Theorem swrdtrcfv 13235

Description: A symbol in a word truncated by one symbol. (Contributed by Alexander van der Vekens, 16-Jun-2018.)

Assertion

Ref	Expression
swrdtrcfv	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1))) → ((𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)‘𝐼) = (𝑊‘𝐼))

Proof of Theorem swrdtrcfv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lennncl 13122	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (#‘𝑊) ∈ ℕ)
2		1nn0 11151	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℕ0
3	2	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((#‘𝑊) ∈ ℕ → 1 ∈ ℕ0)
4		nnnn0 11142	. . . . . . 7 ⊢ ((#‘𝑊) ∈ ℕ → (#‘𝑊) ∈ ℕ0)
5		nnge1 10889	. . . . . . 7 ⊢ ((#‘𝑊) ∈ ℕ → 1 ≤ (#‘𝑊))
6		elfz2nn0 12251	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ (0...(#‘𝑊)) ↔ (1 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ (#‘𝑊)))
7	3, 4, 5, 6	syl3anbrc 1238	. . . . . 6 ⊢ ((#‘𝑊) ∈ ℕ → 1 ∈ (0...(#‘𝑊)))
8		elfz1end 12193	. . . . . . 7 ⊢ ((#‘𝑊) ∈ ℕ ↔ (#‘𝑊) ∈ (1...(#‘𝑊)))
9	8	biimpi 204	. . . . . 6 ⊢ ((#‘𝑊) ∈ ℕ → (#‘𝑊) ∈ (1...(#‘𝑊)))
10	7, 9	jca 552	. . . . 5 ⊢ ((#‘𝑊) ∈ ℕ → (1 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ (#‘𝑊) ∈ (1...(#‘𝑊))))
11	1, 10	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (1 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ (#‘𝑊) ∈ (1...(#‘𝑊))))
12	11	3adant3 1073	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1))) → (1 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ (#‘𝑊) ∈ (1...(#‘𝑊))))
13		fz0fzdiffz0 12268	. . 3 ⊢ ((1 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ (#‘𝑊) ∈ (1...(#‘𝑊))) → ((#‘𝑊) − 1) ∈ (0...(#‘𝑊)))
14	12, 13	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1))) → ((#‘𝑊) − 1) ∈ (0...(#‘𝑊)))
15		swrd0fv 13233	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((#‘𝑊) − 1) ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1))) → ((𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)‘𝐼) = (𝑊‘𝐼))
16	14, 15	syld3an2 1364	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1))) → ((𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)‘𝐼) = (𝑊‘𝐼))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 382   ∧ w3a 1030   = wceq 1474   ∈ wcel 1975   ≠ wne 2775  ∅c0 3869  ⟨cop 4126   class class class wbr 4573  ‘cfv 5786  (class class class)co 6523  0cc0 9788  1c1 9789   ≤ cle 9927   − cmin 10113  ℕcn 10863  ℕ₀cn0 11135  ...cfz 12148  ..^cfzo 12285  #chash 12930  Word cword 13088   substr csubstr 13092

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-8 1977  ax-9 1984  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2228  ax-ext 2585  ax-rep 4689  ax-sep 4699  ax-nul 4708  ax-pow 4760  ax-pr 4824  ax-un 6820  ax-cnex 9844  ax-resscn 9845  ax-1cn 9846  ax-icn 9847  ax-addcl 9848  ax-addrcl 9849  ax-mulcl 9850  ax-mulrcl 9851  ax-mulcom 9852  ax-addass 9853  ax-mulass 9854  ax-distr 9855  ax-i2m1 9856  ax-1ne0 9857  ax-1rid 9858  ax-rnegex 9859  ax-rrecex 9860  ax-cnre 9861  ax-pre-lttri 9862  ax-pre-lttrn 9863  ax-pre-ltadd 9864  ax-pre-mulgt0 9865

This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2457  df-mo 2458  df-clab 2592  df-cleq 2598  df-clel 2601  df-nfc 2735  df-ne 2777  df-nel 2778  df-ral 2896  df-rex 2897  df-reu 2898  df-rab 2900  df-v 3170  df-sbc 3398  df-csb 3495  df-dif 3538  df-un 3540  df-in 3542  df-ss 3549  df-pss 3551  df-nul 3870  df-if 4032  df-pw 4105  df-sn 4121  df-pr 4123  df-tp 4125  df-op 4127  df-uni 4363  df-int 4401  df-iun 4447  df-br 4574  df-opab 4634  df-mpt 4635  df-tr 4671  df-eprel 4935  df-id 4939  df-po 4945  df-so 4946  df-fr 4983  df-we 4985  df-xp 5030  df-rel 5031  df-cnv 5032  df-co 5033  df-dm 5034  df-rn 5035  df-res 5036  df-ima 5037  df-pred 5579  df-ord 5625  df-on 5626  df-lim 5627  df-suc 5628  df-iota 5750  df-fun 5788  df-fn 5789  df-f 5790  df-f1 5791  df-fo 5792  df-f1o 5793  df-fv 5794  df-riota 6485  df-ov 6526  df-oprab 6527  df-mpt2 6528  df-om 6931  df-1st 7032  df-2nd 7033  df-wrecs 7267  df-recs 7328  df-rdg 7366  df-1o 7420  df-oadd 7424  df-er 7602  df-en 7815  df-dom 7816  df-sdom 7817  df-fin 7818  df-card 8621  df-pnf 9928  df-mnf 9929  df-xr 9930  df-ltxr 9931  df-le 9932  df-sub 10115  df-neg 10116  df-nn 10864  df-n0 11136  df-z 11207  df-uz 11516  df-fz 12149  df-fzo 12286  df-hash 12931  df-word 13096  df-substr 13100

This theorem is referenced by:  swrdtrcfv0  13236  clwlkisclwwlk  26079  clwlkclwwlk  41209