MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  swrdccatwrd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem swrdccatwrd 13262
Description: Reconstruct a nonempty word from its prefix and last symbol. (Contributed by Alexander van der Vekens, 5-Aug-2018.)
Assertion
Ref Expression
swrdccatwrd ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑊 ≠ ∅) → ((𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩) ++ ⟨“( lastS ‘𝑊)”⟩) = 𝑊)

Proof of Theorem swrdccatwrd
StepHypRef Expression
1 lennncl 13122 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑊 ≠ ∅) → (#‘𝑊) ∈ ℕ)
2 fzo0end 12377 . . . . . 6 ((#‘𝑊) ∈ ℕ → ((#‘𝑊) − 1) ∈ (0..^(#‘𝑊)))
31, 2syl 17 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑊 ≠ ∅) → ((#‘𝑊) − 1) ∈ (0..^(#‘𝑊)))
4 swrds1 13245 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((#‘𝑊) − 1) ∈ (0..^(#‘𝑊))) → (𝑊 substr ⟨((#‘𝑊) − 1), (((#‘𝑊) − 1) + 1)⟩) = ⟨“(𝑊‘((#‘𝑊) − 1))”⟩)
53, 4syldan 485 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑊 ≠ ∅) → (𝑊 substr ⟨((#‘𝑊) − 1), (((#‘𝑊) − 1) + 1)⟩) = ⟨“(𝑊‘((#‘𝑊) − 1))”⟩)
6 nncn 10871 . . . . . . . . 9 ((#‘𝑊) ∈ ℕ → (#‘𝑊) ∈ ℂ)
7 1cnd 9908 . . . . . . . . 9 ((#‘𝑊) ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
86, 7npcand 10243 . . . . . . . 8 ((#‘𝑊) ∈ ℕ → (((#‘𝑊) − 1) + 1) = (#‘𝑊))
98eqcomd 2611 . . . . . . 7 ((#‘𝑊) ∈ ℕ → (#‘𝑊) = (((#‘𝑊) − 1) + 1))
101, 9syl 17 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑊 ≠ ∅) → (#‘𝑊) = (((#‘𝑊) − 1) + 1))
1110opeq2d 4337 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑊 ≠ ∅) → ⟨((#‘𝑊) − 1), (#‘𝑊)⟩ = ⟨((#‘𝑊) − 1), (((#‘𝑊) − 1) + 1)⟩)
1211oveq2d 6539 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑊 ≠ ∅) → (𝑊 substr ⟨((#‘𝑊) − 1), (#‘𝑊)⟩) = (𝑊 substr ⟨((#‘𝑊) − 1), (((#‘𝑊) − 1) + 1)⟩))
13 lsw 13146 . . . . . 6 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ( lastS ‘𝑊) = (𝑊‘((#‘𝑊) − 1)))
1413adantr 479 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑊 ≠ ∅) → ( lastS ‘𝑊) = (𝑊‘((#‘𝑊) − 1)))
1514s1eqd 13176 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑊 ≠ ∅) → ⟨“( lastS ‘𝑊)”⟩ = ⟨“(𝑊‘((#‘𝑊) − 1))”⟩)
165, 12, 153eqtr4rd 2650 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑊 ≠ ∅) → ⟨“( lastS ‘𝑊)”⟩ = (𝑊 substr ⟨((#‘𝑊) − 1), (#‘𝑊)⟩))
1716oveq2d 6539 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑊 ≠ ∅) → ((𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩) ++ ⟨“( lastS ‘𝑊)”⟩) = ((𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩) ++ (𝑊 substr ⟨((#‘𝑊) − 1), (#‘𝑊)⟩)))
18 nnm1nn0 11177 . . . . . 6 ((#‘𝑊) ∈ ℕ → ((#‘𝑊) − 1) ∈ ℕ0)
19 0elfz 12256 . . . . . 6 (((#‘𝑊) − 1) ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...((#‘𝑊) − 1)))
2018, 19syl 17 . . . . 5 ((#‘𝑊) ∈ ℕ → 0 ∈ (0...((#‘𝑊) − 1)))
21 1nn0 11151 . . . . . . . 8 1 ∈ ℕ0
2221a1i 11 . . . . . . 7 ((#‘𝑊) ∈ ℕ → 1 ∈ ℕ0)
23 nnnn0 11142 . . . . . . 7 ((#‘𝑊) ∈ ℕ → (#‘𝑊) ∈ ℕ0)
24 nnge1 10889 . . . . . . 7 ((#‘𝑊) ∈ ℕ → 1 ≤ (#‘𝑊))
25 elfz2nn0 12251 . . . . . . 7 (1 ∈ (0...(#‘𝑊)) ↔ (1 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ (#‘𝑊)))
2622, 23, 24, 25syl3anbrc 1238 . . . . . 6 ((#‘𝑊) ∈ ℕ → 1 ∈ (0...(#‘𝑊)))
27 elfz1end 12193 . . . . . . 7 ((#‘𝑊) ∈ ℕ ↔ (#‘𝑊) ∈ (1...(#‘𝑊)))
2827biimpi 204 . . . . . 6 ((#‘𝑊) ∈ ℕ → (#‘𝑊) ∈ (1...(#‘𝑊)))
29 fz0fzdiffz0 12268 . . . . . 6 ((1 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ (#‘𝑊) ∈ (1...(#‘𝑊))) → ((#‘𝑊) − 1) ∈ (0...(#‘𝑊)))
3026, 28, 29syl2anc 690 . . . . 5 ((#‘𝑊) ∈ ℕ → ((#‘𝑊) − 1) ∈ (0...(#‘𝑊)))
31 nn0fz0 12257 . . . . . . 7 ((#‘𝑊) ∈ ℕ0 ↔ (#‘𝑊) ∈ (0...(#‘𝑊)))
3231biimpi 204 . . . . . 6 ((#‘𝑊) ∈ ℕ0 → (#‘𝑊) ∈ (0...(#‘𝑊)))
3323, 32syl 17 . . . . 5 ((#‘𝑊) ∈ ℕ → (#‘𝑊) ∈ (0...(#‘𝑊)))
