MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  swrdccatwrd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem swrdccatwrd 13450
Description: Reconstruct a nonempty word from its prefix and last symbol. (Contributed by Alexander van der Vekens, 5-Aug-2018.)
Assertion
Ref Expression
swrdccatwrd ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑊 ≠ ∅) → ((𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩) ++ ⟨“( lastS ‘𝑊)”⟩) = 𝑊)

Proof of Theorem swrdccatwrd
StepHypRef Expression
1 lennncl 13308 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑊 ≠ ∅) → (#‘𝑊) ∈ ℕ)
2 fzo0end 12544 . . . . . 6 ((#‘𝑊) ∈ ℕ → ((#‘𝑊) − 1) ∈ (0..^(#‘𝑊)))
31, 2syl 17 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑊 ≠ ∅) → ((#‘𝑊) − 1) ∈ (0..^(#‘𝑊)))
4 swrds1 13433 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((#‘𝑊) − 1) ∈ (0..^(#‘𝑊))) → (𝑊 substr ⟨((#‘𝑊) − 1), (((#‘𝑊) − 1) + 1)⟩) = ⟨“(𝑊‘((#‘𝑊) − 1))”⟩)
53, 4syldan 487 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑊 ≠ ∅) → (𝑊 substr ⟨((#‘𝑊) − 1), (((#‘𝑊) − 1) + 1)⟩) = ⟨“(𝑊‘((#‘𝑊) − 1))”⟩)
6 nncn 11013 . . . . . . . . 9 ((#‘𝑊) ∈ ℕ → (#‘𝑊) ∈ ℂ)
7 1cnd 10041 . . . . . . . . 9 ((#‘𝑊) ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
86, 7npcand 10381 . . . . . . . 8 ((#‘𝑊) ∈ ℕ → (((#‘𝑊) − 1) + 1) = (#‘𝑊))
98eqcomd 2626 . . . . . . 7 ((#‘𝑊) ∈ ℕ → (#‘𝑊) = (((#‘𝑊) − 1) + 1))
101, 9syl 17 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑊 ≠ ∅) → (#‘𝑊) = (((#‘𝑊) − 1) + 1))
1110opeq2d 4400 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑊 ≠ ∅) → ⟨((#‘𝑊) − 1), (#‘𝑊)⟩ = ⟨((#‘𝑊) − 1), (((#‘𝑊) − 1) + 1)⟩)
1211oveq2d 6651 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑊 ≠ ∅) → (𝑊 substr ⟨((#‘𝑊) − 1), (#‘𝑊)⟩) = (𝑊 substr ⟨((#‘𝑊) − 1), (((#‘𝑊) − 1) + 1)⟩))
13 lsw 13334 . . . . . 6 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ( lastS ‘𝑊) = (𝑊‘((#‘𝑊) − 1)))
1413adantr 481 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑊 ≠ ∅) → ( lastS ‘𝑊) = (𝑊‘((#‘𝑊) − 1)))
1514s1eqd 13364 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑊 ≠ ∅) → ⟨“( lastS ‘𝑊)”⟩ = ⟨“(𝑊‘((#‘𝑊) − 1))”⟩)
165, 12, 153eqtr4rd 2665 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑊 ≠ ∅) → ⟨“( lastS ‘𝑊)”⟩ = (𝑊 substr ⟨((#‘𝑊) − 1), (#‘𝑊)⟩))
1716oveq2d 6651 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑊 ≠ ∅) → ((𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩) ++ ⟨“( lastS ‘𝑊)”⟩) = ((𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩) ++ (𝑊 substr ⟨((#‘𝑊) − 1), (#‘𝑊)⟩)))
18 nnm1nn0 11319 . . . . . 6 ((#‘𝑊) ∈ ℕ → ((#‘𝑊) − 1) ∈ ℕ0)
19 0elfz 12420 . . . . . 6 (((#‘𝑊) − 1) ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...((#‘𝑊) − 1)))
2018, 19syl 17 . . . . 5 ((#‘𝑊) ∈ ℕ → 0 ∈ (0...((#‘𝑊) − 1)))
21 1nn0 11293 . . . . . . . 8 1 ∈ ℕ0
2221a1i 11 . . . . . . 7 ((#‘𝑊) ∈ ℕ → 1 ∈ ℕ0)
23 nnnn0 11284 . . . . . . 7 ((#‘𝑊) ∈ ℕ → (#‘𝑊) ∈ ℕ0)
24 nnge1 11031 . . . . . . 7 ((#‘𝑊) ∈ ℕ → 1 ≤ (#‘𝑊))
25 elfz2nn0 12415 . . . . . . 7 (1 ∈ (0...(#‘𝑊)) ↔ (1 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ (#‘𝑊)))
2622, 23, 24, 25syl3anbrc 1244 . . . . . 6 ((#‘𝑊) ∈ ℕ → 1 ∈ (0...(#‘𝑊)))
