Theorem sxbrsigalem3 31532

Description: The sigma-algebra generated by the closed half-spaces of (ℝ × ℝ) is a subset of the sigma-algebra generated by the closed sets of (ℝ × ℝ). (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Oct-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
sxbrsiga.0	⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))

Assertion

Ref	Expression
sxbrsigalem3	⊢ (sigaGen‘(ran (𝑒 ∈ ℝ ↦ ((𝑒[,)+∞) × ℝ)) ∪ ran (𝑓 ∈ ℝ ↦ (ℝ × (𝑓[,)+∞))))) ⊆ (sigaGen‘(Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽)))

Distinct variable group:   𝑒,𝑓

Allowed substitution hints:   𝐽(𝑒,𝑓)

Proof of Theorem sxbrsigalem3

Dummy variables 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sxbrsigalem0 31531	. . 3 ⊢ ∪ (ran (𝑒 ∈ ℝ ↦ ((𝑒[,)+∞) × ℝ)) ∪ ran (𝑓 ∈ ℝ ↦ (ℝ × (𝑓[,)+∞)))) = (ℝ × ℝ)
2		sxbrsiga.0	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
3		retop 23372	. . . . . 6 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Top
4	2, 3	eqeltri 2911	. . . . 5 ⊢ 𝐽 ∈ Top
5	4, 4	txtopi 22200	. . . 4 ⊢ (𝐽 ×t 𝐽) ∈ Top
6		uniretop 23373	. . . . . 6 ⊢ ℝ = ∪ (topGen‘ran (,))
7	2	unieqi 4853	. . . . . 6 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ (topGen‘ran (,))
8	6, 7	eqtr4i 2849	. . . . 5 ⊢ ℝ = ∪ 𝐽
9	4, 4, 8, 8	txunii 22203	. . . 4 ⊢ (ℝ × ℝ) = ∪ (𝐽 ×t 𝐽)
10	5, 9	unicls 31148	. . 3 ⊢ ∪ (Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽)) = (ℝ × ℝ)
11	1, 10	eqtr4i 2849	. 2 ⊢ ∪ (ran (𝑒 ∈ ℝ ↦ ((𝑒[,)+∞) × ℝ)) ∪ ran (𝑓 ∈ ℝ ↦ (ℝ × (𝑓[,)+∞)))) = ∪ (Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽))
12		ovex 7191	. . . . . . 7 ⊢ (𝑒[,)+∞) ∈ V
13		reex 10630	. . . . . . 7 ⊢ ℝ ∈ V
14	12, 13	xpex 7478	. . . . . 6 ⊢ ((𝑒[,)+∞) × ℝ) ∈ V
15		eqid 2823	. . . . . 6 ⊢ (𝑒 ∈ ℝ ↦ ((𝑒[,)+∞) × ℝ)) = (𝑒 ∈ ℝ ↦ ((𝑒[,)+∞) × ℝ))
16	14, 15	fnmpti 6493	. . . . 5 ⊢ (𝑒 ∈ ℝ ↦ ((𝑒[,)+∞) × ℝ)) Fn ℝ
17		oveq1 7165	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑒 = 𝑢 → (𝑒[,)+∞) = (𝑢[,)+∞))
18	17	xpeq1d 5586	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑒 = 𝑢 → ((𝑒[,)+∞) × ℝ) = ((𝑢[,)+∞) × ℝ))
19		ovex 7191	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑢[,)+∞) ∈ V
20	19, 13	xpex 7478	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑢[,)+∞) × ℝ) ∈ V
21	18, 15, 20	fvmpt 6770	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 ∈ ℝ → ((𝑒 ∈ ℝ ↦ ((𝑒[,)+∞) × ℝ))‘𝑢) = ((𝑢[,)+∞) × ℝ))
22		icopnfcld 23378	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑢 ∈ ℝ → (𝑢[,)+∞) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))
23	2	fveq2i 6675	. . . . . . . . 9 ⊢ (Clsd‘𝐽) = (Clsd‘(topGen‘ran (,)))
24	22, 23	eleqtrrdi 2926	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 ∈ ℝ → (𝑢[,)+∞) ∈ (Clsd‘𝐽))
25		dif0 4334	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℝ ∖ ∅) = ℝ
26		0opn 21514	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ∅ ∈ 𝐽)
27	4, 26	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∅ ∈ 𝐽
