MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  swrdswrd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem swrdswrd 13254
Description: A subword of a subword. (Contributed by Alexander van der Vekens, 4-Apr-2018.)
Assertion
Ref Expression
swrdswrd ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → ((𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀))) → ((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) substr ⟨𝐾, 𝐿⟩) = (𝑊 substr ⟨(𝑀 + 𝐾), (𝑀 + 𝐿)⟩)))

Proof of Theorem swrdswrd
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 swrdcl 13213 . . . . . 6 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) ∈ Word 𝑉)
213ad2ant1 1074 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → (𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) ∈ Word 𝑉)
32adantr 479 . . . 4 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)))) → (𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) ∈ Word 𝑉)
4 elfz0ubfz0 12263 . . . . 5 ((𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀))) → 𝐾 ∈ (0...𝐿))
54adantl 480 . . . 4 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)))) → 𝐾 ∈ (0...𝐿))
6 elfzuz 12160 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) → 𝐾 ∈ (ℤ‘0))
76adantl 480 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀))) → 𝐾 ∈ (ℤ‘0))
8 fzss1 12202 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ (ℤ‘0) → (𝐾...(𝑁𝑀)) ⊆ (0...(𝑁𝑀)))
97, 8syl 17 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀))) → (𝐾...(𝑁𝑀)) ⊆ (0...(𝑁𝑀)))
109sseld 3562 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀))) → (𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)) → 𝐿 ∈ (0...(𝑁𝑀))))
1110impr 646 . . . . 5 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)))) → 𝐿 ∈ (0...(𝑁𝑀)))
12 3ancomb 1039 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ↔ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊))))
1312biimpi 204 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊))))
1413adantr 479 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)))) → (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊))))
15 swrdlen 13217 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊))) → (#‘(𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)) = (𝑁𝑀))
1614, 15syl 17 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)))) → (#‘(𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)) = (𝑁𝑀))
1716oveq2d 6539 . . . . 5 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)))) → (0...(#‘(𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩))) = (0...(𝑁𝑀)))
1811, 17eleqtrrd 2686 . . . 4 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)))) → 𝐿 ∈ (0...(#‘(𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩))))
19 swrdval2 13214 . . . 4 (((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) ∈ Word 𝑉𝐾 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(#‘(𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)))) → ((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) substr ⟨𝐾, 𝐿⟩) = (𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐾)) ↦ ((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘(𝑥 + 𝐾))))
203, 5, 18, 19syl3anc 1317 . . 3 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)))) → ((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) substr ⟨𝐾, 𝐿⟩) = (𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐾)) ↦ ((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘(𝑥 + 𝐾))))
21 fvex 6094 . . . . . 6 ((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘(𝑥 + 𝐾)) ∈ V
22 eqid 2605 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐾)) ↦ ((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘(𝑥 + 𝐾))) = (𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐾)) ↦ ((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘(𝑥 + 𝐾)))
