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Theorem sylow1lem1 18213
Description: Lemma for sylow1 18218. The p-adic valuation of the size of 𝑆 is equal to the number of excess powers of 𝑃 in (♯‘𝑋) / (𝑃𝑁). (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
sylow1.x 𝑋 = (Base‘𝐺)
sylow1.g (𝜑𝐺 ∈ Grp)
sylow1.f (𝜑𝑋 ∈ Fin)
sylow1.p (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
sylow1.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
sylow1.d (𝜑 → (𝑃𝑁) ∥ (♯‘𝑋))
sylow1lem.a + = (+g𝐺)
sylow1lem.s 𝑆 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (♯‘𝑠) = (𝑃𝑁)}
Assertion
Ref Expression
sylow1lem1 (𝜑 → ((♯‘𝑆) ∈ ℕ ∧ (𝑃 pCnt (♯‘𝑆)) = ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁)))
Distinct variable groups:   𝑁,𝑠   𝑋,𝑠   + ,𝑠   𝐺,𝑠   𝑃,𝑠
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑠)   𝑆(𝑠)

Proof of Theorem sylow1lem1
Dummy variables 𝑥 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sylow1.f . . . . 5 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
2 sylow1.p . . . . . . . 8 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
3 prmnn 15590 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
42, 3syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
5 sylow1.n . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
64, 5nnexpcld 13224 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑃𝑁) ∈ ℕ)
76nnzd 11673 . . . . 5 (𝜑 → (𝑃𝑁) ∈ ℤ)
8 hashbc 13429 . . . . 5 ((𝑋 ∈ Fin ∧ (𝑃𝑁) ∈ ℤ) → ((♯‘𝑋)C(𝑃𝑁)) = (♯‘{𝑠 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (♯‘𝑠) = (𝑃𝑁)}))
91, 7, 8syl2anc 696 . . . 4 (𝜑 → ((♯‘𝑋)C(𝑃𝑁)) = (♯‘{𝑠 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (♯‘𝑠) = (𝑃𝑁)}))
10 sylow1lem.s . . . . 5 𝑆 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (♯‘𝑠) = (𝑃𝑁)}
1110fveq2i 6355 . . . 4 (♯‘𝑆) = (♯‘{𝑠 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (♯‘𝑠) = (𝑃𝑁)})
129, 11syl6eqr 2812 . . 3 (𝜑 → ((♯‘𝑋)C(𝑃𝑁)) = (♯‘𝑆))
13 sylow1.d . . . . . 6 (𝜑 → (𝑃𝑁) ∥ (♯‘𝑋))
14 sylow1.g . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐺 ∈ Grp)
15 sylow1.x . . . . . . . . . . 11 𝑋 = (Base‘𝐺)
1615grpbn0 17652 . . . . . . . . . 10 (𝐺 ∈ Grp → 𝑋 ≠ ∅)
1714, 16syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋 ≠ ∅)
18 hasheq0 13346 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ∈ Fin → ((♯‘𝑋) = 0 ↔ 𝑋 = ∅))
191, 18syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((♯‘𝑋) = 0 ↔ 𝑋 = ∅))
2019necon3bbid 2969 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (¬ (♯‘𝑋) = 0 ↔ 𝑋 ≠ ∅))
2117, 20mpbird 247 . . . . . . . 8 (𝜑 → ¬ (♯‘𝑋) = 0)
22 hashcl 13339 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ∈ Fin → (♯‘𝑋) ∈ ℕ0)
231, 22syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (♯‘𝑋) ∈ ℕ0)
24 elnn0 11486 . . . . . . . . . 10 ((♯‘𝑋) ∈ ℕ0 ↔ ((♯‘𝑋) ∈ ℕ ∨ (♯‘𝑋) = 0))
2523, 24sylib 208 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((♯‘𝑋) ∈ ℕ ∨ (♯‘𝑋) = 0))
2625ord 391 . . . . . . . 8 (𝜑 → (¬ (♯‘𝑋) ∈ ℕ → (♯‘𝑋) = 0))
2721, 26mt3d 140 . . . . . . 7 (𝜑 → (♯‘𝑋) ∈ ℕ)
28 dvdsle 15234 . . . . . . 7 (((𝑃𝑁) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑋) ∈ ℕ) → ((𝑃𝑁) ∥ (♯‘𝑋) → (𝑃𝑁) ≤ (♯‘𝑋)))
297, 27, 28syl2anc 696 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑃𝑁) ∥ (♯‘𝑋) → (𝑃𝑁) ≤ (♯‘𝑋)))
3013, 29mpd 15 . . . . 5 (𝜑 → (𝑃𝑁) ≤ (♯‘𝑋))
316nnnn0d 11543 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑃𝑁) ∈ ℕ0)
32 nn0uz 11915 . . . . . . 7 0 = (ℤ‘0)
3331, 32syl6eleq 2849 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑃𝑁) ∈ (ℤ‘0))
3423nn0zd 11672 . . . . . 6 (𝜑 → (♯‘𝑋) ∈ ℤ)
35 elfz5 12527 . . . . . 6 (((𝑃𝑁) ∈ (ℤ‘0) ∧ (♯‘𝑋) ∈ ℤ) → ((𝑃𝑁) ∈ (0...(♯‘𝑋)) ↔ (𝑃𝑁) ≤ (♯‘𝑋)))
3633, 34, 35syl2anc 696 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑃𝑁) ∈ (0...(♯‘𝑋)) ↔ (𝑃𝑁) ≤ (♯‘𝑋)))
3730, 36mpbird 247 . . . 4 (𝜑 → (𝑃𝑁) ∈ (0...(♯‘𝑋)))
38 bccl2 13304 . . . 4 ((𝑃𝑁) ∈ (0...(♯‘𝑋)) → ((♯‘𝑋)C(𝑃𝑁)) ∈ ℕ)
3937, 38syl 17 . . 3 (𝜑 → ((♯‘𝑋)C(𝑃𝑁)) ∈ ℕ)
4012, 39eqeltrrd 2840 . 2 (𝜑 → (♯‘𝑆) ∈ ℕ)
41 nnuz 11916 . . . . . . . . . . 11 ℕ = (ℤ‘1)
426, 41syl6eleq 2849 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑃𝑁) ∈ (ℤ‘1))
43 elfz5 12527 . . . . . . . . . 10 (((𝑃𝑁) ∈ (ℤ‘1) ∧ (♯‘𝑋) ∈ ℤ) → ((𝑃𝑁) ∈ (1...(♯‘𝑋)) ↔ (𝑃𝑁) ≤ (♯‘𝑋)))
4442, 34, 43syl2anc 696 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑃𝑁) ∈ (1...(♯‘𝑋)) ↔ (𝑃𝑁) ≤ (♯‘𝑋)))
4530, 44mpbird 247 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑃𝑁) ∈ (1...(♯‘𝑋)))
46 1zzd 11600 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
