MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sylow1lem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sylow1lem5 17933
Description: Lemma for sylow1 17934. Using Lagrange's theorem and the orbit-stabilizer theorem, show that there is a subgroup with size exactly 𝑃𝑁. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
sylow1.x 𝑋 = (Base‘𝐺)
sylow1.g (𝜑𝐺 ∈ Grp)
sylow1.f (𝜑𝑋 ∈ Fin)
sylow1.p (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
sylow1.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
sylow1.d (𝜑 → (𝑃𝑁) ∥ (#‘𝑋))
sylow1lem.a + = (+g𝐺)
sylow1lem.s 𝑆 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (#‘𝑠) = (𝑃𝑁)}
sylow1lem.m = (𝑥𝑋, 𝑦𝑆 ↦ ran (𝑧𝑦 ↦ (𝑥 + 𝑧)))
sylow1lem3.1 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝑆 ∧ ∃𝑔𝑋 (𝑔 𝑥) = 𝑦)}
sylow1lem4.b (𝜑𝐵𝑆)
sylow1lem4.h 𝐻 = {𝑢𝑋 ∣ (𝑢 𝐵) = 𝐵}
sylow1lem5.l (𝜑 → (𝑃 pCnt (#‘[𝐵] )) ≤ ((𝑃 pCnt (#‘𝑋)) − 𝑁))
Assertion
Ref Expression
sylow1lem5 (𝜑 → ∃ ∈ (SubGrp‘𝐺)(#‘) = (𝑃𝑁))
Distinct variable groups:   𝑔,𝑠,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧,𝐵   𝑔,,𝐻,𝑥,𝑦   𝑆,𝑔,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧   𝑔,𝑁   ,𝑠,𝑢,𝑧,𝑁,𝑥,𝑦   𝑔,𝑋,,𝑠,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧   + ,𝑠,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧   𝑧,   ,𝑔,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧   𝑔,𝐺,,𝑠,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧   𝑃,𝑔,,𝑠,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧   𝜑,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑔,,𝑠)   𝐵()   + (𝑔,)   (,𝑠)   (𝑥,𝑦,𝑢,𝑔,,𝑠)   𝑆(,𝑠)   𝐻(𝑧,𝑢,𝑠)

Proof of Theorem sylow1lem5
StepHypRef Expression
1 sylow1.x . . . 4 𝑋 = (Base‘𝐺)
2 sylow1.g . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ Grp)
3 sylow1.f . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
4 sylow1.p . . . 4 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
5 sylow1.n . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
6 sylow1.d . . . 4 (𝜑 → (𝑃𝑁) ∥ (#‘𝑋))
7 sylow1lem.a . . . 4 + = (+g𝐺)
8 sylow1lem.s . . . 4 𝑆 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (#‘𝑠) = (𝑃𝑁)}
9 sylow1lem.m . . . 4 = (𝑥𝑋, 𝑦𝑆 ↦ ran (𝑧𝑦 ↦ (𝑥 + 𝑧)))
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9sylow1lem2 17930 . . 3 (𝜑 ∈ (𝐺 GrpAct 𝑆))
11 sylow1lem4.b . . 3 (𝜑𝐵𝑆)
12 sylow1lem4.h . . . 4 𝐻 = {𝑢𝑋 ∣ (𝑢 𝐵) = 𝐵}
131, 12gastacl 17658 . . 3 (( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑆) ∧ 𝐵𝑆) → 𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺))
1410, 11, 13syl2anc 692 . 2 (𝜑𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺))
15 sylow1lem3.1 . . . 4 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝑆 ∧ ∃𝑔𝑋 (𝑔 𝑥) = 𝑦)}
161, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 15, 11, 12sylow1lem4 17932 . . 3 (𝜑 → (#‘𝐻) ≤ (𝑃𝑁))
17 sylow1lem5.l . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑃 pCnt (#‘[𝐵] )) ≤ ((𝑃 pCnt (#‘𝑋)) − 𝑁))
1815, 1gaorber 17657 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑆) → Er 𝑆)