2321, 22fnmpti 5917 . . . . 5 (𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐾)) ↦ ((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘(𝑥 + 𝐾))) Fn (0..^(𝐿𝐾))
2423a1i 11 . . . 4 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)))) → (𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐾)) ↦ ((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘(𝑥 + 𝐾))) Fn (0..^(𝐿𝐾)))
25 swrdswrdlem 13253 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)))) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑀 + 𝐾) ∈ (0...(𝑀 + 𝐿)) ∧ (𝑀 + 𝐿) ∈ (0...(#‘𝑊))))
26 swrdvalfn 13220 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑀 + 𝐾) ∈ (0...(𝑀 + 𝐿)) ∧ (𝑀 + 𝐿) ∈ (0...(#‘𝑊))) → (𝑊 substr ⟨(𝑀 + 𝐾), (𝑀 + 𝐿)⟩) Fn (0..^((𝑀 + 𝐿) − (𝑀 + 𝐾))))
2725, 26syl 17 . . . . 5 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)))) → (𝑊 substr ⟨(𝑀 + 𝐾), (𝑀 + 𝐿)⟩) Fn (0..^((𝑀 + 𝐿) − (𝑀 + 𝐾))))
28 elfzelz 12164 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ (0...𝑁) → 𝑀 ∈ ℤ)
29 elfzelz 12164 . . . . . . . . . . 11 (𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)) → 𝐿 ∈ ℤ)
30 elfzelz 12164 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) → 𝐾 ∈ ℤ)
31 zcn 11211 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
3231adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → 𝑀 ∈ ℂ)
33 zcn 11211 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐿 ∈ ℤ → 𝐿 ∈ ℂ)
3433ad2antrl 759 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → 𝐿 ∈ ℂ)
35 zcn 11211 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℂ)
3635ad2antll 760 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → 𝐾 ∈ ℂ)
37 pnpcan 10167 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → ((𝑀 + 𝐿) − (𝑀 + 𝐾)) = (𝐿𝐾))
3837eqcomd 2611 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → (𝐿𝐾) = ((𝑀 + 𝐿) − (𝑀 + 𝐾)))
3932, 34, 36, 38syl3anc 1317 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → (𝐿𝐾) = ((𝑀 + 𝐿) − (𝑀 + 𝐾)))
4039expcom 449 . . . . . . . . . . 11 ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑀 ∈ ℤ → (𝐿𝐾) = ((𝑀 + 𝐿) − (𝑀 + 𝐾))))
4129, 30, 40syl2anr 493 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀))) → (𝑀 ∈ ℤ → (𝐿𝐾) = ((𝑀 + 𝐿) − (𝑀 + 𝐾))))
4228, 41syl5com 31 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ (0...𝑁) → ((𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀))) → (𝐿𝐾) = ((𝑀 + 𝐿) − (𝑀 + 𝐾))))
43423ad2ant3 1076 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → ((𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀))) → (𝐿𝐾) = ((𝑀 + 𝐿) − (𝑀 + 𝐾))))
4443imp 443 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)))) → (𝐿𝐾) = ((𝑀 + 𝐿) − (𝑀 + 𝐾)))
4544oveq2d 6539 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)))) → (0..^(𝐿𝐾)) = (0..^((𝑀 + 𝐿) − (𝑀 + 𝐾))))
4645fneq2d 5878 . . . . 5 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)))) → ((𝑊 substr ⟨(𝑀 + 𝐾), (𝑀 + 𝐿)⟩) Fn (0..^(𝐿𝐾)) ↔ (𝑊 substr ⟨(𝑀 + 𝐾), (𝑀 + 𝐿)⟩) Fn (0..^((𝑀 + 𝐿) − (𝑀 + 𝐾)))))
4727, 46mpbird 245 . . . 4 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)))) → (𝑊 substr ⟨(𝑀 + 𝐾), (𝑀 + 𝐿)⟩) Fn (0..^(𝐿𝐾)))
48 simpr 475 . . . . . . 7 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝐿𝐾))) → 𝑦 ∈ (0..^(𝐿𝐾)))
49 fvex 6094 . . . . . . 7 (𝑊‘((𝑦 + 𝐾) + 𝑀)) ∈ V
50 oveq1 6530 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 + 𝐾) = (𝑦 + 𝐾))
5150oveq1d 6538 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥 + 𝐾) + 𝑀) = ((𝑦 + 𝐾) + 𝑀))
5251fveq2d 6088 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → (𝑊‘((𝑥 + 𝐾) + 𝑀)) = (𝑊‘((𝑦 + 𝐾) + 𝑀)))
53 eqid 2605 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐾)) ↦ (𝑊‘((𝑥 + 𝐾) + 𝑀))) = (𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐾)) ↦ (𝑊‘((𝑥 + 𝐾) + 𝑀)))
