Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sxbrsigalem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sxbrsigalem3 31430
Description: The sigma-algebra generated by the closed half-spaces of (ℝ × ℝ) is a subset of the sigma-algebra generated by the closed sets of (ℝ × ℝ). (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Oct-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
sxbrsiga.0 𝐽 = (topGen‘ran (,))
Assertion
Ref Expression
sxbrsigalem3 (sigaGen‘(ran (𝑒 ∈ ℝ ↦ ((𝑒[,)+∞) × ℝ)) ∪ ran (𝑓 ∈ ℝ ↦ (ℝ × (𝑓[,)+∞))))) ⊆ (sigaGen‘(Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽)))
Distinct variable group:   𝑒,𝑓
Allowed substitution hints:   𝐽(𝑒,𝑓)

Proof of Theorem sxbrsigalem3
Dummy variables 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sxbrsigalem0 31429 . . 3 (ran (𝑒 ∈ ℝ ↦ ((𝑒[,)+∞) × ℝ)) ∪ ran (𝑓 ∈ ℝ ↦ (ℝ × (𝑓[,)+∞)))) = (ℝ × ℝ)
2 sxbrsiga.0 . . . . . 6 𝐽 = (topGen‘ran (,))
3 retop 23299 . . . . . 6 (topGen‘ran (,)) ∈ Top
42, 3eqeltri 2909 . . . . 5 𝐽 ∈ Top
54, 4txtopi 22128 . . . 4 (𝐽 ×t 𝐽) ∈ Top
6 uniretop 23300 . . . . . 6 ℝ = (topGen‘ran (,))
72unieqi 4841 . . . . . 6 𝐽 = (topGen‘ran (,))
86, 7eqtr4i 2847 . . . . 5 ℝ = 𝐽
94, 4, 8, 8txunii 22131 . . . 4 (ℝ × ℝ) = (𝐽 ×t 𝐽)
105, 9unicls 31046 . . 3 (Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽)) = (ℝ × ℝ)
111, 10eqtr4i 2847 . 2 (ran (𝑒 ∈ ℝ ↦ ((𝑒[,)+∞) × ℝ)) ∪ ran (𝑓 ∈ ℝ ↦ (ℝ × (𝑓[,)+∞)))) = (Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽))
12 ovex 7178 . . . . . . 7 (𝑒[,)+∞) ∈ V
13 reex 10617 . . . . . . 7 ℝ ∈ V
1412, 13xpex 7464 . . . . . 6 ((𝑒[,)+∞) × ℝ) ∈ V
15 eqid 2821 . . . . . 6 (𝑒 ∈ ℝ ↦ ((𝑒[,)+∞) × ℝ)) = (𝑒 ∈ ℝ ↦ ((𝑒[,)+∞) × ℝ))
1614, 15fnmpti 6485 . . . . 5 (𝑒 ∈ ℝ ↦ ((𝑒[,)+∞) × ℝ)) Fn ℝ
17 oveq1 7152 . . . . . . . . 9 (𝑒 = 𝑢 → (𝑒[,)+∞) = (𝑢[,)+∞))
1817xpeq1d 5578 . . . . . . . 8 (𝑒 = 𝑢 → ((𝑒[,)+∞) × ℝ) = ((𝑢[,)+∞) × ℝ))
19 ovex 7178 . . . . . . . . 9 (𝑢[,)+∞) ∈ V
2019, 13xpex 7464 . . . . . . . 8 ((𝑢[,)+∞) × ℝ) ∈ V
2118, 15, 20fvmpt 6762 . . . . . . 7 (𝑢 ∈ ℝ → ((𝑒 ∈ ℝ ↦ ((𝑒[,)+∞) × ℝ))‘𝑢) = ((𝑢[,)+∞) × ℝ))
22 icopnfcld 23305 . . . . . . . . 9 (𝑢 ∈ ℝ → (𝑢[,)+∞) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))
232fveq2i 6667 . . . . . . . . 9 (Clsd‘𝐽) = (Clsd‘(topGen‘ran (,)))
2422, 23eleqtrrdi 2924 . . . . . . . 8 (𝑢 ∈ ℝ → (𝑢[,)+∞) ∈ (Clsd‘𝐽))
25 dif0 4331 . . . . . . . . 9 (ℝ ∖ ∅) = ℝ
26 0opn 21442 . . . . . . . . . . 11 (𝐽 ∈ Top → ∅ ∈ 𝐽)
274, 26ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 ∅ ∈ 𝐽
288opncld 21571 . . . . . . . . . 10 ((𝐽 ∈ Top ∧ ∅ ∈ 𝐽) → (ℝ ∖ ∅) ∈ (Clsd‘𝐽))
294, 27, 28mp2an 688 . . . . . . . . 9 (ℝ ∖ ∅) ∈ (Clsd‘𝐽)
