MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  swrdn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem swrdn0 13228
Description: A prefixing subword consisting of at least one symbol is not empty. (Contributed by Alexander van der Vekens, 4-Aug-2018.) (Proof shortened by AV, 2-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
swrdn0 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≤ (#‘𝑊)) → (𝑊 substr ⟨0, 𝑁⟩) ≠ ∅)

Proof of Theorem swrdn0
StepHypRef Expression
1 lbfzo0 12330 . . . 4 (0 ∈ (0..^𝑁) ↔ 𝑁 ∈ ℕ)
2 ne0i 3879 . . . 4 (0 ∈ (0..^𝑁) → (0..^𝑁) ≠ ∅)
31, 2sylbir 223 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (0..^𝑁) ≠ ∅)
433ad2ant2 1075 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≤ (#‘𝑊)) → (0..^𝑁) ≠ ∅)
5 simp1 1053 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≤ (#‘𝑊)) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
6 nnnn0 11146 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
763ad2ant2 1075 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≤ (#‘𝑊)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
8 lencl 13125 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (#‘𝑊) ∈ ℕ0)
983ad2ant1 1074 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≤ (#‘𝑊)) → (#‘𝑊) ∈ ℕ0)
10 simp3 1055 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≤ (#‘𝑊)) → 𝑁 ≤ (#‘𝑊))
11 elfz2nn0 12255 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊)) ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ0𝑁 ≤ (#‘𝑊)))
127, 9, 10, 11syl3anbrc 1238 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≤ (#‘𝑊)) → 𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊)))
13 swrd0f 13225 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊))) → (𝑊 substr ⟨0, 𝑁⟩):(0..^𝑁)⟶𝑉)
145, 12, 13syl2anc 690 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≤ (#‘𝑊)) → (𝑊 substr ⟨0, 𝑁⟩):(0..^𝑁)⟶𝑉)
15 f0dom0 5987 . . . . 5 ((𝑊 substr ⟨0, 𝑁⟩):(0..^𝑁)⟶𝑉 → ((0..^𝑁) = ∅ ↔ (𝑊 substr ⟨0, 𝑁⟩) = ∅))
1615bicomd 211 . . . 4 ((𝑊 substr ⟨0, 𝑁⟩):(0..^𝑁)⟶𝑉 → ((𝑊 substr ⟨0, 𝑁⟩) = ∅ ↔ (0..^𝑁) = ∅))
1714, 16syl 17 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≤ (#‘𝑊)) → ((𝑊 substr ⟨0, 𝑁⟩) = ∅ ↔ (0..^𝑁) = ∅))
1817necon3bid 2825 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≤ (#‘𝑊)) → ((𝑊 substr ⟨0, 𝑁⟩) ≠ ∅ ↔ (0..^𝑁) ≠ ∅))
194, 18mpbird 245 1 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≤ (#‘𝑊)) → (𝑊 substr ⟨0, 𝑁⟩) ≠ ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1976  wne 2779  c0 3873  cop 4130   class class class wbr 4577  wf 5786  cfv 5790  (class class class)co 6527  0cc0 9792  cle 9931  cn 10867  0cn0 11139  ...cfz 12152  ..^cfzo 12289  #chash 12934  Word cword 13092   substr csubstr 13096
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-1o 7424  df-oadd 7428  df-er 7606  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-fin 7822  df-card 8625  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-nn 10868  df-n0 11140  df-z 11211  df-uz 11520  df-fz 12153  df-fzo 12290  df-hash 12935  df-word 13100  df-substr 13104
This theorem is referenced by:  wwlknred  26017  wwlksubclwwlk  26098  pfxn0  40055  wwlksnred  41093  clwlkclwwlk  41206  clwlksfclwwlk  41264  av-extwwlkfablem2  41505
  Copyright terms: Public domain W3C validator