5452, 53fvmptg 6170 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ (0..^(𝐿𝐾)) ∧ (𝑊‘((𝑦 + 𝐾) + 𝑀)) ∈ V) → ((𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐾)) ↦ (𝑊‘((𝑥 + 𝐾) + 𝑀)))‘𝑦) = (𝑊‘((𝑦 + 𝐾) + 𝑀)))
5548, 49, 54sylancl 692 . . . . . 6 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝐿𝐾))) → ((𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐾)) ↦ (𝑊‘((𝑥 + 𝐾) + 𝑀)))‘𝑦) = (𝑊‘((𝑦 + 𝐾) + 𝑀)))
56 elfzoelz 12290 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ (0..^(𝐿𝐾)) → 𝑦 ∈ ℤ)
57 zcn 11211 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 ∈ ℤ → 𝑦 ∈ ℂ)
5857, 31, 353anim123i 1239 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ))
59583expa 1256 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ))
60 add32r 10102 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → (𝑦 + (𝑀 + 𝐾)) = ((𝑦 + 𝐾) + 𝑀))
6160eqcomd 2611 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → ((𝑦 + 𝐾) + 𝑀) = (𝑦 + (𝑀 + 𝐾)))
6259, 61syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑦 + 𝐾) + 𝑀) = (𝑦 + (𝑀 + 𝐾)))
6362exp31 627 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ ℤ → (𝐾 ∈ ℤ → ((𝑦 + 𝐾) + 𝑀) = (𝑦 + (𝑀 + 𝐾)))))
6463com13 85 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐾 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ ℤ → (𝑦 ∈ ℤ → ((𝑦 + 𝐾) + 𝑀) = (𝑦 + (𝑀 + 𝐾)))))
6530, 64syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) → (𝑀 ∈ ℤ → (𝑦 ∈ ℤ → ((𝑦 + 𝐾) + 𝑀) = (𝑦 + (𝑀 + 𝐾)))))
6665adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀))) → (𝑀 ∈ ℤ → (𝑦 ∈ ℤ → ((𝑦 + 𝐾) + 𝑀) = (𝑦 + (𝑀 + 𝐾)))))
6728, 66syl5com 31 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ (0...𝑁) → ((𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀))) → (𝑦 ∈ ℤ → ((𝑦 + 𝐾) + 𝑀) = (𝑦 + (𝑀 + 𝐾)))))
68673ad2ant3 1076 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → ((𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀))) → (𝑦 ∈ ℤ → ((𝑦 + 𝐾) + 𝑀) = (𝑦 + (𝑀 + 𝐾)))))
6968imp 443 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)))) → (𝑦 ∈ ℤ → ((𝑦 + 𝐾) + 𝑀) = (𝑦 + (𝑀 + 𝐾))))
7056, 69syl5com 31 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (0..^(𝐿𝐾)) → (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)))) → ((𝑦 + 𝐾) + 𝑀) = (𝑦 + (𝑀 + 𝐾))))
7170impcom 444 . . . . . . 7 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝐿𝐾))) → ((𝑦 + 𝐾) + 𝑀) = (𝑦 + (𝑀 + 𝐾)))
7271fveq2d 6088 . . . . . 6 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝐿𝐾))) → (𝑊‘((𝑦 + 𝐾) + 𝑀)) = (𝑊‘(𝑦 + (𝑀 + 𝐾))))
7355, 72eqtrd 2639 . . . . 5 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝐿𝐾))) → ((𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐾)) ↦ (𝑊‘((𝑥 + 𝐾) + 𝑀)))‘𝑦) = (𝑊‘(𝑦 + (𝑀 + 𝐾))))
7413ad3antrrr 761 . . . . . . . 8 (((((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝐿𝐾))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐾))) → (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊))))
75 elfz2nn0 12251 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ↔ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℕ0𝐾 ≤ (𝑁𝑀)))
76 elfz2 12155 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)) ↔ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝐾𝐿𝐿 ≤ (𝑁𝑀))))
77 elfzo0 12327 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐾)) ↔ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿𝐾) ∈ ℕ ∧ 𝑥 < (𝐿𝐾)))
78 nn0re 11144 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑥 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℝ)
7978ad2antrl 759 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ)) → 𝑥 ∈ ℝ)
80 nn0re 11144 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝐾 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℝ)
8180adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ)) → 𝐾 ∈ ℝ)
82 zre 11210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝐿 ∈ ℤ → 𝐿 ∈ ℝ)
