MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  swrds1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem swrds1 13397
Description: Extract a single symbol from a word. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
swrds1 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐼 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → (𝑊 substr ⟨𝐼, (𝐼 + 1)⟩) = ⟨“(𝑊𝐼)”⟩)

Proof of Theorem swrds1
StepHypRef Expression
1 swrdcl 13365 . . . 4 (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (𝑊 substr ⟨𝐼, (𝐼 + 1)⟩) ∈ Word 𝐴)
21adantr 481 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐼 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → (𝑊 substr ⟨𝐼, (𝐼 + 1)⟩) ∈ Word 𝐴)
3 simpl 473 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐼 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → 𝑊 ∈ Word 𝐴)
4 elfzouz 12423 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ (0..^(#‘𝑊)) → 𝐼 ∈ (ℤ‘0))
54adantl 482 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐼 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → 𝐼 ∈ (ℤ‘0))
6 elfzoelz 12419 . . . . . . . 8 (𝐼 ∈ (0..^(#‘𝑊)) → 𝐼 ∈ ℤ)
76adantl 482 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐼 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → 𝐼 ∈ ℤ)
8 uzid 11654 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ ℤ → 𝐼 ∈ (ℤ𝐼))
9 peano2uz 11693 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ (ℤ𝐼) → (𝐼 + 1) ∈ (ℤ𝐼))
107, 8, 93syl 18 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐼 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → (𝐼 + 1) ∈ (ℤ𝐼))
11 elfzuzb 12286 . . . . . 6 (𝐼 ∈ (0...(𝐼 + 1)) ↔ (𝐼 ∈ (ℤ‘0) ∧ (𝐼 + 1) ∈ (ℤ𝐼)))
125, 10, 11sylanbrc 697 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐼 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → 𝐼 ∈ (0...(𝐼 + 1)))
13 fzofzp1 12514 . . . . . 6 (𝐼 ∈ (0..^(#‘𝑊)) → (𝐼 + 1) ∈ (0...(#‘𝑊)))
1413adantl 482 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐼 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → (𝐼 + 1) ∈ (0...(#‘𝑊)))
15 swrdlen 13369 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐼 ∈ (0...(𝐼 + 1)) ∧ (𝐼 + 1) ∈ (0...(#‘𝑊))) → (#‘(𝑊 substr ⟨𝐼, (𝐼 + 1)⟩)) = ((𝐼 + 1) − 𝐼))
163, 12, 14, 15syl3anc 1323 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐼 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → (#‘(𝑊 substr ⟨𝐼, (𝐼 + 1)⟩)) = ((𝐼 + 1) − 𝐼))
177zcnd 11435 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐼 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → 𝐼 ∈ ℂ)
18 ax-1cn 9946 . . . . 5 1 ∈ ℂ
19 pncan2 10240 . . . . 5 ((𝐼 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝐼 + 1) − 𝐼) = 1)
2017, 18, 19sylancl 693 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐼 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → ((𝐼 + 1) − 𝐼) = 1)
2116, 20eqtrd 2655 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐼 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → (#‘(𝑊 substr ⟨𝐼, (𝐼 + 1)⟩)) = 1)
22 eqs1 13339 . . 3 (((𝑊 substr ⟨𝐼, (𝐼 + 1)⟩) ∈ Word 𝐴 ∧ (#‘(𝑊 substr ⟨𝐼, (𝐼 + 1)⟩)) = 1) → (𝑊 substr ⟨𝐼, (𝐼 + 1)⟩) = ⟨“((𝑊 substr ⟨𝐼, (𝐼 + 1)⟩)‘0)”⟩)
232, 21, 22syl2anc 692 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐼 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → (𝑊 substr ⟨𝐼, (𝐼 + 1)⟩) = ⟨“((𝑊 substr ⟨𝐼, (𝐼 + 1)⟩)‘0)”⟩)