47 fzsubel 12570 . . . . . . . . 9 (((1 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑋) ∈ ℤ) ∧ ((𝑃𝑁) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ)) → ((𝑃𝑁) ∈ (1...(♯‘𝑋)) ↔ ((𝑃𝑁) − 1) ∈ ((1 − 1)...((♯‘𝑋) − 1))))
4846, 34, 7, 46, 47syl22anc 1478 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑃𝑁) ∈ (1...(♯‘𝑋)) ↔ ((𝑃𝑁) − 1) ∈ ((1 − 1)...((♯‘𝑋) − 1))))
4945, 48mpbid 222 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑃𝑁) − 1) ∈ ((1 − 1)...((♯‘𝑋) − 1)))
50 1m1e0 11281 . . . . . . . 8 (1 − 1) = 0
5150oveq1i 6823 . . . . . . 7 ((1 − 1)...((♯‘𝑋) − 1)) = (0...((♯‘𝑋) − 1))
5249, 51syl6eleq 2849 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑃𝑁) − 1) ∈ (0...((♯‘𝑋) − 1)))
53 bcp1nk 13298 . . . . . 6 (((𝑃𝑁) − 1) ∈ (0...((♯‘𝑋) − 1)) → ((((♯‘𝑋) − 1) + 1)C(((𝑃𝑁) − 1) + 1)) = ((((♯‘𝑋) − 1)C((𝑃𝑁) − 1)) · ((((♯‘𝑋) − 1) + 1) / (((𝑃𝑁) − 1) + 1))))
5452, 53syl 17 . . . . 5 (𝜑 → ((((♯‘𝑋) − 1) + 1)C(((𝑃𝑁) − 1) + 1)) = ((((♯‘𝑋) − 1)C((𝑃𝑁) − 1)) · ((((♯‘𝑋) − 1) + 1) / (((𝑃𝑁) − 1) + 1))))
5523nn0cnd 11545 . . . . . . 7 (𝜑 → (♯‘𝑋) ∈ ℂ)
56 ax-1cn 10186 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
57 npcan 10482 . . . . . . 7 (((♯‘𝑋) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((♯‘𝑋) − 1) + 1) = (♯‘𝑋))
5855, 56, 57sylancl 697 . . . . . 6 (𝜑 → (((♯‘𝑋) − 1) + 1) = (♯‘𝑋))
596nncnd 11228 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑃𝑁) ∈ ℂ)
60 npcan 10482 . . . . . . 7 (((𝑃𝑁) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((𝑃𝑁) − 1) + 1) = (𝑃𝑁))
6159, 56, 60sylancl 697 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝑃𝑁) − 1) + 1) = (𝑃𝑁))
6258, 61oveq12d 6831 . . . . 5 (𝜑 → ((((♯‘𝑋) − 1) + 1)C(((𝑃𝑁) − 1) + 1)) = ((♯‘𝑋)C(𝑃𝑁)))
6358, 61oveq12d 6831 . . . . . 6 (𝜑 → ((((♯‘𝑋) − 1) + 1) / (((𝑃𝑁) − 1) + 1)) = ((♯‘𝑋) / (𝑃𝑁)))
6463oveq2d 6829 . . . . 5 (𝜑 → ((((♯‘𝑋) − 1)C((𝑃𝑁) − 1)) · ((((♯‘𝑋) − 1) + 1) / (((𝑃𝑁) − 1) + 1))) = ((((♯‘𝑋) − 1)C((𝑃𝑁) − 1)) · ((♯‘𝑋) / (𝑃𝑁))))
6554, 62, 643eqtr3d 2802 . . . 4 (𝜑 → ((♯‘𝑋)C(𝑃𝑁)) = ((((♯‘𝑋) − 1)C((𝑃𝑁) − 1)) · ((♯‘𝑋) / (𝑃𝑁))))
6665oveq2d 6829 . . 3 (𝜑 → (𝑃 pCnt ((♯‘𝑋)C(𝑃𝑁))) = (𝑃 pCnt ((((♯‘𝑋) − 1)C((𝑃𝑁) − 1)) · ((♯‘𝑋) / (𝑃𝑁)))))
6712oveq2d 6829 . . 3 (𝜑 → (𝑃 pCnt ((♯‘𝑋)C(𝑃𝑁))) = (𝑃 pCnt (♯‘𝑆)))
68 bccl2 13304 . . . . . . 7 (((𝑃𝑁) − 1) ∈ (0...((♯‘𝑋) − 1)) → (((♯‘𝑋) − 1)C((𝑃𝑁) − 1)) ∈ ℕ)
6952, 68syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (((♯‘𝑋) − 1)C((𝑃𝑁) − 1)) ∈ ℕ)
7069nnzd 11673 . . . . 5 (𝜑 → (((♯‘𝑋) − 1)C((𝑃𝑁) − 1)) ∈ ℤ)
7169nnne0d 11257 . . . . 5 (𝜑 → (((♯‘𝑋) − 1)C((𝑃𝑁) − 1)) ≠ 0)
726nnne0d 11257 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑃𝑁) ≠ 0)
73 dvdsval2 15185 . . . . . . 7 (((𝑃𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝑃𝑁) ≠ 0 ∧ (♯‘𝑋) ∈ ℤ) → ((𝑃𝑁) ∥ (♯‘𝑋) ↔ ((♯‘𝑋) / (𝑃𝑁)) ∈ ℤ))
747, 72, 34, 73syl3anc 1477 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑃𝑁) ∥ (♯‘𝑋) ↔ ((♯‘𝑋) / (𝑃𝑁)) ∈ ℤ))
7513, 74mpbid 222 . . . . 5 (𝜑 → ((♯‘𝑋) / (𝑃𝑁)) ∈ ℤ)
7627nnne0d 11257 . . . . . 6 (𝜑 → (♯‘𝑋) ≠ 0)
7755, 59, 76, 72divne0d 11009 . . . . 5 (𝜑 → ((♯‘𝑋) / (𝑃𝑁)) ≠ 0)
78 pcmul 15758 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ((((♯‘𝑋) − 1)C((𝑃𝑁) − 1)) ∈ ℤ ∧ (((♯‘𝑋) − 1)C((𝑃𝑁) − 1)) ≠ 0) ∧ (((♯‘𝑋) / (𝑃𝑁)) ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝑋) / (𝑃𝑁)) ≠ 0)) → (𝑃 pCnt ((((♯‘𝑋) − 1)C((𝑃𝑁) − 1)) · ((♯‘𝑋) / (𝑃𝑁)))) = ((𝑃 pCnt (((♯‘𝑋) − 1)C((𝑃𝑁) − 1))) + (𝑃 pCnt ((♯‘𝑋) / (𝑃𝑁)))))
792, 70, 71, 75, 77, 78syl122anc 1486 . . . 4 (𝜑 → (𝑃 pCnt ((((♯‘𝑋) − 1)C((𝑃𝑁) − 1)) · ((♯‘𝑋) / (𝑃𝑁)))) = ((𝑃 pCnt (((♯‘𝑋) − 1)C((𝑃𝑁) − 1))) + (𝑃 pCnt ((♯‘𝑋) / (𝑃𝑁)))))
80 1cnd 10248 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
8155, 59, 80npncand 10608 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((♯‘𝑋) − (𝑃𝑁)) + ((𝑃𝑁) − 1)) = ((♯‘𝑋) − 1))
8281oveq1d 6828 . . . . . . 7 (𝜑 → ((((♯‘𝑋) − (𝑃𝑁)) + ((𝑃𝑁) − 1))C((𝑃𝑁) − 1)) = (((♯‘𝑋) − 1)C((𝑃𝑁) − 1)))
8382oveq2d 6829 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑃 pCnt ((((♯‘𝑋) − (𝑃𝑁)) + ((𝑃𝑁) − 1))C((𝑃𝑁) − 1))) = (𝑃 pCnt (((♯‘𝑋) − 1)C((𝑃𝑁) − 1))))
846nnred 11227 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑃𝑁) ∈ ℝ)
8584ltm1d 11148 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑃𝑁) − 1) < (𝑃𝑁))
86 nnm1nn0 11526 . . . . . . . . 9 ((𝑃𝑁) ∈ ℕ → ((𝑃𝑁) − 1) ∈ ℕ0)
876, 86syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑃𝑁) − 1) ∈ ℕ0)
88 breq1 4807 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 0 → (𝑥 < (𝑃𝑁) ↔ 0 < (𝑃𝑁)))
89 bcxmaslem1 14765 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 0 → ((((♯‘𝑋) − (𝑃𝑁)) + 𝑥)C𝑥) = ((((♯‘𝑋) − (𝑃𝑁)) + 0)C0))