8382ad2antll 760 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ)) → 𝐿 ∈ ℝ)
84 ltaddsub 10347 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → ((𝑥 + 𝐾) < 𝐿𝑥 < (𝐿𝐾)))
8584bicomd 211 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → (𝑥 < (𝐿𝐾) ↔ (𝑥 + 𝐾) < 𝐿))
8679, 81, 83, 85syl3anc 1317 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ)) → (𝑥 < (𝐿𝐾) ↔ (𝑥 + 𝐾) < 𝐿))
87 nn0addcl 11171 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝑥 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑥 + 𝐾) ∈ ℕ0)
8887ex 448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑥 ∈ ℕ0 → (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝑥 + 𝐾) ∈ ℕ0))
8988adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝑥 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝑥 + 𝐾) ∈ ℕ0))
9089impcom 444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ)) → (𝑥 + 𝐾) ∈ ℕ0)
9190ad3antrrr 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ)) ∧ (𝑥 + 𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ≤ (𝑁𝑀)) → (𝑥 + 𝐾) ∈ ℕ0)
92 elnn0z 11219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝑥 + 𝐾) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑥 + 𝐾) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝑥 + 𝐾)))
93 0red 9893 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (((𝑥 + 𝐾) ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → 0 ∈ ℝ)
94 zre 11210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ((𝑥 + 𝐾) ∈ ℤ → (𝑥 + 𝐾) ∈ ℝ)
9594adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (((𝑥 + 𝐾) ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝑥 + 𝐾) ∈ ℝ)
9682adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (((𝑥 + 𝐾) ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → 𝐿 ∈ ℝ)
97 lelttr 9975 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ((0 ∈ ℝ ∧ (𝑥 + 𝐾) ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → ((0 ≤ (𝑥 + 𝐾) ∧ (𝑥 + 𝐾) < 𝐿) → 0 < 𝐿))
9893, 95, 96, 97syl3anc 1317 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (((𝑥 + 𝐾) ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((0 ≤ (𝑥 + 𝐾) ∧ (𝑥 + 𝐾) < 𝐿) → 0 < 𝐿))
99 0red 9893 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ((𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℕ0) → 0 ∈ ℝ)
10082adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ((𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℕ0) → 𝐿 ∈ ℝ)
101 nn0re 11144 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ((𝑁𝑀) ∈ ℕ0 → (𝑁𝑀) ∈ ℝ)
102101adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ((𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℕ0) → (𝑁𝑀) ∈ ℝ)
103 ltletr 9976 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℝ) → ((0 < 𝐿𝐿 ≤ (𝑁𝑀)) → 0 < (𝑁𝑀)))
10499, 100, 102, 103syl3anc 1317 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ((𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℕ0) → ((0 < 𝐿𝐿 ≤ (𝑁𝑀)) → 0 < (𝑁𝑀)))
105 elnnnn0b 11180 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ((𝑁𝑀) ∈ ℕ ↔ ((𝑁𝑀) ∈ ℕ0 ∧ 0 < (𝑁𝑀)))
106105simplbi2 652 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ((𝑁𝑀) ∈ ℕ0 → (0 < (𝑁𝑀) → (𝑁𝑀) ∈ ℕ))
107106adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ((𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℕ0) → (0 < (𝑁𝑀) → (𝑁𝑀) ∈ ℕ))
108104, 107syld 45 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ((𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℕ0) → ((0 < 𝐿𝐿 ≤ (𝑁𝑀)) → (𝑁𝑀) ∈ ℕ))
109108exp4b 629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 (𝐿 ∈ ℤ → ((𝑁𝑀) ∈ ℕ0 → (0 < 𝐿 → (𝐿 ≤ (𝑁𝑀) → (𝑁𝑀) ∈ ℕ))))
110109com23 83 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (𝐿 ∈ ℤ → (0 < 𝐿 → ((𝑁𝑀) ∈ ℕ0 → (𝐿 ≤ (𝑁𝑀) → (𝑁𝑀) ∈ ℕ))))