27 elfz1end 12356 . . . . . . 7 ((#‘𝑊) ∈ ℕ ↔ (#‘𝑊) ∈ (1...(#‘𝑊)))
2827biimpi 206 . . . . . 6 ((#‘𝑊) ∈ ℕ → (#‘𝑊) ∈ (1...(#‘𝑊)))
29 fz0fzdiffz0 12432 . . . . . 6 ((1 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ (#‘𝑊) ∈ (1...(#‘𝑊))) → ((#‘𝑊) − 1) ∈ (0...(#‘𝑊)))
3026, 28, 29syl2anc 692 . . . . 5 ((#‘𝑊) ∈ ℕ → ((#‘𝑊) − 1) ∈ (0...(#‘𝑊)))
31 nn0fz0 12421 . . . . . . 7 ((#‘𝑊) ∈ ℕ0 ↔ (#‘𝑊) ∈ (0...(#‘𝑊)))
3231biimpi 206 . . . . . 6 ((#‘𝑊) ∈ ℕ0 → (#‘𝑊) ∈ (0...(#‘𝑊)))
3323, 32syl 17 . . . . 5 ((#‘𝑊) ∈ ℕ → (#‘𝑊) ∈ (0...(#‘𝑊)))
3420, 30, 333jca 1240 . . . 4 ((#‘𝑊) ∈ ℕ → (0 ∈ (0...((#‘𝑊) − 1)) ∧ ((#‘𝑊) − 1) ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ (#‘𝑊) ∈ (0...(#‘𝑊))))
351, 34syl 17 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑊 ≠ ∅) → (0 ∈ (0...((#‘𝑊) − 1)) ∧ ((#‘𝑊) − 1) ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ (#‘𝑊) ∈ (0...(#‘𝑊))))
36 ccatswrd 13438 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (0 ∈ (0...((#‘𝑊) − 1)) ∧ ((#‘𝑊) − 1) ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ (#‘𝑊) ∈ (0...(#‘𝑊)))) → ((𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩) ++ (𝑊 substr ⟨((#‘𝑊) − 1), (#‘𝑊)⟩)) = (𝑊 substr ⟨0, (#‘𝑊)⟩))
3735, 36syldan 487 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑊 ≠ ∅) → ((𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩) ++ (𝑊 substr ⟨((#‘𝑊) − 1), (#‘𝑊)⟩)) = (𝑊 substr ⟨0, (#‘𝑊)⟩))
38 swrdid 13410 . . 3 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 substr ⟨0, (#‘𝑊)⟩) = 𝑊)
3938adantr 481 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑊 ≠ ∅) → (𝑊 substr ⟨0, (#‘𝑊)⟩) = 𝑊)
4017, 37, 393eqtrd 2658 1 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑊 ≠ ∅) → ((𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩) ++ ⟨“( lastS ‘𝑊)”⟩) = 𝑊)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  w3a 1036   = wceq 1481  wcel 1988  wne 2791  c0 3907  cop 4174   class class class wbr 4644  cfv 5876  (class class class)co 6635  0cc0 9921  1c1 9922   + caddc 9924  cle 10060  cmin 10251  cn 11005  0cn0 11277  ...cfz 12311  ..^cfzo 12449  #chash 13100  Word cword 13274   lastS clsw 13275   ++ cconcat 13276  ⟨“cs1 13277   substr csubstr 13278
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-rep 4762  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997  ax-pre-mulgt0 9998
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-int 4467  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-om 7051  df-1st 7153  df-2nd 7154  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-1o 7545  df-oadd 7549  df-er 7727  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-fin 7944  df-card 8750  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-sub 10253  df-neg 10254  df-nn 11006  df-n0 11278  df-z 11363  df-uz 11673  df-fz 12312  df-fzo 12450  df-hash 13101  df-word 13282  df-lsw 13283  df-concat 13284  df-s1 13285  df-substr 13286
This theorem is referenced by:  ccats1swrdeq  13451  wrdind  13458  wrd2ind  13459  psgnunilem5  17895  wwlksnextwrd  26773  iwrdsplit  30423  signsvtn0  30621  signstfveq0  30628
  Copyright terms: Public domain W3C validator