Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sylow3lem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sylow3lem4 17966
 Description: Lemma for sylow3 17969, first part. The number of Sylow subgroups is a divisor of the size of 𝐺 reduced by the size of a Sylow subgroup of 𝐺. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
sylow3.x 𝑋 = (Base‘𝐺)
sylow3.g (𝜑𝐺 ∈ Grp)
sylow3.xf (𝜑𝑋 ∈ Fin)
sylow3.p (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
sylow3lem1.a + = (+g𝐺)
sylow3lem1.d = (-g𝐺)
sylow3lem1.m = (𝑥𝑋, 𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ↦ ran (𝑧𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) 𝑥)))
sylow3lem2.k (𝜑𝐾 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺))
sylow3lem2.h 𝐻 = {𝑢𝑋 ∣ (𝑢 𝐾) = 𝐾}
sylow3lem2.n 𝑁 = {𝑥𝑋 ∣ ∀𝑦𝑋 ((𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐾 ↔ (𝑦 + 𝑥) ∈ 𝐾)}
Assertion
Ref Expression
sylow3lem4 (𝜑 → (#‘(𝑃 pSyl 𝐺)) ∥ ((#‘𝑋) / (𝑃↑(𝑃 pCnt (#‘𝑋)))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑢,𝑦,𝑧,   𝑢, ,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝐻,𝑦   𝑢,𝐾,𝑥,𝑦,𝑧   𝑢,𝑁,𝑧   𝑢,𝑋,𝑥,𝑦,𝑧   𝑢,𝐺,𝑥,𝑦,𝑧   𝜑,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧   𝑢, + ,𝑥,𝑦,𝑧   𝑢,𝑃,𝑥,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐻(𝑧,𝑢)   𝑁(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem sylow3lem4
StepHypRef Expression
1 sylow3.x . . 3 𝑋 = (Base‘𝐺)
2 sylow3.g . . 3 (𝜑𝐺 ∈ Grp)
3 sylow3.xf . . 3 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
4 sylow3.p . . 3 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
5 sylow3lem1.a . . 3 + = (+g𝐺)
6 sylow3lem1.d . . 3 = (-g𝐺)
7 sylow3lem1.m . . 3 = (𝑥𝑋, 𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ↦ ran (𝑧𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) 𝑥)))
8 sylow3lem2.k . . 3 (𝜑𝐾 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺))
9 sylow3lem2.h . . 3 𝐻 = {𝑢𝑋 ∣ (𝑢 𝐾) = 𝐾}
10 sylow3lem2.n . . 3 𝑁 = {𝑥𝑋 ∣ ∀𝑦𝑋 ((𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐾 ↔ (𝑦 + 𝑥) ∈ 𝐾)}
111, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10sylow3lem3 17965 . 2 (𝜑 → (#‘(𝑃 pSyl 𝐺)) = (#‘(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁))))
12 slwsubg 17946 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) → 𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺))
138, 12syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺))
14 eqid 2621 . . . . . . . . . . 11 (𝐺s 𝑁) = (𝐺s 𝑁)
1510, 1, 5, 14nmznsg 17559 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐾 ∈ (NrmSGrp‘(𝐺s 𝑁)))
16 nsgsubg 17547 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ (NrmSGrp‘(𝐺s 𝑁)) → 𝐾 ∈ (SubGrp‘(𝐺s 𝑁)))
1715, 16syl 17 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐾 ∈ (SubGrp‘(𝐺s 𝑁)))
1813, 17syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐾 ∈ (SubGrp‘(𝐺s 𝑁)))
1910, 1, 5nmzsubg 17556 . . . . . . . . . . 11 (𝐺 ∈ Grp → 𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺))
202, 19syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺))
2114subgbas 17519 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑁 = (Base‘(𝐺s 𝑁)))
2220, 21syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 = (Base‘(𝐺s 𝑁)))
231subgss 17516 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑁𝑋)
2420, 23syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁𝑋)
25 ssfi 8124 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑁𝑋) → 𝑁 ∈ Fin)
263, 24, 25syl2anc 692 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ Fin)
2722, 26eqeltrrd 2699 . . . . . . . 8 (𝜑 → (Base‘(𝐺s 𝑁)) ∈ Fin)
28 eqid 2621 . . . . . . . . 9 (Base‘(𝐺s 𝑁)) = (Base‘(𝐺s 𝑁))
2928lagsubg 17577 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ (SubGrp‘(𝐺s 𝑁)) ∧ (Base‘(𝐺s 𝑁)) ∈ Fin) → (#‘𝐾) ∥ (#‘(Base‘(𝐺s 𝑁))))