1910, 18syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 Er 𝑆)
20 erdm 7698 . . . . . . . . . . . . . . 15 ( Er 𝑆 → dom = 𝑆)
2119, 20syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → dom = 𝑆)
2211, 21eleqtrrd 2707 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐵 ∈ dom )
23 ecdmn0 7735 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐵 ∈ dom ↔ [𝐵] ≠ ∅)
2422, 23sylib 208 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → [𝐵] ≠ ∅)
25 pwfi 8206 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑋 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝑋 ∈ Fin)
263, 25sylib 208 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 𝒫 𝑋 ∈ Fin)
27 ssrab2 3671 . . . . . . . . . . . . . . . 16 {𝑠 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (#‘𝑠) = (𝑃𝑁)} ⊆ 𝒫 𝑋
288, 27eqsstri 3619 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑆 ⊆ 𝒫 𝑋
29 ssfi 8125 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝒫 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑆 ⊆ 𝒫 𝑋) → 𝑆 ∈ Fin)
3026, 28, 29sylancl 693 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑆 ∈ Fin)
3119ecss 7734 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → [𝐵] 𝑆)
32 ssfi 8125 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑆 ∈ Fin ∧ [𝐵] 𝑆) → [𝐵] ∈ Fin)
3330, 31, 32syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → [𝐵] ∈ Fin)
34 hashnncl 13094 . . . . . . . . . . . . 13 ([𝐵] ∈ Fin → ((#‘[𝐵] ) ∈ ℕ ↔ [𝐵] ≠ ∅))
3533, 34syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((#‘[𝐵] ) ∈ ℕ ↔ [𝐵] ≠ ∅))
3624, 35mpbird 247 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (#‘[𝐵] ) ∈ ℕ)
374, 36pccld 15474 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑃 pCnt (#‘[𝐵] )) ∈ ℕ0)
3837nn0red 11297 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑃 pCnt (#‘[𝐵] )) ∈ ℝ)
395nn0red 11297 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
401grpbn0 17367 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐺 ∈ Grp → 𝑋 ≠ ∅)
412, 40syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑋 ≠ ∅)
42 hashnncl 13094 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋 ∈ Fin → ((#‘𝑋) ∈ ℕ ↔ 𝑋 ≠ ∅))
433, 42syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((#‘𝑋) ∈ ℕ ↔ 𝑋 ≠ ∅))
4441, 43mpbird 247 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (#‘𝑋) ∈ ℕ)
454, 44pccld 15474 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑃 pCnt (#‘𝑋)) ∈ ℕ0)
4645nn0red 11297 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑃 pCnt (#‘𝑋)) ∈ ℝ)
47 leaddsub 10449 . . . . . . . . 9 (((𝑃 pCnt (#‘[𝐵] )) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑃 pCnt (#‘𝑋)) ∈ ℝ) → (((𝑃 pCnt (#‘[𝐵] )) + 𝑁) ≤ (𝑃 pCnt (#‘𝑋)) ↔ (𝑃 pCnt (#‘[𝐵] )) ≤ ((𝑃 pCnt (#‘𝑋)) − 𝑁)))
4838, 39, 46, 47syl3anc 1323 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝑃 pCnt (#‘[𝐵] )) + 𝑁) ≤ (𝑃 pCnt (#‘𝑋)) ↔ (𝑃 pCnt (#‘[𝐵] )) ≤ ((𝑃 pCnt (#‘𝑋)) − 𝑁)))
4917, 48mpbird 247 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑃 pCnt (#‘[𝐵] )) + 𝑁) ≤ (𝑃 pCnt (#‘𝑋)))
