MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  swrdnd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem swrdnd 13624
Description: The value of the subword extractor is the empty set (undefined) if the range is not valid. (Contributed by Alexander van der Vekens, 16-Mar-2018.) (Proof shortened by AV, 2-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
swrdnd ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((𝐹 < 0 ∨ 𝐿𝐹 ∨ (♯‘𝑊) < 𝐿) → (𝑊 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅))

Proof of Theorem swrdnd
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 3orcomb 1079 . . . 4 ((𝐹 < 0 ∨ 𝐿𝐹 ∨ (♯‘𝑊) < 𝐿) ↔ (𝐹 < 0 ∨ (♯‘𝑊) < 𝐿𝐿𝐹))
2 df-3or 1073 . . . 4 ((𝐹 < 0 ∨ (♯‘𝑊) < 𝐿𝐿𝐹) ↔ ((𝐹 < 0 ∨ (♯‘𝑊) < 𝐿) ∨ 𝐿𝐹))
31, 2bitri 264 . . 3 ((𝐹 < 0 ∨ 𝐿𝐹 ∨ (♯‘𝑊) < 𝐿) ↔ ((𝐹 < 0 ∨ (♯‘𝑊) < 𝐿) ∨ 𝐿𝐹))
4 swrdlend 13623 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝐿𝐹 → (𝑊 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅))
54com12 32 . . . . 5 (𝐿𝐹 → ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝑊 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅))
6 swrdval 13608 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝑊 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = if((𝐹..^𝐿) ⊆ dom 𝑊, (𝑖 ∈ (0..^(𝐿𝐹)) ↦ (𝑊‘(𝑖 + 𝐹))), ∅))
76adantl 473 . . . . . . . 8 ((((𝐹 < 0 ∨ (♯‘𝑊) < 𝐿) ∧ ¬ 𝐿𝐹) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → (𝑊 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = if((𝐹..^𝐿) ⊆ dom 𝑊, (𝑖 ∈ (0..^(𝐿𝐹)) ↦ (𝑊‘(𝑖 + 𝐹))), ∅))
8 zre 11565 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐹 ∈ ℤ → 𝐹 ∈ ℝ)
9 0red 10225 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐹 ∈ ℤ → 0 ∈ ℝ)
108, 9ltnled 10368 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐹 ∈ ℤ → (𝐹 < 0 ↔ ¬ 0 ≤ 𝐹))
11103ad2ant2 1128 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝐹 < 0 ↔ ¬ 0 ≤ 𝐹))
12 lencl 13502 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
1312nn0red 11536 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℝ)
14 zre 11565 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐿 ∈ ℤ → 𝐿 ∈ ℝ)
1513, 14anim12i 591 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ ℤ) → ((♯‘𝑊) ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ))
16153adant2 1125 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((♯‘𝑊) ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ))
17 ltnle 10301 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((♯‘𝑊) ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → ((♯‘𝑊) < 𝐿 ↔ ¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊)))
1816, 17syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((♯‘𝑊) < 𝐿 ↔ ¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊)))
1911, 18orbi12d 748 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((𝐹 < 0 ∨ (♯‘𝑊) < 𝐿) ↔ (¬ 0 ≤ 𝐹 ∨ ¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊))))
2019biimpcd 239 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹 < 0 ∨ (♯‘𝑊) < 𝐿) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (¬ 0 ≤ 𝐹 ∨ ¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊))))
2120adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹 < 0 ∨ (♯‘𝑊) < 𝐿) ∧ ¬ 𝐿𝐹) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (¬ 0 ≤ 𝐹 ∨ ¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊))))
2221imp 444 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐹 < 0 ∨ (♯‘𝑊) < 𝐿) ∧ ¬ 𝐿𝐹) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → (¬ 0 ≤ 𝐹 ∨ ¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊)))