9089oveq2d 6829 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 0 → (𝑃 pCnt ((((♯‘𝑋) − (𝑃𝑁)) + 𝑥)C𝑥)) = (𝑃 pCnt ((((♯‘𝑋) − (𝑃𝑁)) + 0)C0)))
9190eqeq1d 2762 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 0 → ((𝑃 pCnt ((((♯‘𝑋) − (𝑃𝑁)) + 𝑥)C𝑥)) = 0 ↔ (𝑃 pCnt ((((♯‘𝑋) − (𝑃𝑁)) + 0)C0)) = 0))
9288, 91imbi12d 333 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 0 → ((𝑥 < (𝑃𝑁) → (𝑃 pCnt ((((♯‘𝑋) − (𝑃𝑁)) + 𝑥)C𝑥)) = 0) ↔ (0 < (𝑃𝑁) → (𝑃 pCnt ((((♯‘𝑋) − (𝑃𝑁)) + 0)C0)) = 0)))
9392imbi2d 329 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 0 → ((𝜑 → (𝑥 < (𝑃𝑁) → (𝑃 pCnt ((((♯‘𝑋) − (𝑃𝑁)) + 𝑥)C𝑥)) = 0)) ↔ (𝜑 → (0 < (𝑃𝑁) → (𝑃 pCnt ((((♯‘𝑋) − (𝑃𝑁)) + 0)C0)) = 0))))
94 breq1 4807 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑛 → (𝑥 < (𝑃𝑁) ↔ 𝑛 < (𝑃𝑁)))
95 bcxmaslem1 14765 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑛 → ((((♯‘𝑋) − (𝑃𝑁)) + 𝑥)C𝑥) = ((((♯‘𝑋) − (𝑃𝑁)) + 𝑛)C𝑛))
9695oveq2d 6829 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑛 → (𝑃 pCnt ((((♯‘𝑋) − (𝑃𝑁)) + 𝑥)C𝑥)) = (𝑃 pCnt ((((♯‘𝑋) − (𝑃𝑁)) + 𝑛)C𝑛)))
9796eqeq1d 2762 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑛 → ((𝑃 pCnt ((((♯‘𝑋) − (𝑃𝑁)) + 𝑥)C𝑥)) = 0 ↔ (𝑃 pCnt ((((♯‘𝑋) − (𝑃𝑁)) + 𝑛)C𝑛)) = 0))
9894, 97imbi12d 333 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑛 → ((𝑥 < (𝑃𝑁) → (𝑃 pCnt ((((♯‘𝑋) − (𝑃𝑁)) + 𝑥)C𝑥)) = 0) ↔ (𝑛 < (𝑃𝑁) → (𝑃 pCnt ((((♯‘𝑋) − (𝑃𝑁)) + 𝑛)C𝑛)) = 0)))
9998imbi2d 329 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑛 → ((𝜑 → (𝑥 < (𝑃𝑁) → (𝑃 pCnt ((((♯‘𝑋) − (𝑃𝑁)) + 𝑥)C𝑥)) = 0)) ↔ (𝜑 → (𝑛 < (𝑃𝑁) → (𝑃 pCnt ((((♯‘𝑋) − (𝑃𝑁)) + 𝑛)C𝑛)) = 0))))
100 breq1 4807 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (𝑛 + 1) → (𝑥 < (𝑃𝑁) ↔ (𝑛 + 1) < (𝑃𝑁)))
101 bcxmaslem1 14765 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = (𝑛 + 1) → ((((♯‘𝑋) − (𝑃𝑁)) + 𝑥)C𝑥) = ((((♯‘𝑋) − (𝑃𝑁)) + (𝑛 + 1))C(𝑛 + 1)))
102101oveq2d 6829 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (𝑛 + 1) → (𝑃 pCnt ((((♯‘𝑋) − (𝑃𝑁)) + 𝑥)C𝑥)) = (𝑃 pCnt ((((♯‘𝑋) − (𝑃𝑁)) + (𝑛 + 1))C(𝑛 + 1))))
103102eqeq1d 2762 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (𝑛 + 1) → ((𝑃 pCnt ((((♯‘𝑋) − (𝑃𝑁)) + 𝑥)C𝑥)) = 0 ↔ (𝑃 pCnt ((((♯‘𝑋) − (𝑃𝑁)) + (𝑛 + 1))C(𝑛 + 1))) = 0))
104100, 103imbi12d 333 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝑛 + 1) → ((𝑥 < (𝑃𝑁) → (𝑃 pCnt ((((♯‘𝑋) − (𝑃𝑁)) + 𝑥)C𝑥)) = 0) ↔ ((𝑛 + 1) < (𝑃𝑁) → (𝑃 pCnt ((((♯‘𝑋) − (𝑃𝑁)) + (𝑛 + 1))C(𝑛 + 1))) = 0)))
105104imbi2d 329 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝑛 + 1) → ((𝜑 → (𝑥 < (𝑃𝑁) → (𝑃 pCnt ((((♯‘𝑋) − (𝑃𝑁)) + 𝑥)C𝑥)) = 0)) ↔ (𝜑 → ((𝑛 + 1) < (𝑃𝑁) → (𝑃 pCnt ((((♯‘𝑋) − (𝑃𝑁)) + (𝑛 + 1))C(𝑛 + 1))) = 0))))
106 breq1 4807 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = ((𝑃𝑁) − 1) → (𝑥 < (𝑃𝑁) ↔ ((𝑃𝑁) − 1) < (𝑃𝑁)))
107 bcxmaslem1 14765 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = ((𝑃𝑁) − 1) → ((((♯‘𝑋) − (𝑃𝑁)) + 𝑥)C𝑥) = ((((♯‘𝑋) − (𝑃𝑁)) + ((𝑃𝑁) − 1))C((𝑃𝑁) − 1)))
108107oveq2d 6829 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = ((𝑃𝑁) − 1) → (𝑃 pCnt ((((♯‘𝑋) − (𝑃𝑁)) + 𝑥)C𝑥)) = (𝑃 pCnt ((((♯‘𝑋) − (𝑃𝑁)) + ((𝑃𝑁) − 1))C((𝑃𝑁) − 1))))
109108eqeq1d 2762 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = ((𝑃𝑁) − 1) → ((𝑃 pCnt ((((♯‘𝑋) − (𝑃𝑁)) + 𝑥)C𝑥)) = 0 ↔ (𝑃 pCnt ((((♯‘𝑋) − (𝑃𝑁)) + ((𝑃𝑁) − 1))C((𝑃𝑁) − 1))) = 0))
110106, 109imbi12d 333 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = ((𝑃𝑁) − 1) → ((𝑥 < (𝑃𝑁) → (𝑃 pCnt ((((♯‘𝑋) − (𝑃𝑁)) + 𝑥)C𝑥)) = 0) ↔ (((𝑃𝑁) − 1) < (𝑃𝑁) → (𝑃 pCnt ((((♯‘𝑋) − (𝑃𝑁)) + ((𝑃𝑁) − 1))C((𝑃𝑁) − 1))) = 0)))
111110imbi2d 329 . . . . . . . . 9 (𝑥 = ((𝑃𝑁) − 1) → ((𝜑 → (𝑥 < (𝑃𝑁) → (𝑃 pCnt ((((♯‘𝑋) − (𝑃𝑁)) + 𝑥)C𝑥)) = 0)) ↔ (𝜑 → (((𝑃𝑁) − 1) < (𝑃𝑁) → (𝑃 pCnt ((((♯‘𝑋) − (𝑃𝑁)) + ((𝑃𝑁) − 1))C((𝑃𝑁) − 1))) = 0))))
112 znn0sub 11616 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑃𝑁) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑋) ∈ ℤ) → ((𝑃𝑁) ≤ (♯‘𝑋) ↔ ((♯‘𝑋) − (𝑃𝑁)) ∈ ℕ0))
1137, 34, 112syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝑃𝑁) ≤ (♯‘𝑋) ↔ ((♯‘𝑋) − (𝑃𝑁)) ∈ ℕ0))
11430, 113mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((♯‘𝑋) − (𝑃𝑁)) ∈ ℕ0)
115 0nn0 11499 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ∈ ℕ0
116 nn0addcl 11520 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((♯‘𝑋) − (𝑃𝑁)) ∈ ℕ0 ∧ 0 ∈ ℕ0) → (((♯‘𝑋) − (𝑃𝑁)) + 0) ∈ ℕ0)
117114, 115, 116sylancl 697 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((♯‘𝑋) − (𝑃𝑁)) + 0) ∈ ℕ0)
118 bcn0 13291 . . . . . . . . . . . . 13 ((((♯‘𝑋) − (𝑃𝑁)) + 0) ∈ ℕ0 → ((((♯‘𝑋) − (𝑃𝑁)) + 0)C0) = 1)