3420, 30, 333jca 1234 . . . 4 ((#‘𝑊) ∈ ℕ → (0 ∈ (0...((#‘𝑊) − 1)) ∧ ((#‘𝑊) − 1) ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ (#‘𝑊) ∈ (0...(#‘𝑊))))
351, 34syl 17 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑊 ≠ ∅) → (0 ∈ (0...((#‘𝑊) − 1)) ∧ ((#‘𝑊) − 1) ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ (#‘𝑊) ∈ (0...(#‘𝑊))))
36 ccatswrd 13250 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (0 ∈ (0...((#‘𝑊) − 1)) ∧ ((#‘𝑊) − 1) ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ (#‘𝑊) ∈ (0...(#‘𝑊)))) → ((𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩) ++ (𝑊 substr ⟨((#‘𝑊) − 1), (#‘𝑊)⟩)) = (𝑊 substr ⟨0, (#‘𝑊)⟩))
3735, 36syldan 485 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑊 ≠ ∅) → ((𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩) ++ (𝑊 substr ⟨((#‘𝑊) − 1), (#‘𝑊)⟩)) = (𝑊 substr ⟨0, (#‘𝑊)⟩))
38 swrdid 13222 . . 3 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 substr ⟨0, (#‘𝑊)⟩) = 𝑊)
3938adantr 479 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑊 ≠ ∅) → (𝑊 substr ⟨0, (#‘𝑊)⟩) = 𝑊)
4017, 37, 393eqtrd 2643 1 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑊 ≠ ∅) → ((𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩) ++ ⟨“( lastS ‘𝑊)”⟩) = 𝑊)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1975  wne 2775  c0 3869  cop 4126   class class class wbr 4573  cfv 5786  (class class class)co 6523  0cc0 9788  1c1 9789   + caddc 9791  cle 9927  cmin 10113  cn 10863  0cn0 11135  ...cfz 12148  ..^cfzo 12285  #chash 12930  Word cword 13088   lastS clsw 13089   ++ cconcat 13090  ⟨“cs1 13091   substr csubstr 13092
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-8 1977  ax-9 1984  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2228  ax-ext 2585  ax-rep 4689  ax-sep 4699  ax-nul 4708  ax-pow 4760  ax-pr 4824  ax-un 6820  ax-cnex 9844  ax-resscn 9845  ax-1cn 9846  ax-icn 9847  ax-addcl 9848  ax-addrcl 9849  ax-mulcl 9850  ax-mulrcl 9851  ax-mulcom 9852  ax-addass 9853  ax-mulass 9854  ax-distr 9855  ax-i2m1 9856  ax-1ne0 9857  ax-1rid 9858  ax-rnegex 9859  ax-rrecex 9860  ax-cnre 9861  ax-pre-lttri 9862  ax-pre-lttrn 9863  ax-pre-ltadd 9864  ax-pre-mulgt0 9865
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2457  df-mo 2458  df-clab 2592  df-cleq 2598  df-clel 2601  df-nfc 2735  df-ne 2777  df-nel 2778  df-ral 2896  df-rex 2897  df-reu 2898  df-rab 2900  df-v 3170  df-sbc 3398  df-csb 3495  df-dif 3538  df-un 3540  df-in 3542  df-ss 3549  df-pss 3551  df-nul 3870  df-if 4032  df-pw 4105  df-sn 4121  df-pr 4123  df-tp 4125  df-op 4127  df-uni 4363  df-int 4401  df-iun 4447  df-br 4574  df-opab 4634  df-mpt 4635  df-tr 4671  df-eprel 4935  df-id 4939  df-po 4945  df-so 4946  df-fr 4983  df-we 4985  df-xp 5030  df-rel 5031  df-cnv 5032  df-co 5033  df-dm 5034  df-rn 5035  df-res 5036  df-ima 5037  df-pred 5579  df-ord 5625  df-on 5626  df-lim 5627  df-suc 5628  df-iota 5750  df-fun 5788  df-fn 5789  df-f 5790  df-f1 5791  df-fo 5792  df-f1o 5793  df-fv 5794  df-riota 6485  df-ov 6526  df-oprab 6527  df-mpt2 6528  df-om 6931  df-1st 7032  df-2nd 7033  df-wrecs 7267  df-recs 7328  df-rdg 7366  df-1o 7420  df-oadd 7424  df-er 7602  df-en 7815  df-dom 7816  df-sdom 7817  df-fin 7818  df-card 8621  df-pnf 9928  df-mnf 9929  df-xr 9930  df-ltxr 9931  df-le 9932  df-sub 10115  df-neg 10116  df-nn 10864  df-n0 11136  df-z 11207  df-uz 11516  df-fz 12149  df-fzo 12286  df-hash 12931  df-word 13096  df-lsw 13097  df-concat 13098  df-s1 13099  df-substr 13100
This theorem is referenced by:  ccats1swrdeq  13263  wrdind  13270  wrd2ind  13271  psgnunilem5  17679  wwlkextwrd  26018  iwrdsplit  29578  signsvtn0  29775  signstfveq0  29782  wwlksnextwrd  41101
  Copyright terms: Public domain W3C validator