111110adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (((𝑥 + 𝐾) ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (0 < 𝐿 → ((𝑁𝑀) ∈ ℕ0 → (𝐿 ≤ (𝑁𝑀) → (𝑁𝑀) ∈ ℕ))))
11298, 111syld 45 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (((𝑥 + 𝐾) ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((0 ≤ (𝑥 + 𝐾) ∧ (𝑥 + 𝐾) < 𝐿) → ((𝑁𝑀) ∈ ℕ0 → (𝐿 ≤ (𝑁𝑀) → (𝑁𝑀) ∈ ℕ))))
113112expd 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (((𝑥 + 𝐾) ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (0 ≤ (𝑥 + 𝐾) → ((𝑥 + 𝐾) < 𝐿 → ((𝑁𝑀) ∈ ℕ0 → (𝐿 ≤ (𝑁𝑀) → (𝑁𝑀) ∈ ℕ)))))
114113a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (((𝑥 + 𝐾) ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((𝑥 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0) → (0 ≤ (𝑥 + 𝐾) → ((𝑥 + 𝐾) < 𝐿 → ((𝑁𝑀) ∈ ℕ0 → (𝐿 ≤ (𝑁𝑀) → (𝑁𝑀) ∈ ℕ))))))
115114ex 448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝑥 + 𝐾) ∈ ℤ → (𝐿 ∈ ℤ → ((𝑥 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0) → (0 ≤ (𝑥 + 𝐾) → ((𝑥 + 𝐾) < 𝐿 → ((𝑁𝑀) ∈ ℕ0 → (𝐿 ≤ (𝑁𝑀) → (𝑁𝑀) ∈ ℕ)))))))
116115com24 92 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝑥 + 𝐾) ∈ ℤ → (0 ≤ (𝑥 + 𝐾) → ((𝑥 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐿 ∈ ℤ → ((𝑥 + 𝐾) < 𝐿 → ((𝑁𝑀) ∈ ℕ0 → (𝐿 ≤ (𝑁𝑀) → (𝑁𝑀) ∈ ℕ)))))))
117116imp 443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (((𝑥 + 𝐾) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝑥 + 𝐾)) → ((𝑥 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐿 ∈ ℤ → ((𝑥 + 𝐾) < 𝐿 → ((𝑁𝑀) ∈ ℕ0 → (𝐿 ≤ (𝑁𝑀) → (𝑁𝑀) ∈ ℕ))))))
11892, 117sylbi 205 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝑥 + 𝐾) ∈ ℕ0 → ((𝑥 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐿 ∈ ℤ → ((𝑥 + 𝐾) < 𝐿 → ((𝑁𝑀) ∈ ℕ0 → (𝐿 ≤ (𝑁𝑀) → (𝑁𝑀) ∈ ℕ))))))
11987, 118mpcom 37 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑥 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐿 ∈ ℤ → ((𝑥 + 𝐾) < 𝐿 → ((𝑁𝑀) ∈ ℕ0 → (𝐿 ≤ (𝑁𝑀) → (𝑁𝑀) ∈ ℕ)))))
120119impancom 454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝑥 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ ℕ0 → ((𝑥 + 𝐾) < 𝐿 → ((𝑁𝑀) ∈ ℕ0 → (𝐿 ≤ (𝑁𝑀) → (𝑁𝑀) ∈ ℕ)))))
121120impcom 444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ)) → ((𝑥 + 𝐾) < 𝐿 → ((𝑁𝑀) ∈ ℕ0 → (𝐿 ≤ (𝑁𝑀) → (𝑁𝑀) ∈ ℕ))))
122121imp41 616 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ)) ∧ (𝑥 + 𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ≤ (𝑁𝑀)) → (𝑁𝑀) ∈ ℕ)
123 nn0readdcl 11200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((𝑥 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑥 + 𝐾) ∈ ℝ)
124123ex 448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑥 ∈ ℕ0 → (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝑥 + 𝐾) ∈ ℝ))
125124adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝑥 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝑥 + 𝐾) ∈ ℝ))
126125impcom 444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ)) → (𝑥 + 𝐾) ∈ ℝ)
127126adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ)) ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℕ0) → (𝑥 + 𝐾) ∈ ℝ)
12883adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ)) ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℕ0) → 𝐿 ∈ ℝ)
129101adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ)) ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℕ0) → (𝑁𝑀) ∈ ℝ)
130 ltletr 9976 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((𝑥 + 𝐾) ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℝ) → (((𝑥 + 𝐾) < 𝐿𝐿 ≤ (𝑁𝑀)) → (𝑥 + 𝐾) < (𝑁𝑀)))
131127, 128, 129, 130syl3anc 1317 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ)) ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℕ0) → (((𝑥 + 𝐾) < 𝐿𝐿 ≤ (𝑁𝑀)) → (𝑥 + 𝐾) < (𝑁𝑀)))
132131exp4b 629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ)) → ((𝑁𝑀) ∈ ℕ0 → ((𝑥 + 𝐾) < 𝐿 → (𝐿 ≤ (𝑁𝑀) → (𝑥 + 𝐾) < (𝑁𝑀)))))