23 ianor 510 . . . . . . . . . . . 12 (¬ (0 ≤ 𝐹𝐿 ≤ (♯‘𝑊)) ↔ (¬ 0 ≤ 𝐹 ∨ ¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊)))
2422, 23sylibr 224 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐹 < 0 ∨ (♯‘𝑊) < 𝐿) ∧ ¬ 𝐿𝐹) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → ¬ (0 ≤ 𝐹𝐿 ≤ (♯‘𝑊)))
25 3simpc 1146 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ))
2625adantl 473 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐹 < 0 ∨ (♯‘𝑊) < 𝐿) ∧ ¬ 𝐿𝐹) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ))
2712nn0zd 11664 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℤ)
28 0z 11572 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 ∈ ℤ
2927, 28jctil 561 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (0 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℤ))
30293ad2ant1 1127 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (0 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℤ))
3130adantl 473 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐹 < 0 ∨ (♯‘𝑊) < 𝐿) ∧ ¬ 𝐿𝐹) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → (0 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℤ))
32 ltnle 10301 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐹 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → (𝐹 < 𝐿 ↔ ¬ 𝐿𝐹))
338, 14, 32syl2an 495 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝐹 < 𝐿 ↔ ¬ 𝐿𝐹))
34333adant1 1124 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝐹 < 𝐿 ↔ ¬ 𝐿𝐹))
3534biimprcd 240 . . . . . . . . . . . . . 14 𝐿𝐹 → ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → 𝐹 < 𝐿))
3635adantl 473 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹 < 0 ∨ (♯‘𝑊) < 𝐿) ∧ ¬ 𝐿𝐹) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → 𝐹 < 𝐿))
3736imp 444 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐹 < 0 ∨ (♯‘𝑊) < 𝐿) ∧ ¬ 𝐿𝐹) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → 𝐹 < 𝐿)
38 ssfzo12bi 12749 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (0 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℤ) ∧ 𝐹 < 𝐿) → ((𝐹..^𝐿) ⊆ (0..^(♯‘𝑊)) ↔ (0 ≤ 𝐹𝐿 ≤ (♯‘𝑊))))
3926, 31, 37, 38syl3anc 1473 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐹 < 0 ∨ (♯‘𝑊) < 𝐿) ∧ ¬ 𝐿𝐹) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → ((𝐹..^𝐿) ⊆ (0..^(♯‘𝑊)) ↔ (0 ≤ 𝐹𝐿 ≤ (♯‘𝑊))))
4024, 39mtbird 314 . . . . . . . . . 10 ((((𝐹 < 0 ∨ (♯‘𝑊) < 𝐿) ∧ ¬ 𝐿𝐹) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → ¬ (𝐹..^𝐿) ⊆ (0..^(♯‘𝑊)))
41 wrddm 13490 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊)))
4241sseq2d 3766 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ((𝐹..^𝐿) ⊆ dom 𝑊 ↔ (𝐹..^𝐿) ⊆ (0..^(♯‘𝑊))))
4342notbid 307 . . . . . . . . . . . 12 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (¬ (𝐹..^𝐿) ⊆ dom 𝑊 ↔ ¬ (𝐹..^𝐿) ⊆ (0..^(♯‘𝑊))))
44433ad2ant1 1127 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (¬ (𝐹..^𝐿) ⊆ dom 𝑊 ↔ ¬ (𝐹..^𝐿) ⊆ (0..^(♯‘𝑊))))
4544adantl 473 . . . . . . . . . 10 ((((𝐹 < 0 ∨ (♯‘𝑊) < 𝐿) ∧ ¬ 𝐿𝐹) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → (¬ (𝐹..^𝐿) ⊆ dom 𝑊 ↔ ¬ (𝐹..^𝐿) ⊆ (0..^(♯‘𝑊))))
4640, 45mpbird 247 . . . . . . . . 9 ((((𝐹 < 0 ∨ (♯‘𝑊) < 𝐿) ∧ ¬ 𝐿𝐹) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → ¬ (𝐹..^𝐿) ⊆ dom 𝑊)
4746iffalsed 4233 . . . . . . . 8 ((((𝐹 < 0 ∨ (♯‘𝑊) < 𝐿) ∧ ¬ 𝐿𝐹) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → if((𝐹..^𝐿) ⊆ dom 𝑊, (𝑖 ∈ (0..^(𝐿𝐹)) ↦ (𝑊‘(𝑖 + 𝐹))), ∅) = ∅)