3018, 27, 29syl2anc 692 . . . . . . 7 (𝜑 → (#‘𝐾) ∥ (#‘(Base‘(𝐺s 𝑁))))
3122fveq2d 6152 . . . . . . 7 (𝜑 → (#‘𝑁) = (#‘(Base‘(𝐺s 𝑁))))
3230, 31breqtrrd 4641 . . . . . 6 (𝜑 → (#‘𝐾) ∥ (#‘𝑁))
33 eqid 2621 . . . . . . . . . . . 12 (0g𝐺) = (0g𝐺)
3433subg0cl 17523 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (0g𝐺) ∈ 𝐾)
3513, 34syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (0g𝐺) ∈ 𝐾)
36 ne0i 3897 . . . . . . . . . 10 ((0g𝐺) ∈ 𝐾𝐾 ≠ ∅)
3735, 36syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐾 ≠ ∅)
381subgss 17516 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐾𝑋)
3913, 38syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐾𝑋)
40 ssfi 8124 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∈ Fin ∧ 𝐾𝑋) → 𝐾 ∈ Fin)
413, 39, 40syl2anc 692 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐾 ∈ Fin)
42 hashnncl 13097 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ Fin → ((#‘𝐾) ∈ ℕ ↔ 𝐾 ≠ ∅))
4341, 42syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((#‘𝐾) ∈ ℕ ↔ 𝐾 ≠ ∅))
4437, 43mpbird 247 . . . . . . . 8 (𝜑 → (#‘𝐾) ∈ ℕ)
4544nnzd 11425 . . . . . . 7 (𝜑 → (#‘𝐾) ∈ ℤ)
46 hashcl 13087 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ Fin → (#‘𝑁) ∈ ℕ0)
4726, 46syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (#‘𝑁) ∈ ℕ0)
4847nn0zd 11424 . . . . . . 7 (𝜑 → (#‘𝑁) ∈ ℤ)
49 pwfi 8205 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝑋 ∈ Fin)
503, 49sylib 208 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 𝒫 𝑋 ∈ Fin)
51 eqid 2621 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐺 ~QG 𝑁) = (𝐺 ~QG 𝑁)
521, 51eqger 17565 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝐺 ~QG 𝑁) Er 𝑋)
5320, 52syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐺 ~QG 𝑁) Er 𝑋)
5453qsss 7753 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁)) ⊆ 𝒫 𝑋)
55 ssfi 8124 . . . . . . . . . 10 ((𝒫 𝑋 ∈ Fin ∧ (𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁)) ⊆ 𝒫 𝑋) → (𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁)) ∈ Fin)
5650, 54, 55syl2anc 692 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁)) ∈ Fin)
57 hashcl 13087 . . . . . . . . 9 ((𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁)) ∈ Fin → (#‘(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁))) ∈ ℕ0)
5856, 57syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (#‘(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁))) ∈ ℕ0)
5958nn0zd 11424 . . . . . . 7 (𝜑 → (#‘(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁))) ∈ ℤ)
60 dvdscmul 14932 . . . . . . 7 (((#‘𝐾) ∈ ℤ ∧ (#‘𝑁) ∈ ℤ ∧ (#‘(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁))) ∈ ℤ) → ((#‘𝐾) ∥ (#‘𝑁) → ((#‘(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁))) · (#‘𝐾)) ∥ ((#‘(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁))) · (#‘𝑁))))
6145, 48, 59, 60syl3anc 1323 . . . . . 6 (𝜑 → ((#‘𝐾) ∥ (#‘𝑁) → ((#‘(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁))) · (#‘𝐾)) ∥ ((#‘(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁))) · (#‘𝑁))))
6232, 61mpd 15 . . . . 5 (𝜑 → ((#‘(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁))) · (#‘𝐾)) ∥ ((#‘(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁))) · (#‘𝑁)))
63 hashcl 13087 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ Fin → (#‘𝑋) ∈ ℕ0)
643, 63syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (#‘𝑋) ∈ ℕ0)
6564nn0cnd 11297 . . . . . . 7 (𝜑 → (#‘𝑋) ∈ ℂ)
6644nncnd 10980 . . . . . . 7 (𝜑 → (#‘𝐾) ∈ ℂ)
6744nnne0d 11009 . . . . . . 7 (𝜑 → (#‘𝐾) ≠ 0)
6865, 66, 67divcan1d 10746 . . . . . 6 (𝜑 → (((#‘𝑋) / (#‘𝐾)) · (#‘𝐾)) = (#‘𝑋))
691, 51, 20, 3lagsubg2 17576 . . . . . 6 (𝜑 → (#‘𝑋) = ((#‘(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁))) · (#‘𝑁)))