133132com23 83 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ)) → ((𝑥 + 𝐾) < 𝐿 → ((𝑁𝑀) ∈ ℕ0 → (𝐿 ≤ (𝑁𝑀) → (𝑥 + 𝐾) < (𝑁𝑀)))))
134133imp41 616 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ)) ∧ (𝑥 + 𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ≤ (𝑁𝑀)) → (𝑥 + 𝐾) < (𝑁𝑀))
135 elfzo0 12327 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑥 + 𝐾) ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ↔ ((𝑥 + 𝐾) ∈ ℕ0 ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℕ ∧ (𝑥 + 𝐾) < (𝑁𝑀)))
13691, 122, 134, 135syl3anbrc 1238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ)) ∧ (𝑥 + 𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ≤ (𝑁𝑀)) → (𝑥 + 𝐾) ∈ (0..^(𝑁𝑀)))
137136exp41 635 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ)) → ((𝑥 + 𝐾) < 𝐿 → ((𝑁𝑀) ∈ ℕ0 → (𝐿 ≤ (𝑁𝑀) → (𝑥 + 𝐾) ∈ (0..^(𝑁𝑀))))))
13886, 137sylbid 228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ)) → (𝑥 < (𝐿𝐾) → ((𝑁𝑀) ∈ ℕ0 → (𝐿 ≤ (𝑁𝑀) → (𝑥 + 𝐾) ∈ (0..^(𝑁𝑀))))))
139138ex 448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝐾 ∈ ℕ0 → ((𝑥 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ) → (𝑥 < (𝐿𝐾) → ((𝑁𝑀) ∈ ℕ0 → (𝐿 ≤ (𝑁𝑀) → (𝑥 + 𝐾) ∈ (0..^(𝑁𝑀)))))))
140139com24 92 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝐾 ∈ ℕ0 → ((𝑁𝑀) ∈ ℕ0 → (𝑥 < (𝐿𝐾) → ((𝑥 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ) → (𝐿 ≤ (𝑁𝑀) → (𝑥 + 𝐾) ∈ (0..^(𝑁𝑀)))))))
141140imp 443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℕ0) → (𝑥 < (𝐿𝐾) → ((𝑥 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ) → (𝐿 ≤ (𝑁𝑀) → (𝑥 + 𝐾) ∈ (0..^(𝑁𝑀))))))
142141com13 85 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑥 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ) → (𝑥 < (𝐿𝐾) → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℕ0) → (𝐿 ≤ (𝑁𝑀) → (𝑥 + 𝐾) ∈ (0..^(𝑁𝑀))))))
143142impancom 454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑥 ∈ ℕ0𝑥 < (𝐿𝐾)) → (𝐿 ∈ ℤ → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℕ0) → (𝐿 ≤ (𝑁𝑀) → (𝑥 + 𝐾) ∈ (0..^(𝑁𝑀))))))
1441433adant2 1072 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿𝐾) ∈ ℕ ∧ 𝑥 < (𝐿𝐾)) → (𝐿 ∈ ℤ → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℕ0) → (𝐿 ≤ (𝑁𝑀) → (𝑥 + 𝐾) ∈ (0..^(𝑁𝑀))))))
14577, 144sylbi 205 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐾)) → (𝐿 ∈ ℤ → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℕ0) → (𝐿 ≤ (𝑁𝑀) → (𝑥 + 𝐾) ∈ (0..^(𝑁𝑀))))))
146145com14 93 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐿 ≤ (𝑁𝑀) → (𝐿 ∈ ℤ → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐾)) → (𝑥 + 𝐾) ∈ (0..^(𝑁𝑀))))))
147146adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐾𝐿𝐿 ≤ (𝑁𝑀)) → (𝐿 ∈ ℤ → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐾)) → (𝑥 + 𝐾) ∈ (0..^(𝑁𝑀))))))
148147com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐿 ∈ ℤ → ((𝐾𝐿𝐿 ≤ (𝑁𝑀)) → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐾)) → (𝑥 + 𝐾) ∈ (0..^(𝑁𝑀))))))
1491483ad2ant3 1076 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((𝐾𝐿𝐿 ≤ (𝑁𝑀)) → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐾)) → (𝑥 + 𝐾) ∈ (0..^(𝑁𝑀))))))
150149imp 443 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝐾𝐿𝐿 ≤ (𝑁𝑀))) → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐾)) → (𝑥 + 𝐾) ∈ (0..^(𝑁𝑀)))))
15176, 150sylbi 205 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)) → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐾)) → (𝑥 + 𝐾) ∈ (0..^(𝑁𝑀)))))
152151com12 32 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℕ0) → (𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)) → (𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐾)) → (𝑥 + 𝐾) ∈ (0..^(𝑁𝑀)))))
1531523adant3 1073 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℕ0𝐾 ≤ (𝑁𝑀)) → (𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)) → (𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐾)) → (𝑥 + 𝐾) ∈ (0..^(𝑁𝑀)))))
