Theorem swrdlen2 14014

Description: Length of an extracted subword. (Contributed by AV, 5-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
swrdlen2	⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ (ℤ≥‘𝐹)) ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)) → (♯‘(𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩)) = (𝐿 − 𝐹))

Proof of Theorem swrdlen2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1131	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ (ℤ≥‘𝐹)) ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)) → 𝑆 ∈ Word 𝑉)
2		simpl 485	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ (ℤ≥‘𝐹)) → 𝐹 ∈ ℕ0)
3		eluznn0 12309	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ (ℤ≥‘𝐹)) → 𝐿 ∈ ℕ0)
4		eluzle 12248	. . . . . 6 ⊢ (𝐿 ∈ (ℤ≥‘𝐹) → 𝐹 ≤ 𝐿)
5	4	adantl 484	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ (ℤ≥‘𝐹)) → 𝐹 ≤ 𝐿)
6	2, 3, 5	3jca 1123	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ (ℤ≥‘𝐹)) → (𝐹 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹 ≤ 𝐿))
7	6	3ad2ant2 1129	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ (ℤ≥‘𝐹)) ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)) → (𝐹 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹 ≤ 𝐿))
8		elfz2nn0 12990	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (0...𝐿) ↔ (𝐹 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹 ≤ 𝐿))
9	7, 8	sylibr 236	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ (ℤ≥‘𝐹)) ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)) → 𝐹 ∈ (0...𝐿))
10	3	3ad2ant2 1129	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ (ℤ≥‘𝐹)) ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)) → 𝐿 ∈ ℕ0)
11		lencl 13875	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑆) ∈ ℕ0)
12	11	3ad2ant1 1128	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ (ℤ≥‘𝐹)) ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)) → (♯‘𝑆) ∈ ℕ0)
13		simp3 1133	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ (ℤ≥‘𝐹)) ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)) → 𝐿 ≤ (♯‘𝑆))
14	10, 12, 13	3jca 1123	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ (ℤ≥‘𝐹)) ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)) → (𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑆) ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)))
15		elfz2nn0 12990	. . 3 ⊢ (𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆)) ↔ (𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑆) ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)))
16	14, 15	sylibr 236	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ (ℤ≥‘𝐹)) ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)) → 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆)))
17		swrdlen 14001	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → (♯‘(𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩)) = (𝐿 − 𝐹))
18	1, 9, 16, 17	syl3anc 1366	1 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ (ℤ≥‘𝐹)) ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)) → (♯‘(𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩)) = (𝐿 − 𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∧ w3a 1082   = wceq 1531   ∈ wcel 2108  ⟨cop 4565   class class class wbr 5057  ‘cfv 6348  (class class class)co 7148  0cc0 10529   ≤ cle 10668   − cmin 10862  ℕ₀cn0 11889  ℤ_≥cuz 12235  ...cfz 12884  ♯chash 13682  Word cword 13853   substr csubstr 13994

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1905  ax-6 1964  ax-7 2009  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2154  ax-12 2170  ax-ext 2791  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1534  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2064  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7573  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-1o 8094  df-oadd 8098  df-er 8281  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-card 9360  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11631  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-fz 12885  df-fzo 13026  df-hash 13683  df-word 13854  df-substr 13995

This theorem is referenced by:  swrdsbslen  14018  swrdspsleq  14019