119117, 118syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((((♯‘𝑋) − (𝑃𝑁)) + 0)C0) = 1)
120119oveq2d 6829 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑃 pCnt ((((♯‘𝑋) − (𝑃𝑁)) + 0)C0)) = (𝑃 pCnt 1))
121 pc1 15762 . . . . . . . . . . . 12 (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 pCnt 1) = 0)
1222, 121syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑃 pCnt 1) = 0)
123120, 122eqtrd 2794 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑃 pCnt ((((♯‘𝑋) − (𝑃𝑁)) + 0)C0)) = 0)
124123a1d 25 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (0 < (𝑃𝑁) → (𝑃 pCnt ((((♯‘𝑋) − (𝑃𝑁)) + 0)C0)) = 0))
125 nn0re 11493 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℝ)
126125ad2antrl 766 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 + 1) < (𝑃𝑁))) → 𝑛 ∈ ℝ)
127 nn0p1nn 11524 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑛 + 1) ∈ ℕ)
128127ad2antrl 766 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 + 1) < (𝑃𝑁))) → (𝑛 + 1) ∈ ℕ)
129128nnred 11227 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 + 1) < (𝑃𝑁))) → (𝑛 + 1) ∈ ℝ)
1306adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 + 1) < (𝑃𝑁))) → (𝑃𝑁) ∈ ℕ)
131130nnred 11227 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 + 1) < (𝑃𝑁))) → (𝑃𝑁) ∈ ℝ)
132126ltp1d 11146 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 + 1) < (𝑃𝑁))) → 𝑛 < (𝑛 + 1))
133 simprr 813 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 + 1) < (𝑃𝑁))) → (𝑛 + 1) < (𝑃𝑁))
134126, 129, 131, 132, 133lttrd 10390 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 + 1) < (𝑃𝑁))) → 𝑛 < (𝑃𝑁))
135134expr 644 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑛 + 1) < (𝑃𝑁) → 𝑛 < (𝑃𝑁)))
136135imim1d 82 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑛 < (𝑃𝑁) → (𝑃 pCnt ((((♯‘𝑋) − (𝑃𝑁)) + 𝑛)C𝑛)) = 0) → ((𝑛 + 1) < (𝑃𝑁) → (𝑃 pCnt ((((♯‘𝑋) − (𝑃𝑁)) + 𝑛)C𝑛)) = 0)))
137 oveq1 6820 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑃 pCnt ((((♯‘𝑋) − (𝑃𝑁)) + 𝑛)C𝑛)) = 0 → ((𝑃 pCnt ((((♯‘𝑋) − (𝑃𝑁)) + 𝑛)C𝑛)) + (𝑃 pCnt (((((♯‘𝑋) − (𝑃𝑁)) + 𝑛) + 1) / (𝑛 + 1)))) = (0 + (𝑃 pCnt (((((♯‘𝑋) − (𝑃𝑁)) + 𝑛) + 1) / (𝑛 + 1)))))
138114adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 + 1) < (𝑃𝑁))) → ((♯‘𝑋) − (𝑃𝑁)) ∈ ℕ0)
139138nn0cnd 11545 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 + 1) < (𝑃𝑁))) → ((♯‘𝑋) − (𝑃𝑁)) ∈ ℂ)
140 nn0cn 11494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑛 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℂ)
141140ad2antrl 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 + 1) < (𝑃𝑁))) → 𝑛 ∈ ℂ)
142 1cnd 10248 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 + 1) < (𝑃𝑁))) → 1 ∈ ℂ)
143139, 141, 142addassd 10254 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 + 1) < (𝑃𝑁))) → ((((♯‘𝑋) − (𝑃𝑁)) + 𝑛) + 1) = (((♯‘𝑋) − (𝑃𝑁)) + (𝑛 + 1)))
144143oveq1d 6828 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 + 1) < (𝑃𝑁))) → (((((♯‘𝑋) − (𝑃𝑁)) + 𝑛) + 1)C(𝑛 + 1)) = ((((♯‘𝑋) − (𝑃𝑁)) + (𝑛 + 1))C(𝑛 + 1)))
145 nn0addge2 11532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑛 ∈ ℝ ∧ ((♯‘𝑋) − (𝑃𝑁)) ∈ ℕ0) → 𝑛 ≤ (((♯‘𝑋) − (𝑃𝑁)) + 𝑛))
146126, 138, 145syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 + 1) < (𝑃𝑁))) → 𝑛 ≤ (((♯‘𝑋) − (𝑃𝑁)) + 𝑛))
147 simprl 811 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 + 1) < (𝑃𝑁))) → 𝑛 ∈ ℕ0)
148147, 32syl6eleq 2849 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 + 1) < (𝑃𝑁))) → 𝑛 ∈ (ℤ‘0))
149138, 147nn0addcld 11547 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 + 1) < (𝑃𝑁))) → (((♯‘𝑋) − (𝑃𝑁)) + 𝑛) ∈ ℕ0)
150149nn0zd 11672 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 + 1) < (𝑃𝑁))) → (((♯‘𝑋) − (𝑃𝑁)) + 𝑛) ∈ ℤ)
151 elfz5 12527 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑛 ∈ (ℤ‘0) ∧ (((♯‘𝑋) − (𝑃𝑁)) + 𝑛) ∈ ℤ) → (𝑛 ∈ (0...(((♯‘𝑋) − (𝑃𝑁)) + 𝑛)) ↔ 𝑛 ≤ (((♯‘𝑋) − (𝑃𝑁)) + 𝑛)))
152148, 150, 151syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 + 1) < (𝑃𝑁))) → (𝑛 ∈ (0...(((♯‘𝑋) − (𝑃𝑁)) + 𝑛)) ↔ 𝑛 ≤ (((♯‘𝑋) − (𝑃𝑁)) + 𝑛)))
153146, 152mpbird 247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 + 1) < (𝑃𝑁))) → 𝑛 ∈ (0...(((♯‘𝑋) − (𝑃𝑁)) + 𝑛)))
154 bcp1nk 13298 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 ∈ (0...(((♯‘𝑋) − (𝑃𝑁)) + 𝑛)) → (((((♯‘𝑋) − (𝑃𝑁)) + 𝑛) + 1)C(𝑛 + 1)) = (((((♯‘𝑋) − (𝑃𝑁)) + 𝑛)C𝑛) · (((((♯‘𝑋) − (𝑃𝑁)) + 𝑛) + 1) / (𝑛 + 1))))
155153, 154syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 + 1) < (𝑃𝑁))) → (((((♯‘𝑋) − (𝑃𝑁)) + 𝑛) + 1)C(𝑛 + 1)) = (((((♯‘𝑋) − (𝑃𝑁)) + 𝑛)C𝑛) · (((((♯‘𝑋) − (𝑃𝑁)) + 𝑛) + 1) / (𝑛 + 1))))
156144, 155eqtr3d 2796 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 + 1) < (𝑃𝑁))) → ((((♯‘𝑋) − (𝑃𝑁)) + (𝑛 + 1))C(𝑛 + 1)) = (((((♯‘𝑋) − (𝑃𝑁)) + 𝑛)C𝑛) · (((((♯‘𝑋) − (𝑃𝑁)) + 𝑛) + 1) / (𝑛 + 1))))
157156oveq2d 6829 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 + 1) < (𝑃𝑁))) → (𝑃 pCnt ((((♯‘𝑋) − (𝑃𝑁)) + (𝑛 + 1))C(𝑛 + 1))) = (𝑃 pCnt (((((♯‘𝑋) − (𝑃𝑁)) + 𝑛)C𝑛) · (((((♯‘𝑋) − (𝑃𝑁)) + 𝑛) + 1) / (𝑛 + 1)))))
1582adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 + 1) < (𝑃𝑁))) → 𝑃 ∈ ℙ)
159 bccl2 13304 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 ∈ (0...(((♯‘𝑋) − (𝑃𝑁)) + 𝑛)) → ((((♯‘𝑋) − (𝑃𝑁)) + 𝑛)C𝑛) ∈ ℕ)
160153, 159syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 + 1) < (𝑃𝑁))) → ((((♯‘𝑋) − (𝑃𝑁)) + 𝑛)C𝑛) ∈ ℕ)
161 nnq 11994 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((♯‘𝑋) − (𝑃𝑁)) + 𝑛)C𝑛) ∈ ℕ → ((((♯‘𝑋) − (𝑃𝑁)) + 𝑛)C𝑛) ∈ ℚ)
162160, 161syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 + 1) < (𝑃𝑁))) → ((((♯‘𝑋) − (𝑃𝑁)) + 𝑛)C𝑛) ∈ ℚ)
163160nnne0d 11257 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 + 1) < (𝑃𝑁))) → ((((♯‘𝑋) − (𝑃𝑁)) + 𝑛)C𝑛) ≠ 0)
164150peano2zd 11677 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 + 1) < (𝑃𝑁))) → ((((♯‘𝑋) − (𝑃𝑁)) + 𝑛) + 1) ∈ ℤ)
165 znq 11985 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((♯‘𝑋) − (𝑃𝑁)) + 𝑛) + 1) ∈ ℤ ∧ (𝑛 + 1) ∈ ℕ) → (((((♯‘𝑋) − (𝑃𝑁)) + 𝑛) + 1) / (𝑛 + 1)) ∈ ℚ)
166164, 128, 165syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 + 1) < (𝑃𝑁))) → (((((♯‘𝑋) − (𝑃𝑁)) + 𝑛) + 1) / (𝑛 + 1)) ∈ ℚ)
167 nn0p1nn 11524 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((♯‘𝑋) − (𝑃𝑁)) + 𝑛) ∈ ℕ0 → ((((♯‘𝑋) − (𝑃𝑁)) + 𝑛) + 1) ∈ ℕ)
168149, 167syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 + 1) < (𝑃𝑁))) → ((((♯‘𝑋) − (𝑃𝑁)) + 𝑛) + 1) ∈ ℕ)
169 nnrp 12035 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((♯‘𝑋) − (𝑃𝑁)) + 𝑛) + 1) ∈ ℕ → ((((♯‘𝑋) − (𝑃𝑁)) + 𝑛) + 1) ∈ ℝ+)
170 nnrp 12035 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑛 + 1) ∈ ℕ → (𝑛 + 1) ∈ ℝ+)
171 rpdivcl 12049 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((♯‘𝑋) − (𝑃𝑁)) + 𝑛) + 1) ∈ ℝ+ ∧ (𝑛 + 1) ∈ ℝ+) → (((((♯‘𝑋) − (𝑃𝑁)) + 𝑛) + 1) / (𝑛 + 1)) ∈ ℝ+)
172169, 170, 171syl2an 495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((♯‘𝑋) − (𝑃𝑁)) + 𝑛) + 1) ∈ ℕ ∧ (𝑛 + 1) ∈ ℕ) → (((((♯‘𝑋) − (𝑃𝑁)) + 𝑛) + 1) / (𝑛 + 1)) ∈ ℝ+)
173168, 128, 172syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 + 1) < (𝑃𝑁))) → (((((♯‘𝑋) − (𝑃𝑁)) + 𝑛) + 1) / (𝑛 + 1)) ∈ ℝ+)
174173rpne0d 12070 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 + 1) < (𝑃𝑁))) → (((((♯‘𝑋) − (𝑃𝑁)) + 𝑛) + 1) / (𝑛 + 1)) ≠ 0)
175 pcqmul 15760 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (((((♯‘𝑋) − (𝑃𝑁)) + 𝑛)C𝑛) ∈ ℚ ∧ ((((♯‘𝑋) − (𝑃𝑁)) + 𝑛)C𝑛) ≠ 0) ∧ ((((((♯‘𝑋) − (𝑃𝑁)) + 𝑛) + 1) / (𝑛 + 1)) ∈ ℚ ∧ (((((♯‘𝑋) − (𝑃𝑁)) + 𝑛) + 1) / (𝑛 + 1)) ≠ 0)) → (𝑃 pCnt (((((♯‘𝑋) − (𝑃𝑁)) + 𝑛)C𝑛) · (((((♯‘𝑋) − (𝑃𝑁)) + 𝑛) + 1) / (𝑛 + 1)))) = ((𝑃 pCnt ((((♯‘𝑋) − (𝑃𝑁)) + 𝑛)C𝑛)) + (𝑃 pCnt (((((♯‘𝑋) − (𝑃𝑁)) + 𝑛) + 1) / (𝑛 + 1)))))
176158, 162, 163, 166, 174, 175syl122anc 1486 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 + 1) < (𝑃𝑁))) → (𝑃 pCnt (((((♯‘𝑋) − (𝑃𝑁)) + 𝑛)C𝑛) · (((((♯‘𝑋) − (𝑃𝑁)) + 𝑛) + 1) / (𝑛 + 1)))) = ((𝑃 pCnt ((((♯‘𝑋) − (𝑃𝑁)) + 𝑛)C𝑛)) + (𝑃 pCnt (((((♯‘𝑋) − (𝑃𝑁)) + 𝑛) + 1) / (𝑛 + 1)))))
177157, 176eqtrd 2794 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 + 1) < (𝑃𝑁))) → (𝑃 pCnt ((((♯‘𝑋) − (𝑃𝑁)) + (𝑛 + 1))C(𝑛 + 1))) = ((𝑃 pCnt ((((♯‘𝑋) − (𝑃𝑁)) + 𝑛)C𝑛)) + (𝑃 pCnt (((((♯‘𝑋) − (𝑃𝑁)) + 𝑛) + 1) / (𝑛 + 1)))))
178168nnne0d 11257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 + 1) < (𝑃𝑁))) → ((((♯‘𝑋) − (𝑃𝑁)) + 𝑛) + 1) ≠ 0)
179 pcdiv 15759 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (((((♯‘𝑋) − (𝑃𝑁)) + 𝑛) + 1) ∈ ℤ ∧ ((((♯‘𝑋) − (𝑃𝑁)) + 𝑛) + 1) ≠ 0) ∧ (𝑛 + 1) ∈ ℕ) → (𝑃 pCnt (((((♯‘𝑋) − (𝑃𝑁)) + 𝑛) + 1) / (𝑛 + 1))) = ((𝑃 pCnt ((((♯‘𝑋) − (𝑃𝑁)) + 𝑛) + 1)) − (𝑃 pCnt (𝑛 + 1))))
180158, 164, 178, 128, 179syl121anc 1482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 + 1) < (𝑃𝑁))) → (𝑃 pCnt (((((♯‘𝑋) − (𝑃𝑁)) + 𝑛) + 1) / (𝑛 + 1))) = ((𝑃 pCnt ((((♯‘𝑋) − (𝑃𝑁)) + 𝑛) + 1)) − (𝑃 pCnt (𝑛 + 1))))
181128nncnd 11228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 + 1) < (𝑃𝑁))) → (𝑛 + 1) ∈ ℂ)
182139, 181addcomd 10430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 + 1) < (𝑃𝑁))) → (((♯‘𝑋) − (𝑃𝑁)) + (𝑛 + 1)) = ((𝑛 + 1) + ((♯‘𝑋) − (𝑃𝑁))))
183143, 182eqtrd 2794 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 + 1) < (𝑃𝑁))) → ((((♯‘𝑋) − (𝑃𝑁)) + 𝑛) + 1) = ((𝑛 + 1) + ((♯‘𝑋) − (𝑃𝑁))))
184183oveq2d 6829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 + 1) < (𝑃𝑁))) → (𝑃 pCnt ((((♯‘𝑋) − (𝑃𝑁)) + 𝑛) + 1)) = (𝑃 pCnt ((𝑛 + 1) + ((♯‘𝑋) − (𝑃𝑁)))))
185 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 + 1) < (𝑃𝑁))) ∧ ((♯‘𝑋) − (𝑃𝑁)) = 0) → ((♯‘𝑋) − (𝑃𝑁)) = 0)
186185oveq2d 6829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 + 1) < (𝑃𝑁))) ∧ ((♯‘𝑋) − (𝑃𝑁)) = 0) → ((𝑛 + 1) + ((♯‘𝑋) − (𝑃𝑁))) = ((𝑛 + 1) + 0))
187181addid1d 10428 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 + 1) < (𝑃𝑁))) → ((𝑛 + 1) + 0) = (𝑛 + 1))
188187adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 + 1) < (𝑃𝑁))) ∧ ((♯‘𝑋) − (𝑃𝑁)) = 0) → ((𝑛 + 1) + 0) = (𝑛 + 1))
189186, 188eqtr2d 2795 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 + 1) < (𝑃𝑁))) ∧ ((♯‘𝑋) − (𝑃𝑁)) = 0) → (𝑛 + 1) = ((𝑛 + 1) + ((♯‘𝑋) − (𝑃𝑁))))
190189oveq2d 6829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 + 1) < (𝑃𝑁))) ∧ ((♯‘𝑋) − (𝑃𝑁)) = 0) → (𝑃 pCnt (𝑛 + 1)) = (𝑃 pCnt ((𝑛 + 1) + ((♯‘𝑋) − (𝑃𝑁)))))
1912ad2antrr 764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 + 1) < (𝑃𝑁))) ∧ ((♯‘𝑋) − (𝑃𝑁)) ≠ 0) → 𝑃 ∈ ℙ)
192 nnq 11994 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑛 + 1) ∈ ℕ → (𝑛 + 1) ∈ ℚ)
193128, 192syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 + 1) < (𝑃𝑁))) → (𝑛 + 1) ∈ ℚ)
194193adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 + 1) < (𝑃𝑁))) ∧ ((♯‘𝑋) − (𝑃𝑁)) ≠ 0) → (𝑛 + 1) ∈ ℚ)
195138nn0zd 11672 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 + 1) < (𝑃𝑁))) → ((♯‘𝑋) − (𝑃𝑁)) ∈ ℤ)
196 zq 11987 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((♯‘𝑋) − (𝑃𝑁)) ∈ ℤ → ((♯‘𝑋) − (𝑃𝑁)) ∈ ℚ)
197195, 196syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 + 1) < (𝑃𝑁))) → ((♯‘𝑋) − (𝑃𝑁)) ∈ ℚ)
198197adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 + 1) < (𝑃𝑁))) ∧ ((♯‘𝑋) − (𝑃𝑁)) ≠ 0) → ((♯‘𝑋) − (𝑃𝑁)) ∈ ℚ)
199158, 128pccld 15757 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 + 1) < (𝑃𝑁))) → (𝑃 pCnt (𝑛 + 1)) ∈ ℕ0)
200199nn0red 11544 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 + 1) < (𝑃𝑁))) → (𝑃 pCnt (𝑛 + 1)) ∈ ℝ)
201200adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 + 1) < (𝑃𝑁))) ∧ ((♯‘𝑋) − (𝑃𝑁)) ≠ 0) → (𝑃 pCnt (𝑛 + 1)) ∈ ℝ)
2025adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 + 1) < (𝑃𝑁))) → 𝑁 ∈ ℕ0)
203202nn0red 11544 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 + 1) < (𝑃𝑁))) → 𝑁 ∈ ℝ)
204203adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 + 1) < (𝑃𝑁))) ∧ ((♯‘𝑋) − (𝑃𝑁)) ≠ 0) → 𝑁 ∈ ℝ)
205 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 + 1) < (𝑃𝑁))) ∧ ((♯‘𝑋) − (𝑃𝑁)) ≠ 0) → ((♯‘𝑋) − (𝑃𝑁)) ≠ 0)
206205neneqd 2937 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 + 1) < (𝑃𝑁))) ∧ ((♯‘𝑋) − (𝑃𝑁)) ≠ 0) → ¬ ((♯‘𝑋) − (𝑃𝑁)) = 0)
207114ad2antrr 764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 + 1) < (𝑃𝑁))) ∧ ((♯‘𝑋) − (𝑃𝑁)) ≠ 0) → ((♯‘𝑋) − (𝑃𝑁)) ∈ ℕ0)
208 elnn0 11486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((♯‘𝑋) − (𝑃𝑁)) ∈ ℕ0 ↔ (((♯‘𝑋) − (𝑃𝑁)) ∈ ℕ ∨ ((♯‘𝑋) − (𝑃𝑁)) = 0))
209207, 208sylib 208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 + 1) < (𝑃𝑁))) ∧ ((♯‘𝑋) − (𝑃𝑁)) ≠ 0) → (((♯‘𝑋) − (𝑃𝑁)) ∈ ℕ ∨ ((♯‘𝑋) − (𝑃𝑁)) = 0))
210209ord 391 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 + 1) < (𝑃𝑁))) ∧ ((♯‘𝑋) − (𝑃𝑁)) ≠ 0) → (¬ ((♯‘𝑋) − (𝑃𝑁)) ∈ ℕ → ((♯‘𝑋) − (𝑃𝑁)) = 0))
211206, 210mt3d 140 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 + 1) < (𝑃𝑁))) ∧ ((♯‘𝑋) − (𝑃𝑁)) ≠ 0) → ((♯‘𝑋) − (𝑃𝑁)) ∈ ℕ)
212191, 211pccld 15757 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 + 1) < (𝑃𝑁))) ∧ ((♯‘𝑋) − (𝑃𝑁)) ≠ 0) → (𝑃 pCnt ((♯‘𝑋) − (𝑃𝑁))) ∈ ℕ0)
213212nn0red 11544 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 + 1) < (𝑃𝑁))) ∧ ((♯‘𝑋) − (𝑃𝑁)) ≠ 0) → (𝑃 pCnt ((♯‘𝑋) − (𝑃𝑁))) ∈ ℝ)
214128nnzd 11673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 + 1) < (𝑃𝑁))) → (𝑛 + 1) ∈ ℤ)
215 pcdvdsb 15775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑛 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 ≤ (𝑃 pCnt (𝑛 + 1)) ↔ (𝑃𝑁) ∥ (𝑛 + 1)))
216158, 214, 202, 215syl3anc 1477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 + 1) < (𝑃𝑁))) → (𝑁 ≤ (𝑃 pCnt (𝑛 + 1)) ↔ (𝑃𝑁) ∥ (𝑛 + 1)))
2177adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 + 1) < (𝑃𝑁))) → (𝑃𝑁) ∈ ℤ)
218 dvdsle 15234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝑃𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝑛 + 1) ∈ ℕ) → ((𝑃𝑁) ∥ (𝑛 + 1) → (𝑃𝑁) ≤ (𝑛 + 1)))
219217, 128, 218syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 + 1) < (𝑃𝑁))) → ((𝑃𝑁) ∥ (𝑛 + 1) → (𝑃𝑁) ≤ (𝑛 + 1)))
220216, 219sylbid 230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 + 1) < (𝑃𝑁))) → (𝑁 ≤ (𝑃 pCnt (𝑛 + 1)) → (𝑃𝑁) ≤ (𝑛 + 1)))
221203, 200lenltd 10375 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 + 1) < (𝑃𝑁))) → (𝑁 ≤ (𝑃 pCnt (𝑛 + 1)) ↔ ¬ (𝑃 pCnt (𝑛 + 1)) < 𝑁))
222131, 129lenltd 10375 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 + 1) < (𝑃𝑁))) → ((𝑃𝑁) ≤ (𝑛 + 1) ↔ ¬ (𝑛 + 1) < (𝑃𝑁)))
223220, 221, 2223imtr3d 282 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 + 1) < (𝑃𝑁))) → (¬ (𝑃 pCnt (𝑛 + 1)) < 𝑁 → ¬ (𝑛 + 1) < (𝑃𝑁)))
224133, 223mt4d 152 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 + 1) < (𝑃𝑁))) → (𝑃 pCnt (𝑛 + 1)) < 𝑁)
225224adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 + 1) < (𝑃𝑁))) ∧ ((♯‘𝑋) − (𝑃𝑁)) ≠ 0) → (𝑃 pCnt (𝑛 + 1)) < 𝑁)
226 dvdssubr 15229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝑃𝑁) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑋) ∈ ℤ) → ((𝑃𝑁) ∥ (♯‘𝑋) ↔ (𝑃𝑁) ∥ ((♯‘𝑋) − (𝑃𝑁))))
2277, 34, 226syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝜑 → ((𝑃𝑁) ∥ (♯‘𝑋) ↔ (𝑃𝑁) ∥ ((♯‘𝑋) − (𝑃𝑁))))
22813, 227mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝜑 → (𝑃𝑁) ∥ ((♯‘𝑋) − (𝑃𝑁)))
229228ad2antrr 764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 + 1) < (𝑃𝑁))) ∧ ((♯‘𝑋) − (𝑃𝑁)) ≠ 0) → (𝑃𝑁) ∥ ((♯‘𝑋) − (𝑃𝑁)))
230207nn0zd 11672 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 + 1) < (𝑃𝑁))) ∧ ((♯‘𝑋) − (𝑃𝑁)) ≠ 0) → ((♯‘𝑋) − (𝑃𝑁)) ∈ ℤ)
2315ad2antrr 764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 + 1) < (𝑃𝑁))) ∧ ((♯‘𝑋) − (𝑃𝑁)) ≠ 0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
232 pcdvdsb 15775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ((♯‘𝑋) − (𝑃𝑁)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 ≤ (𝑃 pCnt ((♯‘𝑋) − (𝑃𝑁))) ↔ (𝑃𝑁) ∥ ((♯‘𝑋) − (𝑃𝑁))))
233191, 230, 231, 232syl3anc 1477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 + 1) < (𝑃𝑁))) ∧ ((♯‘𝑋) − (𝑃𝑁)) ≠ 0) → (𝑁 ≤ (𝑃 pCnt ((♯‘𝑋) − (𝑃𝑁))) ↔ (𝑃𝑁) ∥ ((♯‘𝑋) − (𝑃𝑁))))
234229, 233mpbird 247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 + 1) < (𝑃𝑁))) ∧ ((♯‘𝑋) − (𝑃𝑁)) ≠ 0) → 𝑁 ≤ (𝑃 pCnt ((♯‘𝑋) − (𝑃𝑁))))
235201, 204, 213, 225, 234ltletrd 10389 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 + 1) < (𝑃𝑁))) ∧ ((♯‘𝑋) − (𝑃𝑁)) ≠ 0) → (𝑃 pCnt (𝑛 + 1)) < (𝑃 pCnt ((♯‘𝑋) − (𝑃𝑁))))
236191, 194, 198, 235pcadd2 15796 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 + 1) < (𝑃𝑁))) ∧ ((♯‘𝑋) − (𝑃𝑁)) ≠ 0) → (𝑃 pCnt (𝑛 + 1)) = (𝑃 pCnt ((𝑛 + 1) + ((♯‘𝑋) − (𝑃𝑁)))))
237190, 236pm2.61dane 3019 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 + 1) < (𝑃𝑁))) → (𝑃 pCnt (𝑛 + 1)) = (𝑃 pCnt ((𝑛 + 1) + ((♯‘𝑋) − (𝑃𝑁)))))
238184, 237eqtr4d 2797 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 + 1) < (𝑃𝑁))) → (𝑃 pCnt ((((♯‘𝑋) − (𝑃𝑁)) + 𝑛) + 1)) = (𝑃 pCnt (𝑛 + 1)))
239199nn0cnd 11545 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 + 1) < (𝑃𝑁))) → (𝑃 pCnt (𝑛 + 1)) ∈ ℂ)
240238, 239eqeltrd 2839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 + 1) < (𝑃𝑁))) → (𝑃 pCnt ((((♯‘𝑋) − (𝑃𝑁)) + 𝑛) + 1)) ∈ ℂ)
241240, 238subeq0bd 10648 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 + 1) < (𝑃𝑁))) → ((𝑃 pCnt ((((♯‘𝑋) − (𝑃𝑁)) + 𝑛) + 1)) − (𝑃 pCnt (𝑛 + 1))) = 0)
242180, 241eqtrd 2794 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 + 1) < (𝑃𝑁))) → (𝑃 pCnt (((((♯‘𝑋) − (𝑃𝑁)) + 𝑛) + 1) / (𝑛 + 1))) = 0)
243242oveq2d 6829 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 + 1) < (𝑃𝑁))) → (0 + (𝑃 pCnt (((((♯‘𝑋) − (𝑃𝑁)) + 𝑛) + 1) / (𝑛 + 1)))) = (0 + 0))
244 00id 10403 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (0 + 0) = 0
245243, 244syl6req 2811 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 + 1) < (𝑃𝑁))) → 0 = (0 + (𝑃 pCnt (((((♯‘𝑋) − (𝑃𝑁)) + 𝑛) + 1) / (𝑛 + 1)))))
246177, 245eqeq12d 2775 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 + 1) < (𝑃𝑁))) → ((𝑃 pCnt ((((♯‘𝑋) − (𝑃𝑁)) + (𝑛 + 1))C(𝑛 + 1))) = 0 ↔ ((𝑃 pCnt ((((♯‘𝑋) − (𝑃𝑁)) + 𝑛)C𝑛)) + (𝑃 pCnt (((((♯‘𝑋) − (𝑃𝑁)) + 𝑛) + 1) / (𝑛 + 1)))) = (0 + (𝑃 pCnt (((((♯‘𝑋) − (𝑃𝑁)) + 𝑛) + 1) / (𝑛 + 1))))))
247137, 246syl5ibr 236 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 + 1) < (𝑃𝑁))) → ((𝑃 pCnt ((((♯‘𝑋) − (𝑃𝑁)) + 𝑛)C𝑛)) = 0 → (𝑃 pCnt ((((♯‘𝑋) − (𝑃𝑁)) + (𝑛 + 1))C(𝑛 + 1))) = 0))
248247expr 644 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑛 + 1) < (𝑃𝑁) → ((𝑃 pCnt ((((♯‘𝑋) − (𝑃𝑁)) + 𝑛)C𝑛)) = 0 → (𝑃 pCnt ((((♯‘𝑋) − (𝑃𝑁)) + (𝑛 + 1))C(𝑛 + 1))) = 0)))
249248a2d 29 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → (((𝑛 + 1) < (𝑃𝑁) → (𝑃 pCnt ((((♯‘𝑋) − (𝑃𝑁)) + 𝑛)C𝑛)) = 0) → ((𝑛 + 1) < (𝑃𝑁) → (𝑃 pCnt ((((♯‘𝑋) − (𝑃𝑁)) + (𝑛 + 1))C(𝑛 + 1))) = 0)))