50 eqid 2626 . . . . . . . . . . 11 (𝐺 ~QG 𝐻) = (𝐺 ~QG 𝐻)
511, 12, 50, 15orbsta2 17663 . . . . . . . . . 10 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑆) ∧ 𝐵𝑆) ∧ 𝑋 ∈ Fin) → (#‘𝑋) = ((#‘[𝐵] ) · (#‘𝐻)))
5210, 11, 3, 51syl21anc 1322 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (#‘𝑋) = ((#‘[𝐵] ) · (#‘𝐻)))
5352oveq2d 6621 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑃 pCnt (#‘𝑋)) = (𝑃 pCnt ((#‘[𝐵] ) · (#‘𝐻))))
5436nnzd 11425 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (#‘[𝐵] ) ∈ ℤ)
5536nnne0d 11010 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (#‘[𝐵] ) ≠ 0)
56 eqid 2626 . . . . . . . . . . . . . 14 (0g𝐺) = (0g𝐺)
5756subg0cl 17518 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (0g𝐺) ∈ 𝐻)
5814, 57syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (0g𝐺) ∈ 𝐻)
59 ne0i 3902 . . . . . . . . . . . 12 ((0g𝐺) ∈ 𝐻𝐻 ≠ ∅)
6058, 59syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐻 ≠ ∅)
61 ssrab2 3671 . . . . . . . . . . . . . 14 {𝑢𝑋 ∣ (𝑢 𝐵) = 𝐵} ⊆ 𝑋
6212, 61eqsstri 3619 . . . . . . . . . . . . 13 𝐻𝑋
63 ssfi 8125 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑋 ∈ Fin ∧ 𝐻𝑋) → 𝐻 ∈ Fin)
643, 62, 63sylancl 693 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐻 ∈ Fin)
65 hashnncl 13094 . . . . . . . . . . . 12 (𝐻 ∈ Fin → ((#‘𝐻) ∈ ℕ ↔ 𝐻 ≠ ∅))
6664, 65syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((#‘𝐻) ∈ ℕ ↔ 𝐻 ≠ ∅))
6760, 66mpbird 247 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (#‘𝐻) ∈ ℕ)
6867nnzd 11425 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (#‘𝐻) ∈ ℤ)
6967nnne0d 11010 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (#‘𝐻) ≠ 0)
70 pcmul 15475 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ((#‘[𝐵] ) ∈ ℤ ∧ (#‘[𝐵] ) ≠ 0) ∧ ((#‘𝐻) ∈ ℤ ∧ (#‘𝐻) ≠ 0)) → (𝑃 pCnt ((#‘[𝐵] ) · (#‘𝐻))) = ((𝑃 pCnt (#‘[𝐵] )) + (𝑃 pCnt (#‘𝐻))))
714, 54, 55, 68, 69, 70syl122anc 1332 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑃 pCnt ((#‘[𝐵] ) · (#‘𝐻))) = ((𝑃 pCnt (#‘[𝐵] )) + (𝑃 pCnt (#‘𝐻))))
7253, 71eqtrd 2660 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑃 pCnt (#‘𝑋)) = ((𝑃 pCnt (#‘[𝐵] )) + (𝑃 pCnt (#‘𝐻))))
7349, 72breqtrd 4644 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑃 pCnt (#‘[𝐵] )) + 𝑁) ≤ ((𝑃 pCnt (#‘[𝐵] )) + (𝑃 pCnt (#‘𝐻))))
744, 67pccld 15474 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑃 pCnt (#‘𝐻)) ∈ ℕ0)
7574nn0red 11297 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑃 pCnt (#‘𝐻)) ∈ ℝ)
7639, 75, 38leadd2d 10567 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁 ≤ (𝑃 pCnt (#‘𝐻)) ↔ ((𝑃 pCnt (#‘[𝐵] )) + 𝑁) ≤ ((𝑃 pCnt (#‘[𝐵] )) + (𝑃 pCnt (#‘𝐻)))))
7773, 76mpbird 247 . . . . 5 (𝜑𝑁 ≤ (𝑃 pCnt (#‘𝐻)))
78 pcdvdsb 15492 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (#‘𝐻) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 ≤ (𝑃 pCnt (#‘𝐻)) ↔ (𝑃𝑁) ∥ (#‘𝐻)))
794, 68, 5, 78syl3anc 1323 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁 ≤ (𝑃 pCnt (#‘𝐻)) ↔ (𝑃𝑁) ∥ (#‘𝐻)))
8077, 79mpbid 222 . . . 4 (𝜑 → (𝑃𝑁) ∥ (#‘𝐻))
81 prmnn 15307 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
824, 81syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
8382, 5nnexpcld 12967 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑃𝑁) ∈ ℕ)
8483nnzd 11425 . . . . 5 (𝜑 → (𝑃𝑁) ∈ ℤ)
85 dvdsle 14951 . . . . 5 (((𝑃𝑁) ∈ ℤ ∧ (#‘𝐻) ∈ ℕ) → ((𝑃𝑁) ∥ (#‘𝐻) → (𝑃𝑁) ≤ (#‘𝐻)))
8684, 67, 85syl2anc 692 . . . 4 (𝜑 → ((𝑃𝑁) ∥ (#‘𝐻) → (𝑃𝑁) ≤ (#‘𝐻)))
8780, 86mpd 15 . . 3 (𝜑 → (𝑃𝑁) ≤ (#‘𝐻))
88 hashcl 13084 . . . . . 6 (𝐻 ∈ Fin → (#‘𝐻) ∈ ℕ0)
8964, 88syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (#‘𝐻) ∈ ℕ0)
9089nn0red 11297 . . . 4 (𝜑 → (#‘𝐻) ∈ ℝ)
9183nnred 10980 . . . 4 (𝜑 → (𝑃𝑁) ∈ ℝ)
9290, 91letri3d 10124 . . 3 (𝜑 → ((#‘𝐻) = (𝑃𝑁) ↔ ((#‘𝐻) ≤ (𝑃𝑁) ∧ (𝑃𝑁) ≤ (#‘𝐻))))
9316, 87, 92mpbir2and 956 . 2 (𝜑 → (#‘𝐻) = (𝑃𝑁))
94 fveq2 6150 . . . 4 ( = 𝐻 → (#‘) = (#‘𝐻))
9594eqeq1d 2628 . . 3 ( = 𝐻 → ((#‘) = (𝑃𝑁) ↔ (#‘𝐻) = (𝑃𝑁)))
9695rspcev 3300 . 2 ((𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (#‘𝐻) = (𝑃𝑁)) → ∃ ∈ (SubGrp‘𝐺)(#‘) = (𝑃𝑁))
9714, 93, 96syl2anc 692 1 (𝜑 → ∃ ∈ (SubGrp‘𝐺)(#‘) = (𝑃𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1992  wne 2796  wrex 2913  {crab 2916  wss 3560  c0 3896  𝒫 cpw 4135  {cpr 4155   class class class wbr 4618  {copab 4677  cmpt 4678  dom cdm 5079  ran crn 5080  cfv 5850  (class class class)co 6605  cmpt2 6607   Er wer 7685  [cec 7686  Fincfn 7900  cr 9880  0cc0 9881   + caddc 9884   · cmul 9886  cle 10020  cmin 10211  cn 10965  0cn0 11237  cz 11322  cexp 12797  #chash 13054  cdvds 14902  cprime 15304   pCnt cpc 15460  Basecbs 15776  +gcplusg 15857  0gc0g 16016  Grpcgrp 17338  SubGrpcsubg 17504   ~QG cqg 17506   GrpAct cga 17638
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-inf2 8483  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958  ax-pre-sup 9959
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-disj 4589  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-se 5039  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-isom 5859  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-om 7014  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-1o 7506  df-2o 7507  df-oadd 7510  df-er 7688  df-ec 7690  df-qs 7694  df-map 7805  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-fin 7904  df-sup 8293  df-inf 8294  df-oi 8360  df-card 8710  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-div 10630  df-nn 10966  df-2 11024  df-3 11025  df-n0 11238  df-xnn0 11309  df-z 11323  df-uz 11632  df-q 11733  df-rp 11777  df-fz 12266  df-fzo 12404  df-fl 12530  df-mod 12606  df-seq 12739  df-exp 12798  df-hash 13055  df-cj 13768  df-re 13769  df-im 13770  df-sqrt 13904  df-abs 13905  df-clim 14148  df-sum 14346  df-dvds 14903  df-gcd 15136  df-prm 15305  df-pc 15461  df-ndx 15779  df-slot 15780  df-base 15781  df-sets 15782  df-ress 15783  df-plusg 15870  df-0g 16018  df-mgm 17158  df-sgrp 17200  df-mnd 17211  df-grp 17341  df-minusg 17342  df-subg 17507  df-eqg 17509  df-ga 17639
This theorem is referenced by:  sylow1  17934
  Copyright terms: Public domain W3C validator