15475, 153sylbi 205 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) → (𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)) → (𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐾)) → (𝑥 + 𝐾) ∈ (0..^(𝑁𝑀)))))
155154imp 443 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀))) → (𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐾)) → (𝑥 + 𝐾) ∈ (0..^(𝑁𝑀))))
156155adantl 480 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)))) → (𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐾)) → (𝑥 + 𝐾) ∈ (0..^(𝑁𝑀))))
157156adantr 479 . . . . . . . . 9 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝐿𝐾))) → (𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐾)) → (𝑥 + 𝐾) ∈ (0..^(𝑁𝑀))))
158157imp 443 . . . . . . . 8 (((((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝐿𝐾))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐾))) → (𝑥 + 𝐾) ∈ (0..^(𝑁𝑀)))
159 swrdfv 13218 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊))) ∧ (𝑥 + 𝐾) ∈ (0..^(𝑁𝑀))) → ((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘(𝑥 + 𝐾)) = (𝑊‘((𝑥 + 𝐾) + 𝑀)))
16074, 158, 159syl2anc 690 . . . . . . 7 (((((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝐿𝐾))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐾))) → ((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘(𝑥 + 𝐾)) = (𝑊‘((𝑥 + 𝐾) + 𝑀)))
161160mpteq2dva 4662 . . . . . 6 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝐿𝐾))) → (𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐾)) ↦ ((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘(𝑥 + 𝐾))) = (𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐾)) ↦ (𝑊‘((𝑥 + 𝐾) + 𝑀))))
162161fveq1d 6086 . . . . 5 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝐿𝐾))) → ((𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐾)) ↦ ((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘(𝑥 + 𝐾)))‘𝑦) = ((𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐾)) ↦ (𝑊‘((𝑥 + 𝐾) + 𝑀)))‘𝑦))
16325adantr 479 . . . . . 6 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝐿𝐾))) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑀 + 𝐾) ∈ (0...(𝑀 + 𝐿)) ∧ (𝑀 + 𝐿) ∈ (0...(#‘𝑊))))
16431, 33, 353anim123i 1239 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ))
1651643expa 1256 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ))
166165, 38syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐿𝐾) = ((𝑀 + 𝐿) − (𝑀 + 𝐾)))
167166exp31 627 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 ∈ ℤ → (𝐿 ∈ ℤ → (𝐾 ∈ ℤ → (𝐿𝐾) = ((𝑀 + 𝐿) − (𝑀 + 𝐾)))))
168167com3l 86 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐿 ∈ ℤ → (𝐾 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ ℤ → (𝐿𝐾) = ((𝑀 + 𝐿) − (𝑀 + 𝐾)))))
16929, 168syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)) → (𝐾 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ ℤ → (𝐿𝐾) = ((𝑀 + 𝐿) − (𝑀 + 𝐾)))))
17030, 169mpan9 484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀))) → (𝑀 ∈ ℤ → (𝐿𝐾) = ((𝑀 + 𝐿) − (𝑀 + 𝐾))))
17128, 170syl5com 31 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ (0...𝑁) → ((𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀))) → (𝐿𝐾) = ((𝑀 + 𝐿) − (𝑀 + 𝐾))))
1721713ad2ant3 1076 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → ((𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀))) → (𝐿𝐾) = ((𝑀 + 𝐿) − (𝑀 + 𝐾))))
173172imp 443 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)))) → (𝐿𝐾) = ((𝑀 + 𝐿) − (𝑀 + 𝐾)))
174173oveq2d 6539 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)))) → (0..^(𝐿𝐾)) = (0..^((𝑀 + 𝐿) − (𝑀 + 𝐾))))
175174eleq2d 2668 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)))) → (𝑦 ∈ (0..^(𝐿𝐾)) ↔ 𝑦 ∈ (0..^((𝑀 + 𝐿) − (𝑀 + 𝐾)))))