28	8	opncld 21643	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ ∅ ∈ 𝐽) → (ℝ ∖ ∅) ∈ (Clsd‘𝐽))
29	4, 27, 28	mp2an 690	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℝ ∖ ∅) ∈ (Clsd‘𝐽)
30	25, 29	eqeltrri 2912	. . . . . . . 8 ⊢ ℝ ∈ (Clsd‘𝐽)
31		txcld 22213	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑢[,)+∞) ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ ℝ ∈ (Clsd‘𝐽)) → ((𝑢[,)+∞) × ℝ) ∈ (Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽)))
32	24, 30, 31	sylancl 588	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 ∈ ℝ → ((𝑢[,)+∞) × ℝ) ∈ (Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽)))
33	21, 32	eqeltrd 2915	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 ∈ ℝ → ((𝑒 ∈ ℝ ↦ ((𝑒[,)+∞) × ℝ))‘𝑢) ∈ (Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽)))
34	33	rgen 3150	. . . . 5 ⊢ ∀𝑢 ∈ ℝ ((𝑒 ∈ ℝ ↦ ((𝑒[,)+∞) × ℝ))‘𝑢) ∈ (Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽))
35		fnfvrnss 6886	. . . . 5 ⊢ (((𝑒 ∈ ℝ ↦ ((𝑒[,)+∞) × ℝ)) Fn ℝ ∧ ∀𝑢 ∈ ℝ ((𝑒 ∈ ℝ ↦ ((𝑒[,)+∞) × ℝ))‘𝑢) ∈ (Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽))) → ran (𝑒 ∈ ℝ ↦ ((𝑒[,)+∞) × ℝ)) ⊆ (Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽)))
36	16, 34, 35	mp2an 690	. . . 4 ⊢ ran (𝑒 ∈ ℝ ↦ ((𝑒[,)+∞) × ℝ)) ⊆ (Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽))
37		ovex 7191	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓[,)+∞) ∈ V
38	13, 37	xpex 7478	. . . . . 6 ⊢ (ℝ × (𝑓[,)+∞)) ∈ V
39		eqid 2823	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ ℝ ↦ (ℝ × (𝑓[,)+∞))) = (𝑓 ∈ ℝ ↦ (ℝ × (𝑓[,)+∞)))
40	38, 39	fnmpti 6493	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ ℝ ↦ (ℝ × (𝑓[,)+∞))) Fn ℝ
41		oveq1 7165	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 = 𝑣 → (𝑓[,)+∞) = (𝑣[,)+∞))
42	41	xpeq2d 5587	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = 𝑣 → (ℝ × (𝑓[,)+∞)) = (ℝ × (𝑣[,)+∞)))
43		ovex 7191	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑣[,)+∞) ∈ V
44	13, 43	xpex 7478	. . . . . . . 8 ⊢ (ℝ × (𝑣[,)+∞)) ∈ V
45	42, 39, 44	fvmpt 6770	. . . . . . 7 ⊢ (𝑣 ∈ ℝ → ((𝑓 ∈ ℝ ↦ (ℝ × (𝑓[,)+∞)))‘𝑣) = (ℝ × (𝑣[,)+∞)))
46		icopnfcld 23378	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑣 ∈ ℝ → (𝑣[,)+∞) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))
47	46, 23	eleqtrrdi 2926	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑣 ∈ ℝ → (𝑣[,)+∞) ∈ (Clsd‘𝐽))
48		txcld 22213	. . . . . . . 8 ⊢ ((ℝ ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ (𝑣[,)+∞) ∈ (Clsd‘𝐽)) → (ℝ × (𝑣[,)+∞)) ∈ (Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽)))
49	30, 47, 48	sylancr 589	. . . . . . 7 ⊢ (𝑣 ∈ ℝ → (ℝ × (𝑣[,)+∞)) ∈ (Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽)))
50	45, 49	eqeltrd 2915	. . . . . 6 ⊢ (𝑣 ∈ ℝ → ((𝑓 ∈ ℝ ↦ (ℝ × (𝑓[,)+∞)))‘𝑣) ∈ (Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽)))
51	50	rgen 3150	. . . . 5 ⊢ ∀𝑣 ∈ ℝ ((𝑓 ∈ ℝ ↦ (ℝ × (𝑓[,)+∞)))‘𝑣) ∈ (Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽))