3025, 29eqeltrri 2910 . . . . . . . 8 ℝ ∈ (Clsd‘𝐽)
31 txcld 22141 . . . . . . . 8 (((𝑢[,)+∞) ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ ℝ ∈ (Clsd‘𝐽)) → ((𝑢[,)+∞) × ℝ) ∈ (Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽)))
3224, 30, 31sylancl 586 . . . . . . 7 (𝑢 ∈ ℝ → ((𝑢[,)+∞) × ℝ) ∈ (Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽)))
3321, 32eqeltrd 2913 . . . . . 6 (𝑢 ∈ ℝ → ((𝑒 ∈ ℝ ↦ ((𝑒[,)+∞) × ℝ))‘𝑢) ∈ (Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽)))
3433rgen 3148 . . . . 5 𝑢 ∈ ℝ ((𝑒 ∈ ℝ ↦ ((𝑒[,)+∞) × ℝ))‘𝑢) ∈ (Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽))
35 fnfvrnss 6877 . . . . 5 (((𝑒 ∈ ℝ ↦ ((𝑒[,)+∞) × ℝ)) Fn ℝ ∧ ∀𝑢 ∈ ℝ ((𝑒 ∈ ℝ ↦ ((𝑒[,)+∞) × ℝ))‘𝑢) ∈ (Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽))) → ran (𝑒 ∈ ℝ ↦ ((𝑒[,)+∞) × ℝ)) ⊆ (Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽)))
3616, 34, 35mp2an 688 . . . 4 ran (𝑒 ∈ ℝ ↦ ((𝑒[,)+∞) × ℝ)) ⊆ (Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽))
37 ovex 7178 . . . . . . 7 (𝑓[,)+∞) ∈ V
3813, 37xpex 7464 . . . . . 6 (ℝ × (𝑓[,)+∞)) ∈ V
39 eqid 2821 . . . . . 6 (𝑓 ∈ ℝ ↦ (ℝ × (𝑓[,)+∞))) = (𝑓 ∈ ℝ ↦ (ℝ × (𝑓[,)+∞)))
4038, 39fnmpti 6485 . . . . 5 (𝑓 ∈ ℝ ↦ (ℝ × (𝑓[,)+∞))) Fn ℝ
41 oveq1 7152 . . . . . . . . 9 (𝑓 = 𝑣 → (𝑓[,)+∞) = (𝑣[,)+∞))
4241xpeq2d 5579 . . . . . . . 8 (𝑓 = 𝑣 → (ℝ × (𝑓[,)+∞)) = (ℝ × (𝑣[,)+∞)))
43 ovex 7178 . . . . . . . . 9 (𝑣[,)+∞) ∈ V
4413, 43xpex 7464 . . . . . . . 8 (ℝ × (𝑣[,)+∞)) ∈ V
4542, 39, 44fvmpt 6762 . . . . . . 7 (𝑣 ∈ ℝ → ((𝑓 ∈ ℝ ↦ (ℝ × (𝑓[,)+∞)))‘𝑣) = (ℝ × (𝑣[,)+∞)))
46 icopnfcld 23305 . . . . . . . . 9 (𝑣 ∈ ℝ → (𝑣[,)+∞) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))
4746, 23eleqtrrdi 2924 . . . . . . . 8 (𝑣 ∈ ℝ → (𝑣[,)+∞) ∈ (Clsd‘𝐽))
48 txcld 22141 . . . . . . . 8 ((ℝ ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ (𝑣[,)+∞) ∈ (Clsd‘𝐽)) → (ℝ × (𝑣[,)+∞)) ∈ (Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽)))
4930, 47, 48sylancr 587 . . . . . . 7 (𝑣 ∈ ℝ → (ℝ × (𝑣[,)+∞)) ∈ (Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽)))
5045, 49eqeltrd 2913 . . . . . 6 (𝑣 ∈ ℝ → ((𝑓 ∈ ℝ ↦ (ℝ × (𝑓[,)+∞)))‘𝑣) ∈ (Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽)))
5150rgen 3148 . . . . 5 𝑣 ∈ ℝ ((𝑓 ∈ ℝ ↦ (ℝ × (𝑓[,)+∞)))‘𝑣) ∈ (Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽))
52 fnfvrnss 6877 . . . . 5 (((𝑓 ∈ ℝ ↦ (ℝ × (𝑓[,)+∞))) Fn ℝ ∧ ∀𝑣 ∈ ℝ ((𝑓 ∈ ℝ ↦ (ℝ × (𝑓[,)+∞)))‘𝑣) ∈ (Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽))) → ran (𝑓 ∈ ℝ ↦ (ℝ × (𝑓[,)+∞))) ⊆ (Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽)))
5340, 51, 52mp2an 688 . . . 4 ran (𝑓 ∈ ℝ ↦ (ℝ × (𝑓[,)+∞))) ⊆ (Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽))