487, 47eqtrd 2786 . . . . . . 7 ((((𝐹 < 0 ∨ (♯‘𝑊) < 𝐿) ∧ ¬ 𝐿𝐹) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → (𝑊 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅)
4948exp31 631 . . . . . 6 ((𝐹 < 0 ∨ (♯‘𝑊) < 𝐿) → (¬ 𝐿𝐹 → ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝑊 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅)))
5049impcom 445 . . . . 5 ((¬ 𝐿𝐹 ∧ (𝐹 < 0 ∨ (♯‘𝑊) < 𝐿)) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝑊 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅))
515, 50jaoi3 1049 . . . 4 ((𝐿𝐹 ∨ (𝐹 < 0 ∨ (♯‘𝑊) < 𝐿)) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝑊 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅))
5251orcoms 403 . . 3 (((𝐹 < 0 ∨ (♯‘𝑊) < 𝐿) ∨ 𝐿𝐹) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝑊 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅))
533, 52sylbi 207 . 2 ((𝐹 < 0 ∨ 𝐿𝐹 ∨ (♯‘𝑊) < 𝐿) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝑊 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅))
5453com12 32 1 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((𝐹 < 0 ∨ 𝐿𝐹 ∨ (♯‘𝑊) < 𝐿) → (𝑊 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 382  wa 383  w3o 1071  w3a 1072   = wceq 1624  wcel 2131  wss 3707  c0 4050  ifcif 4222  cop 4319   class class class wbr 4796  cmpt 4873  dom cdm 5258  cfv 6041  (class class class)co 6805  cr 10119  0cc0 10120   + caddc 10123   < clt 10258  cle 10259  cmin 10450  cz 11561  ..^cfzo 12651  chash 13303  Word cword 13469   substr csubstr 13473
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-rep 4915  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047  ax-un 7106  ax-cnex 10176  ax-resscn 10177  ax-1cn 10178  ax-icn 10179  ax-addcl 10180  ax-addrcl 10181  ax-mulcl 10182  ax-mulrcl 10183  ax-mulcom 10184  ax-addass 10185  ax-mulass 10186  ax-distr 10187  ax-i2m1 10188  ax-1ne0 10189  ax-1rid 10190  ax-rnegex 10191  ax-rrecex 10192  ax-cnre 10193  ax-pre-lttri 10194  ax-pre-lttrn 10195  ax-pre-ltadd 10196  ax-pre-mulgt0 10197
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1627  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-nel 3028  df-ral 3047  df-rex 3048  df-reu 3049  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-csb 3667  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-pss 3723  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-tp 4318  df-op 4320  df-uni 4581  df-int 4620  df-iun 4666  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-tr 4897  df-id 5166  df-eprel 5171  df-po 5179  df-so 5180  df-fr 5217  df-we 5219  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-rn 5269  df-res 5270  df-ima 5271  df-pred 5833  df-ord 5879  df-on 5880  df-lim 5881  df-suc 5882  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fn 6044  df-f 6045  df-f1 6046  df-fo 6047  df-f1o 6048  df-fv 6049  df-riota 6766  df-ov 6808  df-oprab 6809  df-mpt2 6810  df-om 7223  df-1st 7325  df-2nd 7326  df-wrecs 7568  df-recs 7629  df-rdg 7667  df-1o 7721  df-oadd 7725  df-er 7903  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-card 8947  df-pnf 10260  df-mnf 10261  df-xr 10262  df-ltxr 10263  df-le 10264  df-sub 10452  df-neg 10453  df-nn 11205  df-n0 11477  df-z 11562  df-uz 11872  df-fz 12512  df-fzo 12652  df-hash 13304  df-word 13477  df-substr 13481
This theorem is referenced by:  pfxnd  41897
  Copyright terms: Public domain W3C validator