐵)))) ↔ (𝑀 ∈ (𝐿...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵))))))
1514adantr 479 . . . . . . 7 (((#‘𝐴) = 𝐿𝜑) → ((𝑀 ∈ ((#‘𝐴)...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ((#‘𝐴)...((#‘𝐴) + (#‘𝐵)))) ↔ (𝑀 ∈ (𝐿...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵))))))
167, 15mpbird 245 . . . . . 6 (((#‘𝐴) = 𝐿𝜑) → (𝑀 ∈ ((#‘𝐴)...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ((#‘𝐴)...((#‘𝐴) + (#‘𝐵)))))
173, 16jca 552 . . . . 5 (((#‘𝐴) = 𝐿𝜑) → ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ((#‘𝐴)...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ((#‘𝐴)...((#‘𝐴) + (#‘𝐵))))))
1817ex 448 . . . 4 ((#‘𝐴) = 𝐿 → (𝜑 → ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ((#‘𝐴)...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ((#‘𝐴)...((#‘𝐴) + (#‘𝐵)))))))
19 eqid 2606 . . . . . 6 (#‘𝐴) = (#‘𝐴)
2019swrdccatin2 13281 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) → ((𝑀 ∈ ((#‘𝐴)...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ((#‘𝐴)...((#‘𝐴) + (#‘𝐵)))) → ((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) = (𝐵 substr ⟨(𝑀 − (#‘𝐴)), (𝑁 − (#‘𝐴))⟩)))
2120imp 443 . . . 4 (((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ((#‘𝐴)...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ((#‘𝐴)...((#‘𝐴) + (#‘𝐵))))) → ((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) = (𝐵 substr ⟨(𝑀 − (#‘𝐴)), (𝑁 − (#‘𝐴))⟩))
2218, 21syl6 34 . . 3 ((#‘𝐴) = 𝐿 → (𝜑 → ((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) = (𝐵 substr ⟨(𝑀 − (#‘𝐴)), (𝑁 − (#‘𝐴))⟩)))
23 oveq2 6532 . . . . . 6 ((#‘𝐴) = 𝐿 → (𝑀 − (#‘𝐴)) = (𝑀𝐿))
24 oveq2 6532 . . . . . 6 ((#‘𝐴) = 𝐿 → (𝑁 − (#‘𝐴)) = (𝑁𝐿))
2523, 24opeq12d 4339 . . . . 5 ((#‘𝐴) = 𝐿 → ⟨(𝑀 − (#‘𝐴)), (𝑁 − (#‘𝐴))⟩ = ⟨(𝑀𝐿), (𝑁𝐿)⟩)
2625oveq2d 6540 . . . 4 ((#‘𝐴) = 𝐿 → (𝐵 substr ⟨(𝑀 − (#‘𝐴)), (𝑁 − (#‘𝐴))⟩) = (𝐵 substr ⟨(𝑀𝐿), (𝑁𝐿)⟩))
2726eqeq2d 2616 . . 3 ((#‘𝐴) = 𝐿 → (((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) = (𝐵 substr ⟨(𝑀 − (#‘𝐴)), (𝑁 − (#‘𝐴))⟩) ↔ ((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) = (𝐵 substr ⟨(𝑀𝐿), (𝑁𝐿)⟩)))
2822, 27sylibd 227 . 2 ((#‘𝐴) = 𝐿 → (𝜑 → ((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) = (𝐵 substr ⟨(𝑀𝐿), (𝑁𝐿)⟩)))
291, 28mpcom 37 1 (𝜑 → ((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) = (𝐵 substr ⟨(𝑀𝐿), (𝑁𝐿)⟩))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  wa 382   = wceq 1474  wcel 1976  cop 4127  cfv 5787  (class class class)co 6524   + caddc 9792  cmin 10114  ...cfz 12149  #chash 12931  Word cword 13089   ++ cconcat 13091   substr csubstr 13093
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2229  ax-ext 2586  ax-rep 4690  ax-sep 4700  ax-nul 4709  ax-pow 4761  ax-pr 4825  ax-un 6821  ax-cnex 9845  ax-resscn 9846  ax-1cn 9847  ax-icn 9848  ax-addcl 9849  ax-addrcl 9850  ax-mulcl 9851  ax-mulrcl 9852  ax-mulcom 9853  ax-addass 9854  ax-mulass 9855  ax-distr 9856  ax-i2m1 9857  ax-1ne0 9858  ax-1rid 9859  ax-rnegex 9860  ax-rrecex 9861  ax-cnre 9862  ax-pre-lttri 9863  ax-pre-lttrn 9864  ax-pre-ltadd 9865  ax-pre-mulgt0 9866
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2458  df-mo 2459  df-clab 2593  df-cleq 2599  df-clel 2602  df-nfc 2736  df-ne 2778  df-nel 2779  df-ral 2897  df-rex 2898  df-reu 2899  df-rab 2901  df-v 3171  df-sbc 3399  df-csb 3496  df-dif 3539  df-un 3541  df-in 3543  df-ss 3550  df-pss 3552  df-nul 3871  df-if 4033  df-pw 4106  df-sn 4122  df-pr 4124  df-tp 4126  df-op 4128  df-uni 4364  df-int 4402  df-iun 4448  df-br 4575  df-opab 4635  df-mpt 4636  df-tr 4672  df-eprel 4936  df-id 4940  df-po 4946  df-so 4947  df-fr 4984  df-we 4986  df-xp 5031  df-rel 5032  df-cnv 5033  df-co 5034  df-dm 5035  df-rn 5036  df-res 5037  df-ima 5038  df-pred 5580  df-ord 5626  df-on 5627  df-lim 5628  df-suc 5629  df-iota 5751  df-fun 5789  df-fn 5790  df-f 5791  df-f1 5792  df-fo 5793  df-f1o 5794  df-fv 5795  df-riota 6486  df-ov 6527  df-oprab 6528  df-mpt2 6529  df-om 6932  df-1st 7033  df-2nd 7034  df-wrecs 7268  df-recs 7329  df-rdg 7367  df-1o 7421  df-oadd 7425  df-er 7603  df-en 7816  df-dom 7817  df-sdom 7818  df-fin 7819  df-card 8622  df-pnf 9929  df-mnf 9930  df-xr 9931  df-ltxr 9932  df-le 9933  df-sub 10116  df-neg 10117  df-nn 10865  df-n0 11137  df-z 11208  df-uz 11517  df-fz 12150  df-fzo 12287  df-hash 12932  df-word 13097  df-concat 13099  df-substr 13101
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator