Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  swrdn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem swrdn0 13630
 Description: A prefixing subword consisting of at least one symbol is not empty. (Contributed by Alexander van der Vekens, 4-Aug-2018.) (Proof shortened by AV, 2-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
swrdn0 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑊)) → (𝑊 substr ⟨0, 𝑁⟩) ≠ ∅)

Proof of Theorem swrdn0
StepHypRef Expression
1 lbfzo0 12702 . . . 4 (0 ∈ (0..^𝑁) ↔ 𝑁 ∈ ℕ)
2 ne0i 4064 . . . 4 (0 ∈ (0..^𝑁) → (0..^𝑁) ≠ ∅)
31, 2sylbir 225 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (0..^𝑁) ≠ ∅)
433ad2ant2 1129 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑊)) → (0..^𝑁) ≠ ∅)
5 simp1 1131 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑊)) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
6 nnnn0 11491 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
763ad2ant2 1129 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑊)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
8 lencl 13510 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
983ad2ant1 1128 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑊)) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
10 simp3 1133 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑊)) → 𝑁 ≤ (♯‘𝑊))
11 elfz2nn0 12624 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0𝑁 ≤ (♯‘𝑊)))
127, 9, 10, 11syl3anbrc 1429 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑊)) → 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)))
13 swrd0f 13627 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (𝑊 substr ⟨0, 𝑁⟩):(0..^𝑁)⟶𝑉)
145, 12, 13syl2anc 696 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑊)) → (𝑊 substr ⟨0, 𝑁⟩):(0..^𝑁)⟶𝑉)
15 f0dom0 6250 . . . . 5 ((𝑊 substr ⟨0, 𝑁⟩):(0..^𝑁)⟶𝑉 → ((0..^𝑁) = ∅ ↔ (𝑊 substr ⟨0, 𝑁⟩) = ∅))
1615bicomd 213 . . . 4 ((𝑊 substr ⟨0, 𝑁⟩):(0..^𝑁)⟶𝑉 → ((𝑊 substr ⟨0, 𝑁⟩) = ∅ ↔ (0..^𝑁) = ∅))
1714, 16syl 17 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑊)) → ((𝑊 substr ⟨0, 𝑁⟩) = ∅ ↔ (0..^𝑁) = ∅))
1817necon3bid 2976 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑊)) → ((𝑊 substr ⟨0, 𝑁⟩) ≠ ∅ ↔ (0..^𝑁) ≠ ∅))
194, 18mpbird 247 1 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑊)) → (𝑊 substr ⟨0, 𝑁⟩) ≠ ∅)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ w3a 1072   = wceq 1632   ∈ wcel 2139   ≠ wne 2932  ∅c0 4058  ⟨cop 4327   class class class wbr 4804  ⟶wf 6045  ‘cfv 6049  (class class class)co 6813  0cc0 10128   ≤ cle 10267  ℕcn 11212  ℕ0cn0 11484  ...cfz 12519  ..^cfzo 12659  ♯chash 13311  Word cword 13477   substr csubstr 13481 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-oadd 7733  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-card 8955  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-nn 11213  df-n0 11485  df-z 11570  df-uz 11880  df-fz 12520  df-fzo 12660  df-hash 13312  df-word 13485  df-substr 13489 This theorem is referenced by:  wwlksnred  27010  clwlkclwwlk  27125  clwwlkinwwlk  27169  clwlksfclwwlkOLD  27216  pfxn0  41904
 Copyright terms: Public domain W3C validator