MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  swrdn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem swrdn0 13630
Description: A prefixing subword consisting of at least one symbol is not empty. (Contributed by Alexander van der Vekens, 4-Aug-2018.) (Proof shortened by AV, 2-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
swrdn0 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑊)) → (𝑊 substr ⟨0, 𝑁⟩) ≠ ∅)

Proof of Theorem swrdn0
StepHypRef Expression
1 lbfzo0 12702 . . . 4 (0 ∈ (0..^𝑁) ↔ 𝑁 ∈ ℕ)
2 ne0i 4064 . . . 4 (0 ∈ (0..^𝑁) → (0..^𝑁) ≠ ∅)
31, 2sylbir 225 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (0..^𝑁) ≠ ∅)
433ad2ant2 1129 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑊)) → (0..^𝑁) ≠ ∅)
5 simp1 1131 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑊)) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
6 nnnn0 11491 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
763ad2ant2 1129 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑊)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
8 lencl 13510 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
983ad2ant1 1128 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑊)) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
10 simp3 1133 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑊)) → 𝑁 ≤ (♯‘𝑊))
11 elfz2nn0 12624 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0𝑁 ≤ (♯‘𝑊)))
127, 9, 10, 11syl3anbrc 1429 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑊)) → 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)))
13 swrd0f 13627 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (𝑊 substr ⟨0, 𝑁⟩):(0..^𝑁)⟶𝑉)
145, 12, 13syl2anc 696 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑊)) → (𝑊 substr ⟨0, 𝑁⟩):(0..^𝑁)⟶𝑉)
15 f0dom0 6250 . . . . 5 ((𝑊 substr ⟨0, 𝑁⟩):(0..^𝑁)⟶𝑉 → ((0..^𝑁) = ∅ ↔ (𝑊 substr ⟨0, 𝑁⟩) = ∅))
1615bicomd 213 . . . 4 ((𝑊 substr ⟨0, 𝑁⟩):(0..^𝑁)⟶𝑉 → ((𝑊 substr ⟨0, 𝑁⟩) = ∅ ↔ (0..^𝑁) = ∅))
1714, 16syl 17 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑊)) → ((𝑊 substr ⟨0, 𝑁⟩) = ∅ ↔ (0..^𝑁) = ∅))
1817necon3bid 2976 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑊)) → ((𝑊 substr ⟨0, 𝑁⟩) ≠ ∅ ↔ (0..^𝑁) ≠ ∅))
194, 18mpbird 247 1 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑊)) → (𝑊 substr ⟨0, 𝑁⟩) ≠ ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139  wne 2932  c0 4058  cop 4327   class class class wbr 4804  wf 6045  cfv 6049  (class class class)co 6813  0cc0 10128  cle 10267  cn 11212  0cn0 11484  ...cfz 12519  ..^cfzo 12659  chash 13311  Word cword 13477   substr csubstr 13481
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-oadd 7733  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-card 8955  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-nn 11213  df-n0 11485  df-z 11570  df-uz 11880  df-fz 12520  df-fzo 12660  df-hash 13312  df-word 13485  df-substr 13489
This theorem is referenced by:  wwlksnred  27010  clwlkclwwlk  27125  clwwlkinwwlk  27169  clwlksfclwwlkOLD  27216  pfxn0  41904
  Copyright terms: Public domain W3C validator