MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  swrdlsw Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem swrdlsw 13390
Description: Extract the last single symbol from a word. (Contributed by Alexander van der Vekens, 23-Sep-2018.)
Assertion
Ref Expression
swrdlsw ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑊 ≠ ∅) → (𝑊 substr ⟨((#‘𝑊) − 1), (#‘𝑊)⟩) = ⟨“( lastS ‘𝑊)”⟩)

Proof of Theorem swrdlsw
StepHypRef Expression
1 hashneq0 13095 . . . . 5 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (0 < (#‘𝑊) ↔ 𝑊 ≠ ∅))
2 lencl 13263 . . . . . 6 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (#‘𝑊) ∈ ℕ0)
3 nn0z 11344 . . . . . 6 ((#‘𝑊) ∈ ℕ0 → (#‘𝑊) ∈ ℤ)
4 elnnz 11331 . . . . . . . 8 ((#‘𝑊) ∈ ℕ ↔ ((#‘𝑊) ∈ ℤ ∧ 0 < (#‘𝑊)))
5 fzo0end 12501 . . . . . . . 8 ((#‘𝑊) ∈ ℕ → ((#‘𝑊) − 1) ∈ (0..^(#‘𝑊)))
64, 5sylbir 225 . . . . . . 7 (((#‘𝑊) ∈ ℤ ∧ 0 < (#‘𝑊)) → ((#‘𝑊) − 1) ∈ (0..^(#‘𝑊)))
76ex 450 . . . . . 6 ((#‘𝑊) ∈ ℤ → (0 < (#‘𝑊) → ((#‘𝑊) − 1) ∈ (0..^(#‘𝑊))))
82, 3, 73syl 18 . . . . 5 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (0 < (#‘𝑊) → ((#‘𝑊) − 1) ∈ (0..^(#‘𝑊))))
91, 8sylbird 250 . . . 4 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 ≠ ∅ → ((#‘𝑊) − 1) ∈ (0..^(#‘𝑊))))
109imp 445 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑊 ≠ ∅) → ((#‘𝑊) − 1) ∈ (0..^(#‘𝑊)))
11 swrds1 13389 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((#‘𝑊) − 1) ∈ (0..^(#‘𝑊))) → (𝑊 substr ⟨((#‘𝑊) − 1), (((#‘𝑊) − 1) + 1)⟩) = ⟨“(𝑊‘((#‘𝑊) − 1))”⟩)
1210, 11syldan 487 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑊 ≠ ∅) → (𝑊 substr ⟨((#‘𝑊) − 1), (((#‘𝑊) − 1) + 1)⟩) = ⟨“(𝑊‘((#‘𝑊) − 1))”⟩)
13 nn0cn 11246 . . . . . . 7 ((#‘𝑊) ∈ ℕ0 → (#‘𝑊) ∈ ℂ)
14 ax-1cn 9938 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
1513, 14jctir 560 . . . . . 6 ((#‘𝑊) ∈ ℕ0 → ((#‘𝑊) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ))
16 npcan 10234 . . . . . . 7 (((#‘𝑊) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((#‘𝑊) − 1) + 1) = (#‘𝑊))
1716eqcomd 2627 . . . . . 6 (((#‘𝑊) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (#‘𝑊) = (((#‘𝑊) − 1) + 1))
182, 15, 173syl 18 . . . . 5 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (#‘𝑊) = (((#‘𝑊) − 1) + 1))
1918adantr 481 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑊 ≠ ∅) → (#‘𝑊) = (((#‘𝑊) − 1) + 1))
2019opeq2d 4377 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑊 ≠ ∅) → ⟨((#‘𝑊) − 1), (#‘𝑊)⟩ = ⟨((#‘𝑊) − 1), (((#‘𝑊) − 1) + 1)⟩)
2120oveq2d 6620 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑊 ≠ ∅) → (𝑊 substr ⟨((#‘𝑊) − 1), (#‘𝑊)⟩) = (𝑊 substr ⟨((#‘𝑊) − 1), (((#‘𝑊) − 1) + 1)⟩))
22 lsw 13290 . . . 4 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ( lastS ‘𝑊) = (𝑊‘((#‘𝑊) − 1)))
2322adantr 481 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑊 ≠ ∅) → ( lastS ‘𝑊) = (𝑊‘((#‘𝑊) − 1)))
2423s1eqd 13320 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑊 ≠ ∅) → ⟨“( lastS ‘𝑊)”⟩ = ⟨“(𝑊‘((#‘𝑊) − 1))”⟩)
2512, 21, 243eqtr4d 2665 1 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑊 ≠ ∅) → (𝑊 substr ⟨((#‘𝑊) − 1), (#‘𝑊)⟩) = ⟨“( lastS ‘𝑊)”⟩)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  c0 3891  cop 4154   class class class wbr 4613  cfv 5847  (class class class)co 6604  cc 9878  0cc0 9880  1c1 9881   + caddc 9883   < clt 10018  cmin 10210  cn 10964  0cn0 11236  cz 11321  ..^cfzo 12406  #chash 13057  Word cword 13230   lastS clsw 13231  ⟨“cs1 13233   substr csubstr 13234
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-oadd 7509  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-card 8709  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-n0 11237  df-xnn0 11308  df-z 11322  df-uz 11632  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-hash 13058  df-word 13238  df-lsw 13239  df-s1 13241  df-substr 13242
This theorem is referenced by:  2swrd1eqwrdeq  13392  pfxsuff1eqwrdeq  40706  pfxlswccat  40719
  Copyright terms: Public domain W3C validator