Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  swrdswrd0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem swrdswrd0 13395
 Description: A subword of a prefix. (Contributed by Alexander van der Vekens, 6-Apr-2018.)
Assertion
Ref Expression
swrdswrd0 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊))) → ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...𝑁)) → ((𝑊 substr ⟨0, 𝑁⟩) substr ⟨𝐾, 𝐿⟩) = (𝑊 substr ⟨𝐾, 𝐿⟩)))

Proof of Theorem swrdswrd0
StepHypRef Expression
1 simpl 473 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊))) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
2 simpr 477 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊))) → 𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊)))
3 elfznn0 12371 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
4 0elfz 12374 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...𝑁))
53, 4syl 17 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊)) → 0 ∈ (0...𝑁))
65adantl 482 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊))) → 0 ∈ (0...𝑁))
71, 2, 63jca 1240 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊))) → (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ 0 ∈ (0...𝑁)))
87adantr 481 . . . 4 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊))) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...𝑁))) → (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ 0 ∈ (0...𝑁)))
9 elfzelz 12281 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊)) → 𝑁 ∈ ℤ)
10 zcn 11327 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
1110subid1d 10326 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 0) = 𝑁)
1211eqcomd 2632 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 = (𝑁 − 0))
139, 12syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊)) → 𝑁 = (𝑁 − 0))
1413adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊))) → 𝑁 = (𝑁 − 0))
1514oveq2d 6621 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊))) → (0...𝑁) = (0...(𝑁 − 0)))
1615eleq2d 2689 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊))) → (𝐾 ∈ (0...𝑁) ↔ 𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 0))))
1714oveq2d 6621 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊))) → (𝐾...𝑁) = (𝐾...(𝑁 − 0)))
1817eleq2d 2689 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊))) → (𝐿 ∈ (𝐾...𝑁) ↔ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 0))))
1916, 18anbi12d 746 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊))) → ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...𝑁)) ↔ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 0)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 0)))))
2019biimpa 501 . . . 4 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊))) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...𝑁))) → (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 0)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 0))))
21 swrdswrd 13393 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ 0 ∈ (0...𝑁)) → ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 0)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 0))) → ((𝑊 substr ⟨0, 𝑁⟩) substr ⟨𝐾, 𝐿⟩) = (𝑊 substr ⟨(0 + 𝐾), (0 + 𝐿)⟩)))
228, 20, 21sylc 65 . . 3 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊))) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...𝑁))) → ((𝑊 substr ⟨0, 𝑁⟩) substr ⟨𝐾, 𝐿⟩) = (𝑊 substr ⟨(0 + 𝐾), (0 + 𝐿)⟩))
23 elfzelz 12281 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)
2423zcnd 11427 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ ℂ)
2524adantr 481 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...𝑁)) → 𝐾 ∈ ℂ)
2625adantl 482 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊))) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...𝑁))) → 𝐾 ∈ ℂ)
2726addid2d 10182 . . . . 5 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊))) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...𝑁))) → (0 + 𝐾) = 𝐾)
28 elfzelz 12281 . . . . . . . . 9 (𝐿 ∈ (𝐾...𝑁) → 𝐿 ∈ ℤ)
2928zcnd 11427 . . . . . . . 8 (𝐿 ∈ (𝐾...𝑁) → 𝐿 ∈ ℂ)
3029adantl 482 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...𝑁)) → 𝐿 ∈ ℂ)
3130adantl 482 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊))) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...𝑁))) → 𝐿 ∈ ℂ)
3231addid2d 10182 . . . . 5 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊))) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...𝑁))) → (0 + 𝐿) = 𝐿)
3327, 32opeq12d 4383 . . . 4 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊))) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...𝑁))) → ⟨(0 + 𝐾), (0 + 𝐿)⟩ = ⟨𝐾, 𝐿⟩)
3433oveq2d 6621 . . 3 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊))) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...𝑁))) → (𝑊 substr ⟨(0 + 𝐾), (0 + 𝐿)⟩) = (𝑊 substr ⟨𝐾, 𝐿⟩))
3522, 34eqtrd 2660 . 2 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊))) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...𝑁))) → ((𝑊 substr ⟨0, 𝑁⟩) substr ⟨𝐾, 𝐿⟩) = (𝑊 substr ⟨𝐾, 𝐿⟩))
3635ex 450 1 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊))) → ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...𝑁)) → ((𝑊 substr ⟨0, 𝑁⟩) substr ⟨𝐾, 𝐿⟩) = (𝑊 substr ⟨𝐾, 𝐿⟩)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   ∧ w3a 1036   = wceq 1480   ∈ wcel 1992  ⟨cop 4159  ‘cfv 5850  (class class class)co 6605  ℂcc 9879  0cc0 9881   + caddc 9884   − cmin 10211  ℕ0cn0 11237  ℤcz 11322  ...cfz 12265  #chash 13054  Word cword 13225   substr csubstr 13229 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-om 7014  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-1o 7506  df-er 7688  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-fin 7904  df-card 8710  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-nn 10966  df-n0 11238  df-z 11323  df-uz 11632  df-fz 12266  df-fzo 12404  df-hash 13055  df-word 13233  df-substr 13237 This theorem is referenced by:  swrd0swrd0  13396  swrdpfx  40701
 Copyright terms: Public domain W3C validator