MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  swrdfv0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem swrdfv0 13620
Description: The first symbol in an extracted subword. (Contributed by AV, 27-Apr-2022.)
Assertion
Ref Expression
swrdfv0 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝐹 ∈ (0..^𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → ((𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩)‘0) = (𝑆𝐹))

Proof of Theorem swrdfv0
StepHypRef Expression
1 elfzofz 12675 . . . 4 (𝐹 ∈ (0..^𝐿) → 𝐹 ∈ (0...𝐿))
213anim2i 1157 . . 3 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝐹 ∈ (0..^𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → (𝑆 ∈ Word 𝐴𝐹 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))))
3 fzonnsub 12683 . . . . 5 (𝐹 ∈ (0..^𝐿) → (𝐿𝐹) ∈ ℕ)
433ad2ant2 1129 . . . 4 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝐹 ∈ (0..^𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → (𝐿𝐹) ∈ ℕ)
5 lbfzo0 12698 . . . 4 (0 ∈ (0..^(𝐿𝐹)) ↔ (𝐿𝐹) ∈ ℕ)
64, 5sylibr 224 . . 3 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝐹 ∈ (0..^𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → 0 ∈ (0..^(𝐿𝐹)))
7 swrdfv 13619 . . 3 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝐹 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) ∧ 0 ∈ (0..^(𝐿𝐹))) → ((𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩)‘0) = (𝑆‘(0 + 𝐹)))
82, 6, 7syl2anc 696 . 2 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝐹 ∈ (0..^𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → ((𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩)‘0) = (𝑆‘(0 + 𝐹)))
9 elfzoelz 12660 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (0..^𝐿) → 𝐹 ∈ ℤ)
109zcnd 11671 . . . . 5 (𝐹 ∈ (0..^𝐿) → 𝐹 ∈ ℂ)
1110addid2d 10425 . . . 4 (𝐹 ∈ (0..^𝐿) → (0 + 𝐹) = 𝐹)
1211fveq2d 6352 . . 3 (𝐹 ∈ (0..^𝐿) → (𝑆‘(0 + 𝐹)) = (𝑆𝐹))
13123ad2ant2 1129 . 2 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝐹 ∈ (0..^𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → (𝑆‘(0 + 𝐹)) = (𝑆𝐹))
148, 13eqtrd 2790 1 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝐹 ∈ (0..^𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → ((𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩)‘0) = (𝑆𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1072   = wceq 1628  wcel 2135  cop 4323  cfv 6045  (class class class)co 6809  0cc0 10124   + caddc 10127  cmin 10454  cn 11208  ...cfz 12515  ..^cfzo 12655  chash 13307  Word cword 13473   substr csubstr 13477
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1867  ax-4 1882  ax-5 1984  ax-6 2050  ax-7 2086  ax-8 2137  ax-9 2144  ax-10 2164  ax-11 2179  ax-12 2192  ax-13 2387  ax-ext 2736  ax-rep 4919  ax-sep 4929  ax-nul 4937  ax-pow 4988  ax-pr 5051  ax-un 7110  ax-cnex 10180  ax-resscn 10181  ax-1cn 10182  ax-icn 10183  ax-addcl 10184  ax-addrcl 10185  ax-mulcl 10186  ax-mulrcl 10187  ax-mulcom 10188  ax-addass 10189  ax-mulass 10190  ax-distr 10191  ax-i2m1 10192  ax-1ne0 10193  ax-1rid 10194  ax-rnegex 10195  ax-rrecex 10196  ax-cnre 10197  ax-pre-lttri 10198  ax-pre-lttrn 10199  ax-pre-ltadd 10200  ax-pre-mulgt0 10201
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1631  df-ex 1850  df-nf 1855  df-sb 2043  df-eu 2607  df-mo 2608  df-clab 2743  df-cleq 2749  df-clel 2752  df-nfc 2887  df-ne 2929  df-nel 3032  df-ral 3051  df-rex 3052  df-reu 3053  df-rab 3055  df-v 3338  df-sbc 3573  df-csb 3671  df-dif 3714  df-un 3716  df-in 3718  df-ss 3725  df-pss 3727  df-nul 4055  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4585  df-int 4624  df-iun 4670  df-br 4801  df-opab 4861  df-mpt 4878  df-tr 4901  df-id 5170  df-eprel 5175  df-po 5183  df-so 5184  df-fr 5221  df-we 5223  df-xp 5268  df-rel 5269  df-cnv 5270  df-co 5271  df-dm 5272  df-rn 5273  df-res 5274  df-ima 5275  df-pred 5837  df-ord 5883  df-on 5884  df-lim 5885  df-suc 5886  df-iota 6008  df-fun 6047  df-fn 6048  df-f 6049  df-f1 6050  df-fo 6051  df-f1o 6052  df-fv 6053  df-riota 6770  df-ov 6812  df-oprab 6813  df-mpt2 6814  df-om 7227  df-1st 7329  df-2nd 7330  df-wrecs 7572  df-recs 7633  df-rdg 7671  df-1o 7725  df-er 7907  df-en 8118  df-dom 8119  df-sdom 8120  df-fin 8121  df-card 8951  df-pnf 10264  df-mnf 10265  df-xr 10266  df-ltxr 10267  df-le 10268  df-sub 10456  df-neg 10457  df-nn 11209  df-n0 11481  df-z 11566  df-uz 11876  df-fz 12516  df-fzo 12656  df-hash 13308  df-word 13481  df-substr 13485
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator