MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  swrdtrcfv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem swrdtrcfv 13235
Description: A symbol in a word truncated by one symbol. (Contributed by Alexander van der Vekens, 16-Jun-2018.)
Assertion
Ref Expression
swrdtrcfv ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1))) → ((𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)‘𝐼) = (𝑊𝐼))

Proof of Theorem swrdtrcfv
StepHypRef Expression
1 lennncl 13122 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑊 ≠ ∅) → (#‘𝑊) ∈ ℕ)
2 1nn0 11151 . . . . . . . 8 1 ∈ ℕ0
32a1i 11 . . . . . . 7 ((#‘𝑊) ∈ ℕ → 1 ∈ ℕ0)
4 nnnn0 11142 . . . . . . 7 ((#‘𝑊) ∈ ℕ → (#‘𝑊) ∈ ℕ0)
5 nnge1 10889 . . . . . . 7 ((#‘𝑊) ∈ ℕ → 1 ≤ (#‘𝑊))
6 elfz2nn0 12251 . . . . . . 7 (1 ∈ (0...(#‘𝑊)) ↔ (1 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ (#‘𝑊)))
73, 4, 5, 6syl3anbrc 1238 . . . . . 6 ((#‘𝑊) ∈ ℕ → 1 ∈ (0...(#‘𝑊)))
8 elfz1end 12193 . . . . . . 7 ((#‘𝑊) ∈ ℕ ↔ (#‘𝑊) ∈ (1...(#‘𝑊)))
98biimpi 204 . . . . . 6 ((#‘𝑊) ∈ ℕ → (#‘𝑊) ∈ (1...(#‘𝑊)))
107, 9jca 552 . . . . 5 ((#‘𝑊) ∈ ℕ → (1 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ (#‘𝑊) ∈ (1...(#‘𝑊))))
111, 10syl 17 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑊 ≠ ∅) → (1 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ (#‘𝑊) ∈ (1...(#‘𝑊))))
12113adant3 1073 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1))) → (1 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ (#‘𝑊) ∈ (1...(#‘𝑊))))
13 fz0fzdiffz0 12268 . . 3 ((1 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ (#‘𝑊) ∈ (1...(#‘𝑊))) → ((#‘𝑊) − 1) ∈ (0...(#‘𝑊)))
1412, 13syl 17 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1))) → ((#‘𝑊) − 1) ∈ (0...(#‘𝑊)))
15 swrd0fv 13233 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((#‘𝑊) − 1) ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1))) → ((𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)‘𝐼) = (𝑊𝐼))
1614, 15syld3an2 1364 1 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1))) → ((𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)‘𝐼) = (𝑊𝐼))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1975  wne 2775  c0 3869  cop 4126   class class class wbr 4573  cfv 5786  (class class class)co 6523  0cc0 9788  1c1 9789  cle 9927  cmin 10113  cn 10863  0cn0 11135  ...cfz 12148  ..^cfzo 12285  #chash 12930  Word cword 13088   substr csubstr 13092
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-8 1977  ax-9 1984  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2228  ax-ext 2585  ax-rep 4689  ax-sep 4699  ax-nul 4708  ax-pow 4760  ax-pr 4824  ax-un 6820  ax-cnex 9844  ax-resscn 9845  ax-1cn 9846  ax-icn 9847  ax-addcl 9848  ax-addrcl 9849  ax-mulcl 9850  ax-mulrcl 9851  ax-mulcom 9852  ax-addass 9853  ax-mulass 9854  ax-distr 9855  ax-i2m1 9856  ax-1ne0 9857  ax-1rid 9858  ax-rnegex 9859  ax-rrecex 9860  ax-cnre 9861  ax-pre-lttri 9862  ax-pre-lttrn 9863  ax-pre-ltadd 9864  ax-pre-mulgt0 9865
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2457  df-mo 2458  df-clab 2592  df-cleq 2598  df-clel 2601  df-nfc 2735  df-ne 2777  df-nel 2778  df-ral 2896  df-rex 2897  df-reu 2898  df-rab 2900  df-v 3170  df-sbc 3398  df-csb 3495  df-dif 3538  df-un 3540  df-in 3542  df-ss 3549  df-pss 3551  df-nul 3870  df-if 4032  df-pw 4105  df-sn 4121  df-pr 4123  df-tp 4125  df-op 4127  df-uni 4363  df-int 4401  df-iun 4447  df-br 4574  df-opab 4634  df-mpt 4635  df-tr 4671  df-eprel 4935  df-id 4939  df-po 4945  df-so 4946  df-fr 4983  df-we 4985  df-xp 5030  df-rel 5031  df-cnv 5032  df-co 5033  df-dm 5034  df-rn 5035  df-res 5036  df-ima 5037  df-pred 5579  df-ord 5625  df-on 5626  df-lim 5627  df-suc 5628  df-iota 5750  df-fun 5788  df-fn 5789  df-f 5790  df-f1 5791  df-fo 5792  df-f1o 5793  df-fv 5794  df-riota 6485  df-ov 6526  df-oprab 6527  df-mpt2 6528  df-om 6931  df-1st 7032  df-2nd 7033  df-wrecs 7267  df-recs 7328  df-rdg 7366  df-1o 7420  df-oadd 7424  df-er 7602  df-en 7815  df-dom 7816  df-sdom 7817  df-fin 7818  df-card 8621  df-pnf 9928  df-mnf 9929  df-xr 9930  df-ltxr 9931  df-le 9932  df-sub 10115  df-neg 10116  df-nn 10864  df-n0 11136  df-z 11207  df-uz 11516  df-fz 12149  df-fzo 12286  df-hash 12931  df-word 13096  df-substr 13100
This theorem is referenced by:  swrdtrcfv0  13236  clwlkisclwwlk  26079  clwlkclwwlk  41209
  Copyright terms: Public domain W3C validator