Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sxbrsigalem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sxbrsigalem3 29495
Description: The sigma-algebra generated by the closed half-spaces of (ℝ × ℝ) is a subset of the sigma-algebra generated by the closed sets of (ℝ × ℝ). (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Oct-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
sxbrsiga.0 𝐽 = (topGen‘ran (,))
Assertion
Ref Expression
sxbrsigalem3 (sigaGen‘(ran (𝑒 ∈ ℝ ↦ ((𝑒[,)+∞) × ℝ)) ∪ ran (𝑓 ∈ ℝ ↦ (ℝ × (𝑓[,)+∞))))) ⊆ (sigaGen‘(Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽)))
Distinct variable group:   𝑒,𝑓
Allowed substitution hints:   𝐽(𝑒,𝑓)

Proof of Theorem sxbrsigalem3
Dummy variables 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sxbrsigalem0 29494 . . 3 (ran (𝑒 ∈ ℝ ↦ ((𝑒[,)+∞) × ℝ)) ∪ ran (𝑓 ∈ ℝ ↦ (ℝ × (𝑓[,)+∞)))) = (ℝ × ℝ)
2 sxbrsiga.0 . . . . . 6 𝐽 = (topGen‘ran (,))
3 retop 22323 . . . . . 6 (topGen‘ran (,)) ∈ Top
42, 3eqeltri 2683 . . . . 5 𝐽 ∈ Top
54, 4txtopi 21151 . . . 4 (𝐽 ×t 𝐽) ∈ Top
6 uniretop 22324 . . . . . 6 ℝ = (topGen‘ran (,))
72unieqi 4375 . . . . . 6 𝐽 = (topGen‘ran (,))
86, 7eqtr4i 2634 . . . . 5 ℝ = 𝐽
94, 4, 8, 8txunii 21154 . . . 4 (ℝ × ℝ) = (𝐽 ×t 𝐽)
105, 9unicls 29111 . . 3 (Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽)) = (ℝ × ℝ)
111, 10eqtr4i 2634 . 2 (ran (𝑒 ∈ ℝ ↦ ((𝑒[,)+∞) × ℝ)) ∪ ran (𝑓 ∈ ℝ ↦ (ℝ × (𝑓[,)+∞)))) = (Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽))
12 ovex 6555 . . . . . . 7 (𝑒[,)+∞) ∈ V
13 reex 9884 . . . . . . 7 ℝ ∈ V
1412, 13xpex 6838 . . . . . 6 ((𝑒[,)+∞) × ℝ) ∈ V
15 eqid 2609 . . . . . 6 (𝑒 ∈ ℝ ↦ ((𝑒[,)+∞) × ℝ)) = (𝑒 ∈ ℝ ↦ ((𝑒[,)+∞) × ℝ))
1614, 15fnmpti 5921 . . . . 5 (𝑒 ∈ ℝ ↦ ((𝑒[,)+∞) × ℝ)) Fn ℝ
17 oveq1 6534 . . . . . . . . 9 (𝑒 = 𝑢 → (𝑒[,)+∞) = (𝑢[,)+∞))
1817xpeq1d 5052 . . . . . . . 8 (𝑒 = 𝑢 → ((𝑒[,)+∞) × ℝ) = ((𝑢[,)+∞) × ℝ))
19 ovex 6555 . . . . . . . . 9 (𝑢[,)+∞) ∈ V
2019, 13xpex 6838 . . . . . . . 8 ((𝑢[,)+∞) × ℝ) ∈ V
2118, 15, 20fvmpt 6176 . . . . . . 7 (𝑢 ∈ ℝ → ((𝑒 ∈ ℝ ↦ ((𝑒[,)+∞) × ℝ))‘𝑢) = ((𝑢[,)+∞) × ℝ))
22 icopnfcld 22329 . . . . . . . . 9 (𝑢 ∈ ℝ → (𝑢[,)+∞) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))
232fveq2i 6091 . . . . . . . . 9 (Clsd‘𝐽) = (Clsd‘(topGen‘ran (,)))
2422, 23syl6eleqr 2698 . . . . . . . 8 (𝑢 ∈ ℝ → (𝑢[,)+∞) ∈ (Clsd‘𝐽))
25 dif0 3903 . . . . . . . . 9 (ℝ ∖ ∅) = ℝ
26 0opn 20482 . . . . . . . . . . 11 (𝐽 ∈ Top → ∅ ∈ 𝐽)
274, 26ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 ∅ ∈ 𝐽
288opncld 20595 . . . . . . . . . 10 ((𝐽 ∈ Top ∧ ∅ ∈ 𝐽) → (ℝ ∖ ∅) ∈ (Clsd‘𝐽))
294, 27, 28mp2an 703 . . . . . . . . 9 (ℝ ∖ ∅) ∈ (Clsd‘𝐽)
3025, 29eqeltrri 2684 . . . . . . . 8 ℝ ∈ (Clsd‘𝐽)