7068, 69eqtrd 2655 . . . . 5 (𝜑 → (((#‘𝑋) / (#‘𝐾)) · (#‘𝐾)) = ((#‘(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁))) · (#‘𝑁)))
7162, 70breqtrrd 4641 . . . 4 (𝜑 → ((#‘(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁))) · (#‘𝐾)) ∥ (((#‘𝑋) / (#‘𝐾)) · (#‘𝐾)))
721lagsubg 17577 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ Fin) → (#‘𝐾) ∥ (#‘𝑋))
7313, 3, 72syl2anc 692 . . . . . 6 (𝜑 → (#‘𝐾) ∥ (#‘𝑋))
7464nn0zd 11424 . . . . . . 7 (𝜑 → (#‘𝑋) ∈ ℤ)
75 dvdsval2 14910 . . . . . . 7 (((#‘𝐾) ∈ ℤ ∧ (#‘𝐾) ≠ 0 ∧ (#‘𝑋) ∈ ℤ) → ((#‘𝐾) ∥ (#‘𝑋) ↔ ((#‘𝑋) / (#‘𝐾)) ∈ ℤ))
7645, 67, 74, 75syl3anc 1323 . . . . . 6 (𝜑 → ((#‘𝐾) ∥ (#‘𝑋) ↔ ((#‘𝑋) / (#‘𝐾)) ∈ ℤ))
7773, 76mpbid 222 . . . . 5 (𝜑 → ((#‘𝑋) / (#‘𝐾)) ∈ ℤ)
78 dvdsmulcr 14935 . . . . 5 (((#‘(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁))) ∈ ℤ ∧ ((#‘𝑋) / (#‘𝐾)) ∈ ℤ ∧ ((#‘𝐾) ∈ ℤ ∧ (#‘𝐾) ≠ 0)) → (((#‘(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁))) · (#‘𝐾)) ∥ (((#‘𝑋) / (#‘𝐾)) · (#‘𝐾)) ↔ (#‘(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁))) ∥ ((#‘𝑋) / (#‘𝐾))))
7959, 77, 45, 67, 78syl112anc 1327 . . . 4 (𝜑 → (((#‘(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁))) · (#‘𝐾)) ∥ (((#‘𝑋) / (#‘𝐾)) · (#‘𝐾)) ↔ (#‘(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁))) ∥ ((#‘𝑋) / (#‘𝐾))))
8071, 79mpbid 222 . . 3 (𝜑 → (#‘(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁))) ∥ ((#‘𝑋) / (#‘𝐾)))
811, 3, 8slwhash 17960 . . . 4 (𝜑 → (#‘𝐾) = (𝑃↑(𝑃 pCnt (#‘𝑋))))
8281oveq2d 6620 . . 3 (𝜑 → ((#‘𝑋) / (#‘𝐾)) = ((#‘𝑋) / (𝑃↑(𝑃 pCnt (#‘𝑋)))))
8380, 82breqtrd 4639 . 2 (𝜑 → (#‘(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁))) ∥ ((#‘𝑋) / (𝑃↑(𝑃 pCnt (#‘𝑋)))))
8411, 83eqbrtrd 4635 1 (𝜑 → (#‘(𝑃 pSyl 𝐺)) ∥ ((#‘𝑋) / (𝑃↑(𝑃 pCnt (#‘𝑋)))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   = wceq 1480   ∈ wcel 1987   ≠ wne 2790  ∀wral 2907  {crab 2911   ⊆ wss 3555  ∅c0 3891  𝒫 cpw 4130   class class class wbr 4613   ↦ cmpt 4673  ran crn 5075  ‘cfv 5847  (class class class)co 6604   ↦ cmpt2 6606   Er wer 7684   / cqs 7686  Fincfn 7899  0cc0 9880   · cmul 9885   / cdiv 10628  ℕcn 10964  ℕ0cn0 11236  ℤcz 11321  ↑cexp 12800  #chash 13057   ∥ cdvds 14907  ℙcprime 15309   pCnt cpc 15465  Basecbs 15781   ↾s cress 15782  +gcplusg 15862  0gc0g 16021  Grpcgrp 17343  -gcsg 17345  SubGrpcsubg 17509  NrmSGrpcnsg 17510   ~QG cqg 17511   pSyl cslw 17868 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-inf2 8482  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-disj 4584  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-se 5034  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-isom 5856  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-2o 7506  df-oadd 7509  df-omul 7510  df-er 7687  df-ec 7689  df-qs 7693  df-map 7804  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-sup 8292  df-inf 8293  df-oi 8359  df-card 8709  df-acn 8712  df-cda 8934  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-n0 11237  df-xnn0 11308  df-z 11322  df-uz 11632  df-q 11733  df-rp 11777  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-fl 12533  df-mod 12609  df-seq 12742  df-exp 12801  df-fac 13001  df-bc 13030  df-hash 13058  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-clim 14153  df-sum 14351  df-dvds 14908  df-gcd 15141  df-prm 15310  df-pc 15466  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-sets 15787  df-ress 15788  df-plusg 15875  df-0g 16023  df-mgm 17163  df-sgrp 17205  df-mnd 17216  df-submnd 17257  df-grp 17346  df-minusg 17347  df-sbg 17348  df-mulg 17462  df-subg 17512  df-nsg 17513  df-eqg 17514  df-ghm 17579  df-ga 17644  df-od 17869  df-pgp 17871  df-slw 17872 This theorem is referenced by:  sylow3  17969
 Copyright terms: Public domain W3C validator