176175biimpa 499 . . . . . 6 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝐿𝐾))) → 𝑦 ∈ (0..^((𝑀 + 𝐿) − (𝑀 + 𝐾))))
177 swrdfv 13218 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑀 + 𝐾) ∈ (0...(𝑀 + 𝐿)) ∧ (𝑀 + 𝐿) ∈ (0...(#‘𝑊))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^((𝑀 + 𝐿) − (𝑀 + 𝐾)))) → ((𝑊 substr ⟨(𝑀 + 𝐾), (𝑀 + 𝐿)⟩)‘𝑦) = (𝑊‘(𝑦 + (𝑀 + 𝐾))))
178163, 176, 177syl2anc 690 . . . . 5 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝐿𝐾))) → ((𝑊 substr ⟨(𝑀 + 𝐾), (𝑀 + 𝐿)⟩)‘𝑦) = (𝑊‘(𝑦 + (𝑀 + 𝐾))))
17973, 162, 1783eqtr4d 2649 . . . 4 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝐿𝐾))) → ((𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐾)) ↦ ((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘(𝑥 + 𝐾)))‘𝑦) = ((𝑊 substr ⟨(𝑀 + 𝐾), (𝑀 + 𝐿)⟩)‘𝑦))
18024, 47, 179eqfnfvd 6203 . . 3 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)))) → (𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐾)) ↦ ((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘(𝑥 + 𝐾))) = (𝑊 substr ⟨(𝑀 + 𝐾), (𝑀 + 𝐿)⟩))
18120, 180eqtrd 2639 . 2 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)))) → ((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) substr ⟨𝐾, 𝐿⟩) = (𝑊 substr ⟨(𝑀 + 𝐾), (𝑀 + 𝐿)⟩))
182181ex 448 1 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → ((𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀))) → ((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) substr ⟨𝐾, 𝐿⟩) = (𝑊 substr ⟨(𝑀 + 𝐾), (𝑀 + 𝐿)⟩)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1975  Vcvv 3168  wss 3535  cop 4126   class class class wbr 4573  cmpt 4633   Fn wfn 5781  cfv 5786  (class class class)co 6523  cc 9786  cr 9787  0cc0 9788   + caddc 9791   < clt 9926  cle 9927  cmin 10113  cn 10863  0cn0 11135  cz 11206  cuz 11515  ...cfz 12148  ..^cfzo 12285  #chash 12930  Word cword 13088   substr csubstr 13092
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-8 1977  ax-9 1984  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2228  ax-ext 2585  ax-rep 4689  ax-sep 4699  ax-nul 4708  ax-pow 4760  ax-pr 4824  ax-un 6820  ax-cnex 9844  ax-resscn 9845  ax-1cn 9846  ax-icn 9847  ax-addcl 9848  ax-addrcl 9849  ax-mulcl 9850  ax-mulrcl 9851  ax-mulcom 9852  ax-addass 9853  ax-mulass 9854  ax-distr 9855  ax-i2m1 9856  ax-1ne0 9857  ax-1rid 9858  ax-rnegex 9859  ax-rrecex 9860  ax-cnre 9861  ax-pre-lttri 9862  ax-pre-lttrn 9863  ax-pre-ltadd 9864  ax-pre-mulgt0 9865
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2457  df-mo 2458  df-clab 2592  df-cleq 2598  df-clel 2601  df-nfc 2735  df-ne 2777  df-nel 2778  df-ral 2896  df-rex 2897  df-reu 2898  df-rab 2900  df-v 3170  df-sbc 3398  df-csb 3495  df-dif 3538  df-un 3540  df-in 3542  df-ss 3549  df-pss 3551  df-nul 3870  df-if 4032  df-pw 4105  df-sn 4121  df-pr 4123  df-tp 4125  df-op 4127  df-uni 4363  df-int 4401  df-iun 4447  df-br 4574  df-opab 4634  df-mpt 4635  df-tr 4671  df-eprel 4935  df-id 4939  df-po 4945  df-so 4946  df-fr 4983  df-we 4985  df-xp 5030  df-rel 5031  df-cnv 5032  df-co 5033  df-dm 5034  df-rn 5035  df-res 5036  df-ima 5037  df-pred 5579  df-ord 5625  df-on 5626  df-lim 5627  df-suc 5628  df-iota 5750  df-fun 5788  df-fn 5789  df-f 5790  df-f1 5791  df-fo 5792  df-f1o 5793  df-fv 5794  df-riota 6485  df-ov 6526  df-oprab 6527  df-mpt2 6528  df-om 6931  df-1st 7032  df-2nd 7033  df-wrecs 7267  df-recs 7328  df-rdg 7366  df-1o 7420  df-er 7602  df-en 7815  df-dom 7816  df-sdom 7817  df-fin 7818  df-card 8621  df-pnf 9928  df-mnf 9929  df-xr 9930  df-ltxr 9931  df-le 9932  df-sub 10115  df-neg 10116  df-nn 10864  df-n0 11136  df-z 11207  df-uz 11516  df-fz 12149  df-fzo 12286  df-hash 12931  df-word 13096  df-substr 13100
This theorem is referenced by:  swrd0swrd  13255  swrdswrd0  13256
  Copyright terms: Public domain W3C validator