31 txcld 21164 . . . . . . . 8 (((𝑢[,)+∞) ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ ℝ ∈ (Clsd‘𝐽)) → ((𝑢[,)+∞) × ℝ) ∈ (Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽)))
3224, 30, 31sylancl 692 . . . . . . 7 (𝑢 ∈ ℝ → ((𝑢[,)+∞) × ℝ) ∈ (Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽)))
3321, 32eqeltrd 2687 . . . . . 6 (𝑢 ∈ ℝ → ((𝑒 ∈ ℝ ↦ ((𝑒[,)+∞) × ℝ))‘𝑢) ∈ (Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽)))
3433rgen 2905 . . . . 5 𝑢 ∈ ℝ ((𝑒 ∈ ℝ ↦ ((𝑒[,)+∞) × ℝ))‘𝑢) ∈ (Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽))
35 fnfvrnss 6282 . . . . 5 (((𝑒 ∈ ℝ ↦ ((𝑒[,)+∞) × ℝ)) Fn ℝ ∧ ∀𝑢 ∈ ℝ ((𝑒 ∈ ℝ ↦ ((𝑒[,)+∞) × ℝ))‘𝑢) ∈ (Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽))) → ran (𝑒 ∈ ℝ ↦ ((𝑒[,)+∞) × ℝ)) ⊆ (Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽)))
3616, 34, 35mp2an 703 . . . 4 ran (𝑒 ∈ ℝ ↦ ((𝑒[,)+∞) × ℝ)) ⊆ (Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽))
37 ovex 6555 . . . . . . 7 (𝑓[,)+∞) ∈ V
3813, 37xpex 6838 . . . . . 6 (ℝ × (𝑓[,)+∞)) ∈ V
39 eqid 2609 . . . . . 6 (𝑓 ∈ ℝ ↦ (ℝ × (𝑓[,)+∞))) = (𝑓 ∈ ℝ ↦ (ℝ × (𝑓[,)+∞)))
4038, 39fnmpti 5921 . . . . 5 (𝑓 ∈ ℝ ↦ (ℝ × (𝑓[,)+∞))) Fn ℝ
41 oveq1 6534 . . . . . . . . 9 (𝑓 = 𝑣 → (𝑓[,)+∞) = (𝑣[,)+∞))
4241xpeq2d 5053 . . . . . . . 8 (𝑓 = 𝑣 → (ℝ × (𝑓[,)+∞)) = (ℝ × (𝑣[,)+∞)))
43 ovex 6555 . . . . . . . . 9 (𝑣[,)+∞) ∈ V
4413, 43xpex 6838 . . . . . . . 8 (ℝ × (𝑣[,)+∞)) ∈ V
4542, 39, 44fvmpt 6176 . . . . . . 7 (𝑣 ∈ ℝ → ((𝑓 ∈ ℝ ↦ (ℝ × (𝑓[,)+∞)))‘𝑣) = (ℝ × (𝑣[,)+∞)))
46 icopnfcld 22329 . . . . . . . . 9 (𝑣 ∈ ℝ → (𝑣[,)+∞) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))
4746, 23syl6eleqr 2698 . . . . . . . 8 (𝑣 ∈ ℝ → (𝑣[,)+∞) ∈ (Clsd‘𝐽))
48 txcld 21164 . . . . . . . 8 ((ℝ ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ (𝑣[,)+∞) ∈ (Clsd‘𝐽)) → (ℝ × (𝑣[,)+∞)) ∈ (Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽)))
4930, 47, 48sylancr 693 . . . . . . 7 (𝑣 ∈ ℝ → (ℝ × (𝑣[,)+∞)) ∈ (Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽)))
5045, 49eqeltrd 2687 . . . . . 6 (𝑣 ∈ ℝ → ((𝑓 ∈ ℝ ↦ (ℝ × (𝑓[,)+∞)))‘𝑣) ∈ (Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽)))
5150rgen 2905 . . . . 5 𝑣 ∈ ℝ ((𝑓 ∈ ℝ ↦ (ℝ × (𝑓[,)+∞)))‘𝑣) ∈ (Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽))
52 fnfvrnss 6282 . . . . 5 (((𝑓 ∈ ℝ ↦ (ℝ × (𝑓[,)+∞))) Fn ℝ ∧ ∀𝑣 ∈ ℝ ((𝑓 ∈ ℝ ↦ (ℝ × (𝑓[,)+∞)))‘𝑣) ∈ (Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽))) → ran (𝑓 ∈ ℝ ↦ (ℝ × (𝑓[,)+∞))) ⊆ (Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽)))
5340, 51, 52mp2an 703 . . . 4 ran (𝑓 ∈ ℝ ↦ (ℝ × (𝑓[,)+∞))) ⊆ (Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽))
5436, 53unssi 3749 . . 3 (ran (𝑒 ∈ ℝ ↦ ((𝑒[,)+∞) × ℝ)) ∪ ran (𝑓 ∈ ℝ ↦ (ℝ × (𝑓[,)+∞)))) ⊆ (Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽))
