Theorem sxbrsigalem4 30477

Description: The Borel algebra on (ℝ × ℝ) is generated by the dyadic closed-below, open-above rectangular subsets of (ℝ × ℝ). Proposition 1.1.5 of [Cohn] p. 4 . Note that the interval used in this formalization are closed-below, open-above instead of open-below, closed-above in the proof as they are ultimately generated by the floor function. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Sep-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
sxbrsiga.0	⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
dya2ioc.1	⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ ℤ, 𝑛 ∈ ℤ ↦ ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))))
dya2ioc.2	⊢ 𝑅 = (𝑢 ∈ ran 𝐼, 𝑣 ∈ ran 𝐼 ↦ (𝑢 × 𝑣))

Assertion

Ref	Expression
sxbrsigalem4	⊢ (sigaGen‘(𝐽 ×t 𝐽)) = (sigaGen‘ran 𝑅)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑛   𝑥,𝐼   𝑣,𝑢,𝐼,𝑥   𝑢,𝑛,𝑣   𝑅,𝑛,𝑥   𝑥,𝐽

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑣,𝑢)   𝐼(𝑛)   𝐽(𝑣,𝑢,𝑛)

Proof of Theorem sxbrsigalem4

Dummy variables 𝑒 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sxbrsiga.0	. . 3 ⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
2		dya2ioc.1	. . 3 ⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ ℤ, 𝑛 ∈ ℤ ↦ ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))))
3		dya2ioc.2	. . 3 ⊢ 𝑅 = (𝑢 ∈ ran 𝐼, 𝑣 ∈ ran 𝐼 ↦ (𝑢 × 𝑣))
4	1, 2, 3	sxbrsigalem1 30475	. 2 ⊢ (sigaGen‘(𝐽 ×t 𝐽)) ⊆ (sigaGen‘ran 𝑅)
5	1, 2, 3	sxbrsigalem2 30476	. . . 4 ⊢ (sigaGen‘ran 𝑅) ⊆ (sigaGen‘(ran (𝑒 ∈ ℝ ↦ ((𝑒[,)+∞) × ℝ)) ∪ ran (𝑓 ∈ ℝ ↦ (ℝ × (𝑓[,)+∞)))))
6	1	sxbrsigalem3 30462	. . . 4 ⊢ (sigaGen‘(ran (𝑒 ∈ ℝ ↦ ((𝑒[,)+∞) × ℝ)) ∪ ran (𝑓 ∈ ℝ ↦ (ℝ × (𝑓[,)+∞))))) ⊆ (sigaGen‘(Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽)))
7	5, 6	sstri 3645	. . 3 ⊢ (sigaGen‘ran 𝑅) ⊆ (sigaGen‘(Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽)))
8	1	tpr2tp 30078	. . . . . 6 ⊢ (𝐽 ×t 𝐽) ∈ (TopOn‘(ℝ × ℝ))
9	8	topontopi 20768	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ×t 𝐽) ∈ Top
10		eqid 2651	. . . . 5 ⊢ ∪ (𝐽 ×t 𝐽) = ∪ (𝐽 ×t 𝐽)
11	9, 10	unicls 30077	. . . 4 ⊢ ∪ (Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽)) = ∪ (𝐽 ×t 𝐽)
12		cldssbrsiga 30378	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ×t 𝐽) ∈ Top → (Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽)) ⊆ (sigaGen‘(𝐽 ×t 𝐽)))
13	9, 12	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽)) ⊆ (sigaGen‘(𝐽 ×t 𝐽))
14		sigagenss2 30341	. . . 4 ⊢ ((∪ (Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽)) = ∪ (𝐽 ×t 𝐽) ∧ (Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽)) ⊆ (sigaGen‘(𝐽 ×t 𝐽)) ∧ (𝐽 ×t 𝐽) ∈ Top) → (sigaGen‘(Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽))) ⊆ (sigaGen‘(𝐽 ×t 𝐽)))
15	11, 13, 9, 14	mp3an 1464	. . 3 ⊢ (sigaGen‘(Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽))) ⊆ (sigaGen‘(𝐽 ×t 𝐽))
16	7, 15	sstri 3645	. 2 ⊢ (sigaGen‘ran 𝑅) ⊆ (sigaGen‘(𝐽 ×t 𝐽))
17	4, 16	eqssi 3652	1 ⊢ (sigaGen‘(𝐽 ×t 𝐽)) = (sigaGen‘ran 𝑅)

Syntax hints:   = wceq 1523   ∈ wcel 2030   ∪ cun 3605   ⊆ wss 3607  ∪ cuni 4468   ↦ cmpt 4762   × cxp 5141  ran crn 5144  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690   ↦ cmpt2 6692  ℝcr 9973  1c1 9975   + caddc 9977  +∞cpnf 10109   / cdiv 10722  2c2 11108  ℤcz 11415  (,)cioo 12213  [,)cico 12215  ↑cexp 12900  topGenctg 16145  Topctop 20746  Clsdccld 20868   ×_t ctx 21411  sigaGencsigagen 30329

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-ac2 9323  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053  ax-mulf 10054

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-omul 7610  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-acn 8806  df-ac 8977  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-ioo 12217  df-ioc 12218  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-mod 12709  df-seq 12842  df-exp 12901  df-fac 13101  df-bc 13130  df-hash 13158  df-shft 13851  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-limsup 14246  df-clim 14263  df-rlim 14264  df-sum 14461  df-ef 14842  df-sin 14844  df-cos 14845  df-pi 14847  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-hom 16013  df-cco 16014  df-rest 16130  df-topn 16131  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-topgen 16151  df-pt 16152  df-prds 16155  df-xrs 16209  df-qtop 16214  df-imas 16215  df-xps 16217  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-submnd 17383  df-mulg 17588  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-fbas 19791  df-fg 19792  df-cnfld 19795  df-refld 19999  df-top 20747  df-topon 20764  df-topsp 20785  df-bases 20798  df-cld 20871  df-ntr 20872  df-cls 20873  df-nei 20950  df-lp 20988  df-perf 20989  df-cn 21079  df-cnp 21080  df-haus 21167  df-cmp 21238  df-tx 21413  df-hmeo 21606  df-fil 21697  df-fm 21789  df-flim 21790  df-flf 21791  df-fcls 21792  df-xms 22172  df-ms 22173  df-tms 22174  df-cncf 22728  df-cfil 23099  df-cmet 23101  df-cms 23178  df-limc 23675  df-dv 23676  df-log 24348  df-cxp 24349  df-logb 24548  df-siga 30299  df-sigagen 30330  df-brsiga 30373

This theorem is referenced by:  sxbrsigalem5  30478