MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  swrdswrd0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem swrdswrd0 13508
Description: A subword of a prefix. (Contributed by Alexander van der Vekens, 6-Apr-2018.)
Assertion
Ref Expression
swrdswrd0 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊))) → ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...𝑁)) → ((𝑊 substr ⟨0, 𝑁⟩) substr ⟨𝐾, 𝐿⟩) = (𝑊 substr ⟨𝐾, 𝐿⟩)))

Proof of Theorem swrdswrd0
StepHypRef Expression
1 simpl 472 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊))) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
2 simpr 476 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊))) → 𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊)))
3 elfznn0 12471 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
4 0elfz 12475 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...𝑁))
53, 4syl 17 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊)) → 0 ∈ (0...𝑁))
65adantl 481 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊))) → 0 ∈ (0...𝑁))
71, 2, 63jca 1261 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊))) → (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ 0 ∈ (0...𝑁)))
87adantr 480 . . . 4 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊))) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...𝑁))) → (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ 0 ∈ (0...𝑁)))
9 elfzelz 12380 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊)) → 𝑁 ∈ ℤ)
10 zcn 11420 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
1110subid1d 10419 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 0) = 𝑁)
1211eqcomd 2657 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 = (𝑁 − 0))
139, 12syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊)) → 𝑁 = (𝑁 − 0))
1413adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊))) → 𝑁 = (𝑁 − 0))
1514oveq2d 6706 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊))) → (0...𝑁) = (0...(𝑁 − 0)))
1615eleq2d 2716 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊))) → (𝐾 ∈ (0...𝑁) ↔ 𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 0))))
1714oveq2d 6706 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊))) → (𝐾...𝑁) = (𝐾...(𝑁 − 0)))
1817eleq2d 2716 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊))) → (𝐿 ∈ (𝐾...𝑁) ↔ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 0))))
1916, 18anbi12d 747 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊))) → ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...𝑁)) ↔ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 0)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 0)))))
2019biimpa 500 . . . 4 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊))) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...𝑁))) → (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 0)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 0))))
21 swrdswrd 13506 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ 0 ∈ (0...𝑁)) → ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 0)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 0))) → ((𝑊 substr ⟨0, 𝑁⟩) substr ⟨𝐾, 𝐿⟩) = (𝑊 substr ⟨(0 + 𝐾), (0 + 𝐿)⟩)))
228, 20, 21sylc 65 . . 3 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊))) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...𝑁))) → ((𝑊 substr ⟨0, 𝑁⟩) substr ⟨𝐾, 𝐿⟩) = (𝑊 substr ⟨(0 + 𝐾), (0 + 𝐿)⟩))
23 elfzelz 12380 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)
2423zcnd 11521 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ ℂ)
2524adantr 480 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...𝑁)) → 𝐾 ∈ ℂ)
2625adantl 481 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊))) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...𝑁))) → 𝐾 ∈ ℂ)
2726addid2d 10275 . . . . 5 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊))) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...𝑁))) → (0 + 𝐾) = 𝐾)
28 elfzelz 12380 . . . . . . . . 9 (𝐿 ∈ (𝐾...𝑁) → 𝐿 ∈ ℤ)
2928zcnd 11521 . . . . . . . 8 (𝐿 ∈ (𝐾...𝑁) → 𝐿 ∈ ℂ)
3029adantl 481 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...𝑁)) → 𝐿 ∈ ℂ)
3130adantl 481 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊))) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...𝑁))) → 𝐿 ∈ ℂ)
3231addid2d 10275 . . . . 5 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊))) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...𝑁))) → (0 + 𝐿) = 𝐿)
3327, 32opeq12d 4441 . . . 4 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊))) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...𝑁))) → ⟨(0 + 𝐾), (0 + 𝐿)⟩ = ⟨𝐾, 𝐿⟩)
3433oveq2d 6706 . . 3 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊))) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...𝑁))) → (𝑊 substr ⟨(0 + 𝐾), (0 + 𝐿)⟩) = (𝑊 substr ⟨𝐾, 𝐿⟩))
3522, 34eqtrd 2685 . 2 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊))) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...𝑁))) → ((𝑊 substr ⟨0, 𝑁⟩) substr ⟨𝐾, 𝐿⟩) = (𝑊 substr ⟨𝐾, 𝐿⟩))
3635ex 449 1 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊))) → ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...𝑁)) → ((𝑊 substr ⟨0, 𝑁⟩) substr ⟨𝐾, 𝐿⟩) = (𝑊 substr ⟨𝐾, 𝐿⟩)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  cop 4216  cfv 5926  (class class class)co 6690  cc 9972  0cc0 9974   + caddc 9977  cmin 10304  0cn0 11330  cz 11415  ...cfz 12364  #chash 13157  Word cword 13323   substr csubstr 13327
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-hash 13158  df-word 13331  df-substr 13335
This theorem is referenced by:  swrd0swrd0  13509  swrdpfx  41739
  Copyright terms: Public domain W3C validator