52		fnfvrnss 6886	. . . . 5 ⊢ (((𝑓 ∈ ℝ ↦ (ℝ × (𝑓[,)+∞))) Fn ℝ ∧ ∀𝑣 ∈ ℝ ((𝑓 ∈ ℝ ↦ (ℝ × (𝑓[,)+∞)))‘𝑣) ∈ (Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽))) → ran (𝑓 ∈ ℝ ↦ (ℝ × (𝑓[,)+∞))) ⊆ (Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽)))
53	40, 51, 52	mp2an 690	. . . 4 ⊢ ran (𝑓 ∈ ℝ ↦ (ℝ × (𝑓[,)+∞))) ⊆ (Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽))
54	36, 53	unssi 4163	. . 3 ⊢ (ran (𝑒 ∈ ℝ ↦ ((𝑒[,)+∞) × ℝ)) ∪ ran (𝑓 ∈ ℝ ↦ (ℝ × (𝑓[,)+∞)))) ⊆ (Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽))
55		fvex 6685	. . . 4 ⊢ (Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽)) ∈ V
56		sssigagen 31406	. . . 4 ⊢ ((Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽)) ∈ V → (Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽)) ⊆ (sigaGen‘(Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽))))
57	55, 56	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽)) ⊆ (sigaGen‘(Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽)))
58	54, 57	sstri 3978	. 2 ⊢ (ran (𝑒 ∈ ℝ ↦ ((𝑒[,)+∞) × ℝ)) ∪ ran (𝑓 ∈ ℝ ↦ (ℝ × (𝑓[,)+∞)))) ⊆ (sigaGen‘(Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽)))
59		sigagenss2 31411	. 2 ⊢ ((∪ (ran (𝑒 ∈ ℝ ↦ ((𝑒[,)+∞) × ℝ)) ∪ ran (𝑓 ∈ ℝ ↦ (ℝ × (𝑓[,)+∞)))) = ∪ (Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽)) ∧ (ran (𝑒 ∈ ℝ ↦ ((𝑒[,)+∞) × ℝ)) ∪ ran (𝑓 ∈ ℝ ↦ (ℝ × (𝑓[,)+∞)))) ⊆ (sigaGen‘(Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽))) ∧ (Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽)) ∈ V) → (sigaGen‘(ran (𝑒 ∈ ℝ ↦ ((𝑒[,)+∞) × ℝ)) ∪ ran (𝑓 ∈ ℝ ↦ (ℝ × (𝑓[,)+∞))))) ⊆ (sigaGen‘(Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽))))
60	11, 58, 55, 59	mp3an 1457	1 ⊢ (sigaGen‘(ran (𝑒 ∈ ℝ ↦ ((𝑒[,)+∞) × ℝ)) ∪ ran (𝑓 ∈ ℝ ↦ (ℝ × (𝑓[,)+∞))))) ⊆ (sigaGen‘(Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽)))

Syntax hints:   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  ∀wral 3140  Vcvv 3496   ∖ cdif 3935   ∪ cun 3936   ⊆ wss 3938  ∅c0 4293  ∪ cuni 4840   ↦ cmpt 5148   × cxp 5555  ran crn 5558   Fn wfn 6352  ‘cfv 6357  (class class class)co 7158  ℝcr 10538  +∞cpnf 10674  (,)cioo 12741  [,)cico 12743  topGenctg 16713  Topctop 21503  Clsdccld 21626   ×_t ctx 22170  sigaGencsigagen 31399

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616  ax-pre-sup 10617

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-int 4879  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-om 7583  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-er 8291  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-sup 8908  df-inf 8909  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-div 11300  df-nn 11641  df-n0 11901  df-z 11985  df-uz 12247  df-q 12352  df-ioo 12745  df-ico 12747  df-topgen 16719  df-top 21504  df-topon 21521  df-bases 21556  df-cld 21629  df-tx 22172  df-siga 31370  df-sigagen 31400

This theorem is referenced by:  sxbrsigalem4  31547