250136, 249syld 47 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑛 < (𝑃𝑁) → (𝑃 pCnt ((((♯‘𝑋) − (𝑃𝑁)) + 𝑛)C𝑛)) = 0) → ((𝑛 + 1) < (𝑃𝑁) → (𝑃 pCnt ((((♯‘𝑋) − (𝑃𝑁)) + (𝑛 + 1))C(𝑛 + 1))) = 0)))
251250expcom 450 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝜑 → ((𝑛 < (𝑃𝑁) → (𝑃 pCnt ((((♯‘𝑋) − (𝑃𝑁)) + 𝑛)C𝑛)) = 0) → ((𝑛 + 1) < (𝑃𝑁) → (𝑃 pCnt ((((♯‘𝑋) − (𝑃𝑁)) + (𝑛 + 1))C(𝑛 + 1))) = 0))))
252251a2d 29 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ0 → ((𝜑 → (𝑛 < (𝑃𝑁) → (𝑃 pCnt ((((♯‘𝑋) − (𝑃𝑁)) + 𝑛)C𝑛)) = 0)) → (𝜑 → ((𝑛 + 1) < (𝑃𝑁) → (𝑃 pCnt ((((♯‘𝑋) − (𝑃𝑁)) + (𝑛 + 1))C(𝑛 + 1))) = 0))))
25393, 99, 105, 111, 124, 252nn0ind 11664 . . . . . . . 8 (((𝑃𝑁) − 1) ∈ ℕ0 → (𝜑 → (((𝑃𝑁) − 1) < (𝑃𝑁) → (𝑃 pCnt ((((♯‘𝑋) − (𝑃𝑁)) + ((𝑃𝑁) − 1))C((𝑃𝑁) − 1))) = 0)))
25487, 253mpcom 38 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝑃𝑁) − 1) < (𝑃𝑁) → (𝑃 pCnt ((((♯‘𝑋) − (𝑃𝑁)) + ((𝑃𝑁) − 1))C((𝑃𝑁) − 1))) = 0))
25585, 254mpd 15 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑃 pCnt ((((♯‘𝑋) − (𝑃𝑁)) + ((𝑃𝑁) − 1))C((𝑃𝑁) − 1))) = 0)
25683, 255eqtr3d 2796 . . . . 5 (𝜑 → (𝑃 pCnt (((♯‘𝑋) − 1)C((𝑃𝑁) − 1))) = 0)
257 pcdiv 15759 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ((♯‘𝑋) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑋) ≠ 0) ∧ (𝑃𝑁) ∈ ℕ) → (𝑃 pCnt ((♯‘𝑋) / (𝑃𝑁))) = ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − (𝑃 pCnt (𝑃𝑁))))
2582, 34, 76, 6, 257syl121anc 1482 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑃 pCnt ((♯‘𝑋) / (𝑃𝑁))) = ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − (𝑃 pCnt (𝑃𝑁))))
2595nn0zd 11672 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
260 pcid 15779 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑃 pCnt (𝑃𝑁)) = 𝑁)
2612, 259, 260syl2anc 696 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑃 pCnt (𝑃𝑁)) = 𝑁)
262261oveq2d 6829 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − (𝑃 pCnt (𝑃𝑁))) = ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁))
263258, 262eqtrd 2794 . . . . 5 (𝜑 → (𝑃 pCnt ((♯‘𝑋) / (𝑃𝑁))) = ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁))
264256, 263oveq12d 6831 . . . 4 (𝜑 → ((𝑃 pCnt (((♯‘𝑋) − 1)C((𝑃𝑁) − 1))) + (𝑃 pCnt ((♯‘𝑋) / (𝑃𝑁)))) = (0 + ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁)))
2652, 27pccld 15757 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) ∈ ℕ0)
266265nn0zd 11672 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) ∈ ℤ)
267266, 259zsubcld 11679 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁) ∈ ℤ)
268267zcnd 11675 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁) ∈ ℂ)
269268addid2d 10429 . . . 4 (𝜑 → (0 + ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁)) = ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁))
27079, 264, 2693eqtrd 2798 . . 3 (𝜑 → (𝑃 pCnt ((((♯‘𝑋) − 1)C((𝑃𝑁) − 1)) · ((♯‘𝑋) / (𝑃𝑁)))) = ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁))
27166, 67, 2703eqtr3d 2802 . 2 (𝜑 → (𝑃 pCnt (♯‘𝑆)) = ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁))
27240, 271jca 555 1 (𝜑 → ((♯‘𝑆) ∈ ℕ ∧ (𝑃 pCnt (♯‘𝑆)) = ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 382  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  wne 2932  {crab 3054  c0 4058  𝒫 cpw 4302   class class class wbr 4804  cfv 6049  (class class class)co 6813  Fincfn 8121  cc 10126  cr 10127  0cc0 10128  1c1 10129   + caddc 10131   · cmul 10133   < clt 10266  cle 10267  cmin 10458   / cdiv 10876  cn 11212  0cn0 11484  cz 11569  cuz 11879  cq 11981  +crp 12025  ...cfz 12519  cexp 13054  Ccbc 13283  chash 13311  cdvds 15182  cprime 15587   pCnt cpc 15743  Basecbs 16059  +gcplusg 16143  Grpcgrp 17623
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-pre-sup 10206
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-2o 7730  df-oadd 7733  df-er 7911  df-map 8025  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-sup 8513  df-inf 8514  df-card 8955  df-cda 9182  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-n0 11485  df-z 11570  df-uz 11880  df-q 11982  df-rp 12026  df-fz 12520  df-fl 12787  df-mod 12863  df-seq 12996  df-exp 13055  df-fac 13255  df-bc 13284  df-hash 13312  df-cj 14038  df-re 14039  df-im 14040  df-sqrt 14174  df-abs 14175  df-dvds 15183  df-gcd 15419  df-prm 15588  df-pc 15744  df-0g 16304  df-mgm 17443  df-sgrp 17485  df-mnd 17496  df-grp 17626
This theorem is referenced by:  sylow1lem3  18215
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