24 0z 11340 . . . . . . 7 0 ∈ ℤ
25 snidg 4182 . . . . . . 7 (0 ∈ ℤ → 0 ∈ {0})
2624, 25ax-mp 5 . . . . . 6 0 ∈ {0}
2720oveq2d 6626 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐼 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → (0..^((𝐼 + 1) − 𝐼)) = (0..^1))
28 fzo01 12499 . . . . . . 7 (0..^1) = {0}
2927, 28syl6eq 2671 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐼 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → (0..^((𝐼 + 1) − 𝐼)) = {0})
3026, 29syl5eleqr 2705 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐼 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → 0 ∈ (0..^((𝐼 + 1) − 𝐼)))
31 swrdfv 13370 . . . . 5 (((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐼 ∈ (0...(𝐼 + 1)) ∧ (𝐼 + 1) ∈ (0...(#‘𝑊))) ∧ 0 ∈ (0..^((𝐼 + 1) − 𝐼))) → ((𝑊 substr ⟨𝐼, (𝐼 + 1)⟩)‘0) = (𝑊‘(0 + 𝐼)))
323, 12, 14, 30, 31syl31anc 1326 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐼 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → ((𝑊 substr ⟨𝐼, (𝐼 + 1)⟩)‘0) = (𝑊‘(0 + 𝐼)))
33 addid2 10171 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ ℂ → (0 + 𝐼) = 𝐼)
3433eqcomd 2627 . . . . . 6 (𝐼 ∈ ℂ → 𝐼 = (0 + 𝐼))
3517, 34syl 17 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐼 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → 𝐼 = (0 + 𝐼))
3635fveq2d 6157 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐼 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → (𝑊𝐼) = (𝑊‘(0 + 𝐼)))
3732, 36eqtr4d 2658 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐼 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → ((𝑊 substr ⟨𝐼, (𝐼 + 1)⟩)‘0) = (𝑊𝐼))
3837s1eqd 13328 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐼 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → ⟨“((𝑊 substr ⟨𝐼, (𝐼 + 1)⟩)‘0)”⟩ = ⟨“(𝑊𝐼)”⟩)
3923, 38eqtrd 2655 1 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐼 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → (𝑊 substr ⟨𝐼, (𝐼 + 1)⟩) = ⟨“(𝑊𝐼)”⟩)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  {csn 4153  cop 4159  cfv 5852  (class class class)co 6610  cc 9886  0cc0 9888  1c1 9889   + caddc 9891  cmin 10218  cz 11329  cuz 11639  ...cfz 12276  ..^cfzo 12414  #chash 13065  Word cword 13238  ⟨“cs1 13241   substr csubstr 13242
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-cnex 9944  ax-resscn 9945  ax-1cn 9946  ax-icn 9947  ax-addcl 9948  ax-addrcl 9949  ax-mulcl 9950  ax-mulrcl 9951  ax-mulcom 9952  ax-addass 9953  ax-mulass 9954  ax-distr 9955  ax-i2m1 9956  ax-1ne0 9957  ax-1rid 9958  ax-rnegex 9959  ax-rrecex 9960  ax-cnre 9961  ax-pre-lttri 9962  ax-pre-lttrn 9963  ax-pre-ltadd 9964  ax-pre-mulgt0 9965
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-1o 7512  df-oadd 7516  df-er 7694  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-fin 7911  df-card 8717  df-pnf 10028  df-mnf 10029  df-xr 10030  df-ltxr 10031  df-le 10032  df-sub 10220  df-neg 10221  df-nn 10973  df-n0 11245  df-z 11330  df-uz 11640  df-fz 12277  df-fzo 12415  df-hash 13066  df-word 13246  df-s1 13249  df-substr 13250
This theorem is referenced by:  swrdlsw  13398  swrdccatwrd  13414  wrdeqs1cat  13420  swrds2  13627  pfx1  40736
  Copyright terms: Public domain W3C validator