5436, 53unssi 4160 . . 3 (ran (𝑒 ∈ ℝ ↦ ((𝑒[,)+∞) × ℝ)) ∪ ran (𝑓 ∈ ℝ ↦ (ℝ × (𝑓[,)+∞)))) ⊆ (Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽))
55 fvex 6677 . . . 4 (Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽)) ∈ V
56 sssigagen 31304 . . . 4 ((Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽)) ∈ V → (Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽)) ⊆ (sigaGen‘(Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽))))
5755, 56ax-mp 5 . . 3 (Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽)) ⊆ (sigaGen‘(Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽)))
5854, 57sstri 3975 . 2 (ran (𝑒 ∈ ℝ ↦ ((𝑒[,)+∞) × ℝ)) ∪ ran (𝑓 ∈ ℝ ↦ (ℝ × (𝑓[,)+∞)))) ⊆ (sigaGen‘(Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽)))
59 sigagenss2 31309 . 2 (( (ran (𝑒 ∈ ℝ ↦ ((𝑒[,)+∞) × ℝ)) ∪ ran (𝑓 ∈ ℝ ↦ (ℝ × (𝑓[,)+∞)))) = (Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽)) ∧ (ran (𝑒 ∈ ℝ ↦ ((𝑒[,)+∞) × ℝ)) ∪ ran (𝑓 ∈ ℝ ↦ (ℝ × (𝑓[,)+∞)))) ⊆ (sigaGen‘(Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽))) ∧ (Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽)) ∈ V) → (sigaGen‘(ran (𝑒 ∈ ℝ ↦ ((𝑒[,)+∞) × ℝ)) ∪ ran (𝑓 ∈ ℝ ↦ (ℝ × (𝑓[,)+∞))))) ⊆ (sigaGen‘(Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽))))
6011, 58, 55, 59mp3an 1452 1 (sigaGen‘(ran (𝑒 ∈ ℝ ↦ ((𝑒[,)+∞) × ℝ)) ∪ ran (𝑓 ∈ ℝ ↦ (ℝ × (𝑓[,)+∞))))) ⊆ (sigaGen‘(Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1528  wcel 2105  wral 3138  Vcvv 3495  cdif 3932  cun 3933  wss 3935  c0 4290   cuni 4832  cmpt 5138   × cxp 5547  ran crn 5550   Fn wfn 6344  cfv 6349  (class class class)co 7145  cr 10525  +∞cpnf 10661  (,)cioo 12728  [,)cico 12730  topGenctg 16701  Topctop 21431  Clsdccld 21554   ×t ctx 22098  sigaGencsigagen 31297
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2793  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7450  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-fal 1541  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4833  df-int 4870  df-iun 4914  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7569  df-1st 7680  df-2nd 7681  df-wrecs 7938  df-recs 7999  df-rdg 8037  df-er 8279  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-sup 8895  df-inf 8896  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11628  df-n0 11887  df-z 11971  df-uz 12233  df-q 12338  df-ioo 12732  df-ico 12734  df-topgen 16707  df-top 21432  df-topon 21449  df-bases 21484  df-cld 21557  df-tx 22100  df-siga 31268  df-sigagen 31298
This theorem is referenced by:  sxbrsigalem4  31445
  Copyright terms: Public domain W3C validator