55 fvex 6098 . . . 4 (Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽)) ∈ V
56 sssigagen 29369 . . . 4 ((Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽)) ∈ V → (Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽)) ⊆ (sigaGen‘(Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽))))
5755, 56ax-mp 5 . . 3 (Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽)) ⊆ (sigaGen‘(Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽)))
5854, 57sstri 3576 . 2 (ran (𝑒 ∈ ℝ ↦ ((𝑒[,)+∞) × ℝ)) ∪ ran (𝑓 ∈ ℝ ↦ (ℝ × (𝑓[,)+∞)))) ⊆ (sigaGen‘(Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽)))
59 sigagenss2 29374 . 2 (( (ran (𝑒 ∈ ℝ ↦ ((𝑒[,)+∞) × ℝ)) ∪ ran (𝑓 ∈ ℝ ↦ (ℝ × (𝑓[,)+∞)))) = (Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽)) ∧ (ran (𝑒 ∈ ℝ ↦ ((𝑒[,)+∞) × ℝ)) ∪ ran (𝑓 ∈ ℝ ↦ (ℝ × (𝑓[,)+∞)))) ⊆ (sigaGen‘(Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽))) ∧ (Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽)) ∈ V) → (sigaGen‘(ran (𝑒 ∈ ℝ ↦ ((𝑒[,)+∞) × ℝ)) ∪ ran (𝑓 ∈ ℝ ↦ (ℝ × (𝑓[,)+∞))))) ⊆ (sigaGen‘(Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽))))
6011, 58, 55, 59mp3an 1415 1 (sigaGen‘(ran (𝑒 ∈ ℝ ↦ ((𝑒[,)+∞) × ℝ)) ∪ ran (𝑓 ∈ ℝ ↦ (ℝ × (𝑓[,)+∞))))) ⊆ (sigaGen‘(Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1474  wcel 1976  wral 2895  Vcvv 3172  cdif 3536  cun 3537  wss 3539  c0 3873   cuni 4366  cmpt 4637   × cxp 5026  ran crn 5029   Fn wfn 5785  cfv 5790  (class class class)co 6527  cr 9792  +∞cpnf 9928  (,)cioo 12005  [,)cico 12007  topGenctg 15870  Topctop 20465  Clsdccld 20578   ×t ctx 21121  sigaGencsigagen 29362
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6825  ax-cnex 9849  ax-resscn 9850  ax-1cn 9851  ax-icn 9852  ax-addcl 9853  ax-addrcl 9854  ax-mulcl 9855  ax-mulrcl 9856  ax-mulcom 9857  ax-addass 9858  ax-mulass 9859  ax-distr 9860  ax-i2m1 9861  ax-1ne0 9862  ax-1rid 9863  ax-rnegex 9864  ax-rrecex 9865  ax-cnre 9866  ax-pre-lttri 9867  ax-pre-lttrn 9868  ax-pre-ltadd 9869  ax-pre-mulgt0 9870  ax-pre-sup 9871
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6936  df-1st 7037  df-2nd 7038  df-wrecs 7272  df-recs 7333  df-rdg 7371  df-er 7607  df-en 7820  df-dom 7821  df-sdom 7822  df-sup 8209  df-inf 8210  df-pnf 9933  df-mnf 9934  df-xr 9935  df-ltxr 9936  df-le 9937  df-sub 10120  df-neg 10121  df-div 10537  df-nn 10871  df-n0 11143  df-z 11214  df-uz 11523  df-q 11624  df-ioo 12009  df-ico 12011  df-topgen 15876  df-top 20469  df-bases 20470  df-topon 20471  df-cld 20581  df-tx 21123  df-siga 29332  df-sigagen 29363
This theorem is referenced by:  sxbrsigalem4  29510
  Copyright terms: Public domain W3C validator